一類線性丟番圖方程非負(fù)整數(shù)解的探討

摘 要：隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，由古希臘亞歷山大學(xué)后期的重要學(xué)者和數(shù)學(xué)家丟番圖（diophantus）的名字命名的丟番圖方程在電力、化工、生物等生產(chǎn)實(shí)際、工程設(shè)計等領(lǐng)域得到了愈來愈重要的應(yīng)用。本文主要研究一類線性丟番圖方程的非負(fù)整數(shù)解的存在性問題。

關(guān)鍵詞：丟番圖方程 非負(fù)整數(shù)解 素質(zhì)教育

一、引言

隨著素質(zhì)教育在中小學(xué)的進(jìn)一步推行，現(xiàn)在我們的中學(xué)生活豐富，經(jīng)常參加一些實(shí)踐，科技競賽等活動。在參加生物競賽的時候，我們遇到了蛋白質(zhì)分子組成的判定問題，經(jīng)與老師同學(xué)們研究，發(fā)現(xiàn)如果將蛋白質(zhì)分子分子量記為種氨基酸的已知分子量，，的線性組合，這一類問題可以即可轉(zhuǎn)化為一類線性丟番圖方程的求解問題，這樣就把一個生物問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題。同時這個轉(zhuǎn)化也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的地位和作用。當(dāng)我們在實(shí)際生活中需要求某一類特定方程的整數(shù)解的時候，那么就會得到由古希臘亞歷山大學(xué)后期的重要學(xué)者和數(shù)學(xué)家丟番圖（diophantus）的名字命名的一個丟番圖方程。當(dāng)時代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一丟番圖在有理數(shù)域上寫下了一些方程。丟番圖方程又被稱為不定方程、整系數(shù)多項式方程。近些年，丟番圖方程的求解問題也受到了廣大學(xué)者的關(guān)注。丟番圖方程整數(shù)解的存在性已經(jīng)有很多相關(guān)結(jié)果，本文主要研究一類線性丟番圖方程的非負(fù)整數(shù)解的問題。

首先我們給出一次線性丟番圖方程的概念。

定義 方程 （1）稱為元一次線性丟番圖方程。這里都是整數(shù)。

下面的引例在本文主要結(jié)論的證明過程中將要用到，也是一次線性丟番圖方程整數(shù)解的存在的一個常用的充分必要條件。

引理 設(shè)，，是不全為零的正整數(shù)，對任意的整數(shù)，都存在，，使得方程成立當(dāng)且僅當(dāng)。特殊的，方程（1）對每個有解當(dāng)且僅當(dāng)。

二、主要結(jié)論

本節(jié)我們給出本文的兩個主要結(jié)論，分別給出了一次線性丟番圖方程非負(fù)整數(shù)解的存在的一個常用的充分條件。

定理 2.1 設(shè)，，皆為正整數(shù)，并且滿足，如果，則一次線性丟番圖方程存在非負(fù)整數(shù)解，，。

證明 因為，由引理可得，存在整數(shù)，，，使得一次線性丟番圖方程成立。

由帶余除法可知，存在整數(shù)，，，使得 成立，這里。

不妨設(shè)，那么

。

又由題設(shè)知，。

因此，，從而，故得證。

定理 2.2 設(shè)，，皆為正整數(shù)，并且滿足，當(dāng)時，一次線性丟番圖方程存在非負(fù)整數(shù)解，，。

證明 因為

所以，我們有

。

再結(jié)合定理2.1可知定理2.2成立。

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作者簡介：顏若珂（1999-），女，漢，兗州區(qū)第一中學(xué)高三級27班，山東省濟(jì)寧市兗州區(qū)，研究方向：丟番圖方程