淺談古典概型專題的復(fù)習(xí)

唐運(yùn)軍

古典概型是高中概率學(xué)習(xí)的重要類型之一，古典概型的基本事件個(gè)數(shù)是求概率的關(guān)鍵，然而由于文科學(xué)生沒有學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)原理，基本事件的個(gè)數(shù)基本上只能通過列舉的方式得到，因此不重不漏的列舉出所有基本事件成了學(xué)生的最大困難。本文針對(duì)本節(jié)知識(shí)的特點(diǎn)和文科學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)的實(shí)際困難，從兩個(gè)方面談?wù)勎目粕鷮?duì)古典概型專題的復(fù)習(xí)。

一、解決古典概型問題的前提--把握基本特點(diǎn)，掌握概率公式

古典概型基本特點(diǎn)：

（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；

（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；

古典概型計(jì)算公式：

解決古典概型問題時(shí)，許多同學(xué)容易忽略“每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等”這個(gè)基本特點(diǎn)，導(dǎo)致解答錯(cuò)誤。

例1，同時(shí)擲兩個(gè)骰子，計(jì)算向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是多少？

解法一：擲一個(gè)骰子的結(jié)果有6種，我們把兩個(gè)骰子標(biāo)上記號(hào)1，2以便區(qū)分，由于1號(hào)骰子的每一個(gè)結(jié)果都可與2號(hào)骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對(duì)，組成同時(shí)擲兩個(gè)骰子的一個(gè)結(jié)果，因此同時(shí)擲兩個(gè)骰子的結(jié)果有36種。在這36種結(jié)果中，向上點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），其中第一個(gè)數(shù)表示1號(hào)骰子的結(jié)果，第二個(gè)數(shù)表示2號(hào)骰子的結(jié)果。由于所有36種結(jié)果是等可能的，其中向上點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有4種，因此，由古典概型的概率計(jì)算公式可得，P（向上的點(diǎn)數(shù)之和是5）

解法二：擲一個(gè)骰子的結(jié)果有6種.那么兩個(gè)骰子之和有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11個(gè)結(jié)果，因此，由古典概型的概率計(jì)算公式可得，P（向上的點(diǎn)數(shù)之和是5）

兩個(gè)答案都是利用古典概型的概率計(jì)算公式得到的，為什么會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果呢？這就需要考察兩種解法是否滿足古典概型的基本特點(diǎn)，本題基本事件如下表：

觀察表中數(shù)據(jù)容易發(fā)現(xiàn)，向上點(diǎn)數(shù)之和為2和12的情況各有1次，向上點(diǎn)數(shù)之和為3和11的情況各有2次，向上點(diǎn)數(shù)之和為4和10的情況各有3次，向上點(diǎn)數(shù)之和為5和9的情況各有4次，向上點(diǎn)數(shù)之和為6和8的情況各有5次，向上點(diǎn)數(shù)之和為7的情況有6次，顯然第二種解法中構(gòu)造的11個(gè)基本事件不是等可能發(fā)生的，不滿足古典概型的基本特點(diǎn)，直接使用古典概型的公式求解就出現(xiàn)了錯(cuò)誤.在古典概型專題復(fù)習(xí)時(shí)，要求學(xué)生使用古典概型公式前一定要注意驗(yàn)證所構(gòu)造的基本事件是否滿足古典概型的基本特點(diǎn)。

二、掌握古典概型三種常規(guī)列舉的方式，不重不漏的列舉出所有基本事件

準(zhǔn)確的列舉出基本事件個(gè)數(shù)是解決古典概型的關(guān)鍵，文科學(xué)生沒有學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)原理，基本事件的個(gè)數(shù)只能通過列舉的方式得到。不重不漏的列舉出所有基本事件成了學(xué)生的最大困難，本文將古典概型概括為三大類型。

類型一：從一個(gè)含有n個(gè)元素的集合中無順序之分的抽取m（）個(gè)元素.建議采用定頭順尾，不回頭的列舉方式。

例2，（2008年海南卷）為了了解《中華人民共和國道路交通安全法》在學(xué)生中的普及情況，調(diào)查部門對(duì)某校6名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，6人得分情況如下：5、6、7、8、9、10，把這6名學(xué)生的得分看成一個(gè)總體。

（1）求該總體的平均數(shù)；

（2）用簡單隨機(jī)抽樣方法從這6名學(xué)生中抽取2名，他們的得分組成一個(gè)樣本.求該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5的概率；

本題第（2）小題屬于古典概型題，等價(jià)于從一個(gè)含有6個(gè)元素的集合中沒有順序的抽取2個(gè)元素.因此在列舉時(shí)，我們可以先依次定下頭位，順著元素不回頭的依次列舉。如定5頭順著元素不回頭的列舉依次就可以得到（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），定6頭順著元素不回頭的列舉依次就可以得到（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），定7頭順著元素不回頭的列舉依次就可以得到（7，8），（7，9），（7，10），定8頭順著元素不回頭的列舉依次就可以得到（8，9），（8，10），定9頭順著元素不回頭的列舉依次就可以得到（9，10），這樣就非常容易的不重不漏的15個(gè)基本事件全部列舉得到。

類型二：從一個(gè)含有n個(gè)元素的集合中有順序之分的抽取m（）個(gè)元素.建議采用樹狀圖的方法依次例舉。

例3，從A、B、C、D 4名學(xué)生中任選兩名同學(xué)分別擔(dān)任正副班長，求A為正班長的概率。

本題屬于古典概型題，等價(jià)于從一個(gè)含有4個(gè)元素的集合中有順序的抽取4個(gè)元素。因此在列舉時(shí)，我們可以采用樹狀圖的方法依次例舉。

副班長

由上樹狀圖可以得到從A、B、C、D 4名學(xué)生中任選兩名同學(xué)分別擔(dān)任正副班長的基本事件有（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（C，D），（D，A），（D，B），（D，C）共12個(gè)（其中橫坐標(biāo)表示正班長，縱坐標(biāo)表示副班長）。

類型三：從兩個(gè)集合中各抽取1個(gè)元素.建議采用列列聯(lián)表的方法依次例舉。

例4，（2007年海南卷）設(shè)有關(guān)于的一元二次方程

（1）若是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率。

本題第（1）小題屬于古典概型題，等價(jià)于從集合和集合兩個(gè)集合中各抽取一個(gè)元素.因此可以采用如下列聯(lián)表的方法依次例舉。

從上表可以得到若是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)可以得到（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）共12個(gè)基本事件（其中橫坐標(biāo)表示，縱坐標(biāo)表示）。

古典概型的習(xí)題非常多，文科學(xué)生雖然沒有學(xué)計(jì)數(shù)原理，但只要抓住了其基本特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)倪x擇列舉方法，靈活運(yùn)用，就能夠有效的降低難度，減少錯(cuò)誤，提高復(fù)習(xí)的效率。

參考文獻(xiàn)：

[1]張淑梅主編.普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)均教科書――數(shù)學(xué)必修3（A版）[M].人民教育出版社，2010