☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心陳莉
探究考題研發(fā)課例,切實提升復習效益
——以2016年廣東廣州第24題教學為例
☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心陳莉
中考復習階段的備課,重在選題,支持入選例題講評的理由可以有很多,比如,貼近某知識點選題,或依據(jù)某數(shù)學方法或解題策略選題,或嘗試由一道題關聯(lián)多個知識點、數(shù)學思想方法,以達到精選精練,通過解題教學發(fā)揮例題的價值.本文擬結(jié)合近期筆者在中考二輪復習期間一道例題的備課、教學經(jīng)歷,闡釋中考復習時例題預設的一些思考,供研討.
考題:(2016廣東廣州中考卷,第24題)已知拋物線y=mx2+(1-2m)x+1-3m與x軸相交于不同的兩點A、B.
(1)求m的取值范圍.
(2)證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標軸上的一點P,并求出點P的坐標.
思路簡述:
(1)需要考慮兩個方面.第一,由二次函數(shù)的定義知二次項不為0,所以m≠0.第二,根據(jù)拋物線與x軸相交于不同的兩點,得對應的一元二次方程mx2+(1-2m)x+1-3m=0的根的判別式為正數(shù)!所以Δ=(1-2m)2-4m(1-3m)= 16m2-8m+1=(4m-1)2>0,故4m-1≠0,解得m≠.綜上可知,m的取值范圍是m≠0且m≠.
(2)首先要理解待證的方向,即開展目標解析,這是一個過定點問題,也就是無論x取何值,都與參數(shù)m無關,那就需要將二次函數(shù)重新變形、整理,y=mx2+(1-2m)x+ 1-3m=mx2+x-2mx+1-3m=(x2-2x-3)m+x+1,這一步變形十分關鍵,因為此時m是否發(fā)揮作用,與(x2-2x-3)有關,只要x2-2x-3=0,那么y的值便與m的取值無關,也就是說拋物線必過定點.解方程x2-2x-3=0,得x1=3,x2=-1.
當x=3時,y=9m+3-6m+1-3m=4,即P(3,4);
當x=-1時,y=m-1+2m+1-3m=0,點(-1,0)是x軸上的點,不合題意,舍去.
故該拋物線一定經(jīng)過非坐標軸上的點P(3,4).
(3)由于上一問中已確定了點P的坐標為(3,4),則△ABP的面積就由邊AB的長決定,我們的目標就是設法用含m的式子表示AB的長,這樣S△ABP=×AB×yP=2AB.接下來就是要求出點A、B的坐標(用含m的式子表示).一元二次方程mx2+(1-2m)x+1-3m=0中,由求根公式,得所以x1=,可判定可判定于是S△ABP=
第(3)問另解思考:
首先,求方程mx2+(1-2m)x+1-3m=0的根時,可以使用十字相乘法繞開求根公式;
其次,A、B兩點的距離可以利用根與系數(shù)的關系進行簡化運算(繞開求根公式),即使用|x1-x2|=
圖1
教學環(huán)節(jié)(一)基礎熱身.
例1已知拋物線y=mx2+(1-2m)x+1-3m與x軸相交于不同的兩點A、B.
(1)當m=1時,求點A、B的坐標;
(2)求m的取值范圍;
(3)小成同學發(fā)現(xiàn),該拋物線一定經(jīng)過x軸上一個定點,請判斷“小成發(fā)現(xiàn)”是否正確,并說明理由.
教學記錄:引導學生由特殊值出發(fā),感受點A、B的坐標,并計算根的判別式,練習了原考題的前兩問,第(3)問要求學生運用求根公式或十字相乘法,獲得發(fā)現(xiàn),對于后面難題的突破有所鋪墊.
教學環(huán)節(jié)(二)拾級而上.
例2已知拋物線y=mx2+(1-2m)x+1-3m.(1)當x=-1時,求y的值.(2)當x=3時,求y的值.
(3)小南演練上述兩題之后,猜想:該拋物線一定經(jīng)過兩個定點.你覺得“小南發(fā)現(xiàn)”是否正確?如果正確,請證明他的發(fā)現(xiàn);如果不正確,舉出反例.
教學啟示:安排兩個特殊值引路,讓學生感受該拋物線會經(jīng)過兩個定點,并且需要證明,針對原考題的第(2)問進行訓練.
教學環(huán)節(jié)(三)挑戰(zhàn)難題.
例3已知拋物線y=mx2+(1-2m)x+1-3m與x軸相交于不同的兩點A、B,且經(jīng)過第一象限內(nèi)一個定點P.
(1)求定點P的坐標.
(2)求AB的長(用含m的式子表示).
教學記錄:第(1)問是延續(xù)考題的一個問題,然后求出AB的長(注意需要含絕對值符號表示),有了鋪墊之后,有利于第(3)問的思路獲取,這樣就可把第(3)問的教學重點用在分析取值范圍上,并且安排學生從不同角度思考.
教學環(huán)節(jié)(四)變式再練.
變式檢測題:已知拋物線y=mx2+(1-2m)x+2-8m與x軸相交于不同的兩點A、B.
(1)求m的取值范圍.
(2)求線段AB的長(用含m的式子表示).
(3)小潔發(fā)現(xiàn):該拋物線會經(jīng)過兩個定點!請判斷“小潔發(fā)現(xiàn)”的真假,并說明理由.
(4)該拋物線一定經(jīng)過非坐標軸上的一點M,直接寫出點M的坐標.
(5)當1≤m≤4時,由(4)求出的點M和點A、B構成的△ABM的面積是否有最值?若有,求出該最值及相對應的m值.
變式意圖:這里主要變式了拋物線解析式的系數(shù),并且在第(5)問增設了一個最值,原題只有最大值,因為所給的m只是半開半閉區(qū)間,但這里給的是閉區(qū)間,所以既有最大值也有最小值.
1.深刻理解考題,從不同角度貫通思路.
面對有難度的中考綜合題,教師要在貫通思路的基礎上,深刻理解考題的考查意圖,并在回顧反思時,從不同角度貫通思路,看清問題結(jié)構.如上面“考題”的思路簡述時,我們在突破考題第(3)問時,在不同的解題路徑中都預設不同的方法,滿足不同學生的思維風格,便于學生尋找思路切入點.
2.理解班情學情,精心預設教學環(huán)節(jié).
在教師對問題有深刻理解的基礎上,結(jié)合本班學生的班情學情,圍繞考題精心預設教學環(huán)節(jié),通過增設一些鋪墊式問題,讓學生經(jīng)過熱身練習,拾級而上,挑戰(zhàn)難題,在這個過程中,既解決了一個問題,同時也收獲了難題突破的思維方法或解題策略,即學會以退為進、各個突破、目標解析等解題策略.
3.加強效果反饋,變式改編鞏固再練.
開展較難問題的變式再練是《中學數(shù)學(下)》近年來多篇課例研究倡導的教學要求,我們深受啟發(fā),也在日常的解題教學中進行嘗試.特別是針對一些較難題通過增設小問,使得較難題的小問擴充到5個小問左右,每個小問20分,也便于百分制的評分,又能調(diào)控學生的基礎得分,并能鼓勵優(yōu)秀學生挑戰(zhàn)難題、向上生長,使得解題教學的效果得到反饋、鞏固和拓展.
將近一個學期的中考復習有很大的精力都在解題教學、試題講評上,如何開展這類課型研究,值得我們認真對待和思考.筆者認為,近年來《中學數(shù)學(下)》刊發(fā)的大量的考題教學的“一題一課”教學設計研究是值得廣大一線教師深入開展的,一方面這類課例豐富起來,可以讓教師直接“拿來”,稍加改編、制作PPT后就可運用到自己的課堂上;另一方面,這類課例中有不少改編題、變式題,也為命題研究提供了豐富的素材和視角,值得學習.
1.朱金祥,劉東升.數(shù)學教學中例題變式的策略——基于教學追問的視角[J].教育研究與評論(中學教育教學版),2016(9).
2.鄭毓信.善于提問[J].人民教育,2008(19).
3.許燕.從解題賞析走向教學研究——以2016年無錫卷第27題為例[J].中學數(shù)學(下),2016(10).
4.孫莉.思路生成貴在自然,一題一課追求簡約——一道考題的思路突破與習題課設計[J].中學數(shù)學(下),2016(9).
5.吳忠妙.一道考題的思路、難點與教學設計[J].中學數(shù)學(下),2016(9).