淺談新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問題的幾大熱點(diǎn)

鄧解強(qiáng)

摘 要：有關(guān)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，主要類型有：求曲線的切線、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值和最值、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式等，這些類型是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本章的重點(diǎn)，也是“新課標(biāo)”下高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，是分析和解決函數(shù)問題的有效工具。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 曲線的切線 單調(diào)性 極值和最值

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重要性和廣泛性，我們從每年高考的《考試說明》當(dāng)中可以充分體會(huì)到。有關(guān)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，主要類型有：求曲線的切線、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值和最值、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式等，這些類型是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一，也是“新課標(biāo)”下高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。由于導(dǎo)數(shù)其應(yīng)用的廣泛性，為解決函數(shù)問題提供了一般性的方法，因此在高考中占有較為重要的地位，其考查重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值和最值、不等式的證明等問題方面。本文簡(jiǎn)要談一下導(dǎo)數(shù)在這幾個(gè)方面的應(yīng)用。

一、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程

例1：（2016年全國(guó)III高考）已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_______________。

解：f（x）為偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=ln（-x）+3x，即有x>0時(shí)，時(shí)f（x）=lnx-3x，f′（x）=1x-3，可得f（1）=ln1-3=-3，f′（1）=1-3=-2，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，-3）處的切線方程為y-（-3）=-2（x-1），即為2x+y+1=0。

例2：求在點(diǎn)處的切線方程。

解：設(shè)過點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，

又，故，。

即切線的斜率為4或12，從而過點(diǎn)的切線為：

點(diǎn)評(píng)：要注意所給的點(diǎn)是否是切點(diǎn)，若是，可以直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；不是則需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的斜率求解。

二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題

例3：（2016年全國(guó)II高考節(jié)選）討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，。

解：由得

∵ 當(dāng)時(shí)，

∴在上單調(diào)遞增

∴時(shí)，

∴ 。

例4：已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍。

解：由題意得， 在上是減函數(shù)，在上恒成立，且，即且，。

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是高考的熱點(diǎn)問題。若利用定義求解，一般較為復(fù)雜，但新教材引入導(dǎo)數(shù)以后，則有效地解決了這一問題。利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的法則為：在區(qū)間D上，若，則在D上是增函數(shù)；若，則在D上是減函數(shù)。反之，若在D內(nèi)可導(dǎo)，且若在D上是增（減）函數(shù)，則一定有。

三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值

例5：函數(shù)在處有極值10，求的值。

解：

∵

∴f′（x）=3x2+2ax+b

∵函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10

∴ f′（1）=3+2a+b=0， f（1）=1+a+b+a2=10

解得或，當(dāng)時(shí)

f′（x）=3x2+8x-11=（3x+11）（x-1），當(dāng)時(shí)

f′（x）<0， 當(dāng)x>1時(shí)， f′（x）>0，滿足x=1處為極值點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2

易知在x=1的兩側(cè)f′（x）>0，

故x=1不是極值點(diǎn)，應(yīng)舍去。故只有a=4 ，b=-11滿足題意。

點(diǎn)評(píng)：可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是在處取得極值的必要但不充分條件，故需驗(yàn)證滿足在x=1的兩側(cè)單調(diào)性相反，即導(dǎo)數(shù)異號(hào)才為極值點(diǎn)。

例6：

求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值。

解：令化簡(jiǎn)為

解得或。其中舍去

又由且，得知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，同理， 得知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是。

所以為函數(shù)的極大值。

又因?yàn)椤?/p>

所以，為函數(shù)在上的最小值，為函數(shù)在上的最大值。

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)在某閉區(qū)間上的最值，首先需求函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極值，然后，將的各個(gè)極值與閉區(qū)間上的端點(diǎn)的值、比較，才能得出函數(shù)在上的

最值。

四、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用

近幾年高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)命題基本方向沒變，首先用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、極值、最值等），然后用所得到性質(zhì)綜合處理函數(shù)圖像、方程根的分布、不等式等有關(guān)問題，這也是教學(xué)中的難點(diǎn)，值得注意。

例7：（2015年新課標(biāo)2理12）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

解：設(shè)g（x）= ，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為

∵當(dāng)x>0時(shí)，總有xf′（x）0時(shí)，g′（x）恒小于0。∴當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）x為減函數(shù)，又∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)，又g（-1）=f（-1）-1=0，∴ 函數(shù)g（x）的圖象類似如上圖，由數(shù)形結(jié)合思想可得，不等式f（x）>0?x·g（x）>0?或?0

例8：當(dāng)時(shí)，證明不等式 。

證明：設(shè)

可求得其定義域?yàn)椋?1，+ ∞）。由 （時(shí)，）可知，f（x）在（-1，+ ∞）上是增函數(shù)。又，∴

即。故對(duì)一切都成立。

點(diǎn)評(píng)：我們知道函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于（或小于）0時(shí)，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減）。因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的。即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性。

導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用，為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具。因此，在日常教學(xué)中， 遇到函數(shù)問題，要有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生用導(dǎo)數(shù)來解決問題，要突出導(dǎo)數(shù)的工具性。這樣，學(xué)生在參加高考時(shí)，才能做到知己知彼、百戰(zhàn)不殆！