講評試卷預(yù)設(shè)專題，由表及里明辨模型
——以“a+k·b”線段最小值專題輔導(dǎo)為例

☉江蘇蘇州市吳江區(qū)笠澤實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)張贊

講評試卷預(yù)設(shè)專題，由表及里明辨模型
——以“a+k·b”線段最小值專題輔導(dǎo)為例

☉江蘇蘇州市吳江區(qū)笠澤實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)張贊

中考復(fù)習(xí)期間會有大量的?？碱}出現(xiàn)在備考師生面前，絕多數(shù)模考題的得來多是簡單復(fù)制、拿來主義.最近復(fù)習(xí)過程中，我們在某份?？季砩线x用了一道2016年中考原題，該題最后一小問與前面小問之間缺少關(guān)聯(lián)，參加?？嫉膶W(xué)生幾乎“全軍覆沒”，這促使我們深入思考應(yīng)該如何應(yīng)對這類難題的講評.本文先介紹該題的思路突破，進(jìn)而展示我們針對這一類型試題的專題輔導(dǎo).

一、一道“拼湊式”壓軸題及難點(diǎn)突破

考題：如圖1，拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜4），過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M.

（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若=，求m的値；

（3）如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值.

圖1

圖2

思路簡述：前兩問比較常規(guī)，限于篇幅，這里略去思路，直接給出答案（.1）a=-，直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3；（2）m的值為2.

圖3

（3）在上一問的條件下，容易確認(rèn)點(diǎn)E（2，0），OE=2.由于這一小問與前面拋物線、動直線PE已無關(guān)，于是把無關(guān)線條刪減之后，在圖3中進(jìn)一步構(gòu)圖

化為兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離，我們預(yù)設(shè)了如圖4所示的PPT，輔導(dǎo)講解.

圖4

解后反思：由于該題最后一問需要較高難度的構(gòu)圖，多數(shù)學(xué)生在沒有接觸過的情況下，在考場上沒有順利突破在情理之中，該題的構(gòu)圖背后有一個(gè)“高觀點(diǎn)”知識的結(jié)構(gòu)，這就是所謂“阿波羅尼斯圓”問題.（百度可知：阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga，約公元前262—190年），古希臘數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名）

由于形如“a+k·b”線段最小值問題在初中階段不太常見，我們擬對該類專題進(jìn)行輔導(dǎo)，作為這道考題的拓展式講評，以下就是該專題的教學(xué)簡案.

二、形如“a+k·b”線段最小值的專題輔導(dǎo)設(shè)計(jì)

因?yàn)閺?fù)習(xí)講評時(shí)間有限，本專題輔導(dǎo)僅關(guān)注k≠1的情形.

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）“胡不歸”問題.

例1（2016年徐州卷壓軸題，有刪減）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（0，-）、C（2，0），其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

圖5

圖6

預(yù)設(shè)講評：（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為

（2）如圖6，過P點(diǎn)作DE⊥AB于E點(diǎn)，由題意已知∠ABO=30°.

拓展講評：可先介紹所謂的“胡不歸”故事（限于篇幅這里不摘引），但告知學(xué)生故事真假需要存疑，我們只需要感受其中的數(shù)學(xué)智慧，并且“胡不歸”問題的本質(zhì)是光線在不同介質(zhì)中的傳播，早在17世紀(jì)世界業(yè)余數(shù)學(xué)家之王費(fèi)馬就曾對該問題有過深刻的思考，供有興趣的學(xué)生課后鏈接學(xué)習(xí).

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）“阿氏圓”問題.

例2（2016年北京東城區(qū)中考一模，壓軸題改編）如圖7，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，⊙A與BC邊相切，點(diǎn)P為⊙A上一動點(diǎn)，連接PB、PC.試求PC+PB的最小值.

圖7

圖8

預(yù)設(shè)講評：首先確認(rèn)圓的半徑為，在AB邊上取點(diǎn)Q，構(gòu)造△APQ∽△ABP，可將PB轉(zhuǎn)化為PQ，再利用相似三角形對應(yīng)比之比分析出AQ的長為1，從而確定Q點(diǎn)的位置，連接CQ交⊙A于P′，則此時(shí)PC+PB取得最小值.

預(yù)設(shè)小結(jié)：數(shù)學(xué)史話介紹（對古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯作出簡要介紹），并幫助學(xué)生總結(jié)“阿氏圓”問題一般解題步驟：如“PC+k·PD”最小值的構(gòu)圖（如圖9~11）步驟如下：

圖9

圖10

圖11

第一步：連接動點(diǎn)與圓心O（將系數(shù)不為1的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心相連接），則連接OP、OD；

第二步：計(jì)算出所連接的這兩條線段OP、OD的長度；

第五步：連接CM，與圓O的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）評講“考題”.

重點(diǎn)講評上面的“考題”第（3）問.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）同類訓(xùn)練.

圖12

訓(xùn)練題：（2016年重慶B卷，改編）如圖12，頂點(diǎn)為M的拋物線y=x2-2x+1與直線y=kx+b（k≠0）交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B在第一象限內(nèi).

（1）求直線AB和直線BM的解析式；

（2）點(diǎn)C為拋物線在第一象限上一點(diǎn)，且點(diǎn)C到x軸的距離是，在線段AB上找一點(diǎn)D（不與點(diǎn)A、B重合），求CD+BD的最小值.

設(shè)計(jì)意圖：容易確定直線AB的解析式為y=x+1；直線BC的解析式為y=2x-5.進(jìn)而構(gòu)造等腰直角三角形BDE，將BD轉(zhuǎn)化為DE，當(dāng)C、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，CD+BD取得最小值.

三、寫在后面

經(jīng)由上述專題輔導(dǎo)后，不少學(xué)生反映對這兩類問題有較深的理解，特別是明辨了類似結(jié)構(gòu)的最小值問題的不同模型.這對今后我們的中考專題復(fù)習(xí)也帶來了更多的研發(fā)視角，這就是不僅可以是以往以開放題、探究題、動態(tài)題、圖形變換題等形式化的分類輔導(dǎo)，而且可以從一些難題的突破策略或某類解題模型或問題深層結(jié)構(gòu)的角度構(gòu)造、研發(fā)中考專題，想來這應(yīng)該是一個(gè)很有意義的研究方向，就讓我們共同努力、豐富相關(guān)課例吧！

1.陳蓓蓓.例說幾何定理教學(xué)的層次——由傅種孫先生數(shù)學(xué)教育思想說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.

2.羅增儒.數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟［M］.鄭州：河南科學(xué)技術(shù)出版社，1997.

3.孟慧.幾何綜合題研究：從思路貫通到教學(xué)微設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.