淺談電源輸出功率隨路端電壓的變化

胡偉軍

電源的輸出功率的表達(dá)式為P=UI，如果僅僅由公式的形式來看，認(rèn)為P與U成正比，那就錯(cuò)了，應(yīng)為U和I都隨外電路電阻的變化而變化。要了解P隨U的變化關(guān)系，就得找到P和U的函數(shù)關(guān)系，對(duì)此分析如下：

由公式ε=U+Ir，把電流I= 帶入整理

可得： P= + U （1）

上式中P為電源輸出功率，U為路端電壓，ε和r為電源電動(dòng)勢(shì)和電源內(nèi)阻，由此可見，P跟U成二次函數(shù)關(guān)系，應(yīng)為U2的系數(shù)是負(fù)值，所以P-U圖像是一條開口朝下的拋物線，而且P有最大值。要得到P的最大值，我們可以對(duì)（1）式配方

可得：P= （U- ）2+ （2）

由（2）式可見當(dāng)U= 時(shí)，P有最大值為 ，這與我們課本上面所得到的結(jié)論是一致的，課本上是用P與R的關(guān)系得出的，當(dāng)R=r時(shí)P有最大值為 ，實(shí)際上當(dāng)R=r時(shí)也就是U= 時(shí)。

根據(jù)（1）式及Pmax= 做P-U曲線，如圖所示。由圖像可知，U=0，P=0表示短路狀態(tài)的輸出功率為零，此時(shí)電源的功率全部在內(nèi)電路消耗，當(dāng)0

從圖像中還可以看出，跟同一輸出功率相應(yīng)的有兩個(gè)不同的路端電壓，而且這兩個(gè)電壓之和等于電源電動(dòng)勢(shì)。即U1+U2=ε，如U1= 和U2= 時(shí)的對(duì)應(yīng)功率相等。最明顯的是P=0時(shí)U1=0，U2=ε則U1+U2=ε，而對(duì)上述結(jié)論的證明如下：

將（1）式變?yōu)?- U+P=0 （3）

當(dāng)P為一定值時(shí)（3）式為關(guān)于U的一元二次方程，其解為：

U= ±

因?yàn)镻≤ ，所以U1= + 及U2= - 都是（3）式的解。

由上式可得：U1+U2=ε。

所以可以證明，當(dāng)P一定時(shí)有兩個(gè)電壓值對(duì)應(yīng)，且U1+U2=ε。

由于U、I的變化是由外電阻的變化引起的，所以某一恒定的輸出功率也有兩個(gè)不同的外電阻R1、R2與之相對(duì)應(yīng)，且R1、R2滿足的關(guān)系滿足R1R2=r2。而對(duì)此結(jié)論的證明可以根據(jù)U1+U2=ε進(jìn)行變換得出。

因?yàn)?U1=IR1= R1 U2=IR2= R2

所以 R1+ R2=ε

等式兩邊同乘以（R1+r）（R2+r）后，經(jīng)整理可得R1R2=r2。

例1： 如圖所示，電路中電池的電動(dòng)勢(shì)E=5V，內(nèi)電阻r=10Ω，固定電阻R=90Ω，R0是可變電阻，在R0從零增加到400Ω的過程中，求：

（1）可變電阻R0上消耗功率最大的條件和最大熱功率。

（2）電池的電阻r和固定電阻R上消耗的最小熱功率之和。

分析與解：

（1）可變電阻R0上消耗的熱功率：

P0=I2R0=（ ）2R0= R0

代入數(shù)值可得：P0= R0=

∴ R0-100Ω=0時(shí)，P0最大，其最大值：Pmax= W= W

（2）當(dāng)電流最小時(shí)，電阻r和R消耗的熱功率最小，此時(shí)R0應(yīng)調(diào)到最大400Ω，內(nèi)阻r和固定電阻R上消耗的最小熱功率之和為： Pmin=（ ）2（R+r）=0.01W

本題關(guān)鍵是寫出P0、Pmin表達(dá)式，進(jìn)行數(shù)學(xué)變換。一定要養(yǎng)成先寫表達(dá)式，再求值的良好解題習(xí)慣，否則就容易出錯(cuò)。

例2：有四個(gè)電源，電動(dòng)勢(shì)均相等，內(nèi)電阻分別為1Ω、2Ω、4Ω、8Ω，現(xiàn)從中選擇一個(gè)對(duì)阻值為2Ω的電阻供電，欲使電阻獲得的電功率最大，則所選電源的內(nèi)電阻為：

A. 1Ω B. 2Ω C. 4Ω D. 8Ω

正確答案：A

解析：本題不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為r和R相等時(shí)電源輸出功率最大，因?yàn)樗膫€(gè)電源具有相同的電動(dòng)勢(shì)，但內(nèi)電阻不同。因?yàn)橥怆娮鑂為已知量是一定值，所以，由公式P=I2可得，電路電流越大R消耗的功率越大，所以應(yīng)該選擇內(nèi)電阻最小的電源，所以選A選項(xiàng)。