以靜制動(dòng)自然生成
——以2016年甘肅省張掖市中考數(shù)學(xué)卷第28題為例

☉甘肅張掖市第三中學(xué)李永明

以靜制動(dòng)自然生成
——以2016年甘肅省張掖市中考數(shù)學(xué)卷第28題為例

☉甘肅張掖市第三中學(xué)李永明

一、問題的提出

“怎樣解題表”是喬治·波利亞凝聚成的一套集解題思想、解題過程、解題思路、解題方法等于一身的一個(gè)完整的解題教學(xué)系統(tǒng).它融理論與實(shí)踐于一體，為學(xué)生提出問題、解決問題指明了方向.如何才能在中考壓軸題中有效利用“怎樣解題表”解決“動(dòng)點(diǎn)問題”呢？按照“怎樣解題表”指引，筆者結(jié)合2016年甘肅省張掖市中考數(shù)學(xué)卷第28題，從弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧四個(gè)方面入手，認(rèn)真反饋解題的思維過程，分析解題過程中的邏輯關(guān)系，使“怎樣解題表”由常識上升為理論，讓每個(gè)學(xué)生學(xué)會解題過程分析，提高解題能力.現(xiàn)拙文呈現(xiàn)其“四階段”思維過程，以期拋磚引玉，與同行交流.

二、解題思維過程分析

原題：（2016年甘肅張掖第28題）如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（0，3）兩點(diǎn).

（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式.

（2）如圖1，動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB方向以個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E、F中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接EF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△AEF為直角三角形？

圖1

圖2

（3）如圖2，取一根橡皮筋，兩端點(diǎn)分別固定在A、B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)構(gòu)成無數(shù)個(gè)三角形，在這些三角形中，是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請簡要說明理由.

1.弄清問題.

“弄清問題”是解題的前提.在認(rèn)真閱讀題目后，必須分析本題的“未知是什么？已知是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？”

認(rèn)真閱讀例題，已知條件有三個(gè)：

拋物線y=-x2+bx+c的解析式；

拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）；

拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（0，3）.

未知有三問：

（1）第一問求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；

（2）第二問當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，求t的值；

（3）第三問當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.擬定計(jì)劃.

“擬定計(jì)劃”是解題的關(guān)鍵，是一個(gè)探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程，也是一個(gè)化歸過程.“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？”

針對以上問題，要努力追憶在課本、資料中出現(xiàn)過的類似題目，從大腦中提取出與本例題有關(guān)的定義、公式、定理、類題等解題依據(jù)，把想到的與本題有關(guān)的信息都羅列出來，供下一步使用.

題型：求拋物線、一次函數(shù)解析式的題型；動(dòng)點(diǎn)問題的題型；求三角形最大值問題的題型.

定義：正切的定義.

性質(zhì)：相似三角形的性質(zhì)等.

第（1）問：

問題思考1：從已知和未知條件思考：要確定拋物線y=-x2+bx+c和直線AB的解析式，只要知道什么就可以了？

已知拋物線y=-x2+bx+c的解析式中二次項(xiàng)系數(shù)a= -1，b和c未知，解析式中有兩個(gè)未知數(shù)，所以確定解析式只需要知道兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，就可用待定系數(shù)法求出其解析式.同理，直線AB的解析式也可用待定系數(shù)法求出.

問題思考2：從熟悉的題型思考：你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題.這是一個(gè)與你現(xiàn)在的問題相關(guān)，且早已解決的問題.你能不能利用它的結(jié)果和方法呢？

求解析式這類題經(jīng)常練習(xí)，常用方法是待定系數(shù)法.

第（2）問：

問題思考1：從已知條件分析：你知道這是一個(gè)什么問題嗎？第（2）問引入速度和時(shí)間后，你還能得到哪些條件？

它是一個(gè)雙動(dòng)點(diǎn)問題.E和F是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，知道其運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間t，就可以把E和F兩點(diǎn)的路程表示出來，即OE=t，AF=t.

問題思考2：你知道解決此類問題的方法嗎？

解決此類問題的策略就是以靜制動(dòng)，運(yùn)用以退求進(jìn)的方法，退到特殊情況尋找突破口.也就是把動(dòng)點(diǎn)E和F分別靜止到△AEF為直角三角形時(shí)的特殊位置.

問題思考3：你知道△AEF為直角三角形的幾種特殊位置嗎？能畫出草圖嗎？

△AEF為直角三角形一般有三種情況，但從圖形上分析，∠EAF固定不變，如圖3、4，所以有兩種情況.

圖3

圖4

問題思考4：你見過這類型的題嗎？你知道解決此題的方法嗎？

這是常見的方程模型，由線段OE、OA的長求出線段AE的長，通過相似或三角函數(shù)列出方程，從而求出t的值.通過這種方法就把已知和未知兩者聯(lián)系了起來，使問題得到了解決.

第（3）問：

問題思考1：從未知條件分析：你知道這是一個(gè)什么問題嗎？從整體上分析你認(rèn)為點(diǎn)P存在嗎？

第（3）問實(shí)質(zhì)上也是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在拋物線上移動(dòng)到達(dá)點(diǎn)B，△PAB的面積逐漸增大，又逐漸減小，在這一連續(xù)的過程中，一定有一個(gè)最大值.

問題思考2：在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中你發(fā)現(xiàn)了哪些不變的量？哪些變化的量？

線段AB的長不變，△PAB中邊AB上的高在變化.

問題思考3：你見過這種類型的題嗎？解決此題的關(guān)鍵是什么？如何解決？

見過，解決的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△PAB的面積最大.從圖上可以分析，在△PAB中，線段AB的長是固定的，當(dāng)△PAB中AB邊上的高達(dá)到最大值時(shí)，△PAB的面積也最大，也就是說可以向上平移直線AB，如圖5，平行線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用平行線間的距離處處相等，當(dāng)直線AB平移到與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，如圖6，△PAB中AB邊上的高達(dá)到最大值，這時(shí)就找到了點(diǎn)P的準(zhǔn)確位置，通過已知條件的變換，找到了點(diǎn)P，它是存在的.下面還得求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，拋物線的解析式與平移后的直線的解析式組成方程組，當(dāng)有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，Δ=0，求出t的值.

圖5

圖6

3.實(shí)現(xiàn)計(jì)劃.

解：（1）由拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（0，3）兩

（3）如圖7，存在.

過點(diǎn)P作PC∥AB交y軸于C.設(shè)直線PC的解析式為y=-x+b.由得-x+b=-x2+2x+3，則x2-3x+b-3=0.

圖7

過點(diǎn)B作BD⊥PC，則直線BD的解析式為y=x+3，

4.回顧.

解題后的回顧是對解題過程的反思，從中發(fā)現(xiàn)新的解題方法，提煉解題思想，形成對未來有指導(dǎo)作用的解題經(jīng)驗(yàn)，升華為學(xué)生分析、加工和運(yùn)用信息的數(shù)學(xué)才能，從而提高學(xué)生的解題能力.

（1）從正面檢驗(yàn)每一步，推理是否有效，演算是否準(zhǔn)確.再做特殊性檢驗(yàn)，由結(jié)論出發(fā)，由拋物線y=-x2+2x+3和直線y=-x+3，令x=0，得到y(tǒng)的值都是3，進(jìn)一步與點(diǎn)B（0，3）的橫、縱坐標(biāo)對比，如果都一致，說明正確.

（2）回顧解題過程可以看到，首先要弄清問題，分析已知和未知，簡化已知條件，并從圖形和記憶中提取有用信息，并相應(yīng)將兩組信息資源做合乎邏輯的有效組合.這當(dāng)中，起調(diào)控作用的關(guān)鍵是如何去構(gòu)思出一個(gè)成功的計(jì)劃（包括解題策略），也可以根據(jù)自己的解題經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步領(lǐng)悟制定計(jì)劃的普遍建議或模式.

（3）在解題方法上，它是分析法的成功應(yīng)用，對于第（2）問，由結(jié)論出發(fā)，由后往前找成立的充分條件，求出t的值，我們只需畫出t值存在的兩種情況的草圖，用t的代數(shù)式表示出線段AE、AF的長，通過相似或三角函數(shù)列出方程，從而求出t的值.

（4）在解題思想上，它是方程思想的成功應(yīng)用，三個(gè)小題都用到了方程思想，第（1）問為了求解析式，列出了二元一次方程組.第（2）問要求t的值，要列出一個(gè)分式方程來解，難度進(jìn)一步加大.第（3）問要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，要列一個(gè)二元二次方程組，根據(jù)化解后的一元二次方程根的判別式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（5）“你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？”在信念上我們應(yīng)該永遠(yuǎn)堅(jiān)定地做出肯定的回答，雖然你沒有實(shí)現(xiàn)，但這只是能力問題或暫時(shí)現(xiàn)象.對于第（3）問，還有以下解法.

圖8

方法2：如圖8，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥PG，這樣我們可以把△PAB分成△PAG和△PBG兩個(gè)三角形，由圖形可知△PBG和△PAG邊PG上的高分別是線段BN和AM，BN+AM=OA=3是個(gè)常量，只要求出PG的最大值，即可得△PAB的最大值.設(shè)點(diǎn)P（m，-m2+2m+3），由題意知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，-m+3），所以PG=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m.S△PAB=3），當(dāng)m=-，此時(shí)點(diǎn)時(shí)，△PAB的面積最大，最大是P（，）.

圖9

方法3：如圖9，可以用分合并用的方法，將△PAB的面積轉(zhuǎn)化為四邊形PAOB的面積減去△OAB的面積，四邊形PAOB的面積等于△OBP的面積加上△OPA的面積.設(shè)點(diǎn)P為（m，-m2+2m+3），S△PAB=S四邊形PAOB-S△OAB=-時(shí)，△PAB的面積最大，最大是，此時(shí)點(diǎn)P（，）.

三、反思小結(jié)

綜述以上解題過程，解答一道題，第一件事就是想知道：這是道什么題？它是什么形式，屬于哪種類型？如果識別了其類型，就得到了解題方法，因?yàn)樵谡n本里，許多類型的習(xí)題都有它們特定的解題方法和策略.例如，模式識別，映射化歸，數(shù)形結(jié)合，差異分析，分合并用，動(dòng)靜轉(zhuǎn)換，進(jìn)退互化，有效增設(shè)，正反相輔，以美啟真等.如果識別的類型不是我們熟悉的類型，我們不知道其解題方法，那么，我們應(yīng)該怎么辦呢？只有歸結(jié)為熟悉的早已解決的問題，利用變換、改編或其他方法，最終化歸為已經(jīng)解決的問題.如果遇到不熟悉的和費(fèi)解的問題，那么，所有已知的建議都無濟(jì)于事了，這時(shí)尋找解題思路有兩種方法：一種方法是把問題“分解”，使每一個(gè)小問題都是熟悉的；另一種方法是可以揭示問題的深層結(jié)構(gòu)，使問題的實(shí)質(zhì)是熟悉的，還可以不間斷地改編問題，最終化歸為已經(jīng)解決的的問題.

總之，解題就是把題目歸結(jié)為已經(jīng)解過的題，是一個(gè)改編習(xí)題的過程.我們只有不斷地去弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧反思，對已知和結(jié)論不斷地去分析，找到它們的聯(lián)系，才能找到一個(gè)簡潔、高效的解題方法.

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

2.羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

3.李永明.捕捉、提取、組合、反饋四階段解題的思維剖析與思考——以2014年張掖卷第28題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（7）.