巧設計呈經典探無窮*
——一道期末原創(chuàng)題的命制過程及感悟

☉江蘇南京師范大學附屬中學新城初中何君青

☉江蘇南京師范大學附屬中學新城初中陳敏婕

巧設計呈經典探無窮*
——一道期末原創(chuàng)題的命制過程及感悟

☉江蘇南京師范大學附屬中學新城初中何君青

☉江蘇南京師范大學附屬中學新城初中陳敏婕

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在評價建議部分明確指出：評價不僅要關注學生的學習結果，更要關注學生在學習過程中的發(fā)展和變化，在書面測驗中，更要積極探索可以考查學生學習過程的試題，從而了解學生的學習過程.上述建議，無疑給命題提出了更高的要求.期末考試作為一學期最后一次考試，不僅對學生本學期的學習情況要作出評價，也對教師本學期的教學起到了衡量作用，所以對于期末考試，無論是學生還是教師都相當重視.近期，筆者命制了建鄴區(qū)九年級上學期期末考試試卷，壓軸題以“新定義“的探究題為背景，將一個“經典的定理”加以變形、推廣、延伸，得到了全區(qū)老師的稱贊.命題過程中有些許心得，故撰文與同行分享.

一、原題呈現(xiàn)

問題提出

若一個四邊形的兩組對邊乘積之和等于它的兩條對角線的乘積，則稱這個四邊形為巧妙四邊形.

初步思考

（1）寫出你所知道的四邊形是巧妙四邊形的兩種圖形的名稱：________，________.

（2）小敏對巧妙四邊形進行了研究，發(fā)現(xiàn)圓的內接四邊形一定是巧妙四邊形.

如圖1，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形.

求證：AB·CD+BC·AD=AC· BD.

圖1

小敏在解答此題時，利用了“相似三角形”進行證明，她的方法如下：

在BD上取點M，使∠MCB=∠DCA.

（請你完成小敏的證明過程.）

推廣運用

圖2

二、命題過程

1.擬定計劃.

近幾來，全國各地的中考試卷時常出現(xiàn)“即時學習”型試題.這些試題立意鮮明、情境新穎、設問靈活，讓學生在考場里即時學習一個新概念、新名詞，現(xiàn)學現(xiàn)考，反映學生對已有知識的掌握程度及應用數(shù)學知識解決問題的能力.南京市2016年中考的最后一題就是“即時學習”型試題.為了與南京中考命題風格保持一致，筆者初步計劃將此份試卷的壓軸題定位為“即時學習”型試題，爭取達到題型新、理念高的標準.定了題型后便要思考考查什么內容，由于試卷中筆者已經出了一道新穎的二次函數(shù)題，考慮到九年級幾何部分主要以圓、相似為主，所以筆者決定此次期末試卷的最后一道幾何壓軸題以圓、相似為載體進行考查.

確定了題型和考查內容后，筆者翻閱了《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》，仔細研讀圓、相似的考查要求，對圓的考查主要以圓的相關概念、直線與圓的位置關系為主，對圖形的相似的考查主要以相似三角形的判定定理和性質定理為主.基于此要求，鑒于此題為壓軸題的定位，筆者決定命制一道難度系數(shù)為0.35的“即時學習”型試題，題目預設3~4問，逐步遞進，涵蓋填空或選擇、證明、解答或探索，讓不同層次的學生都可以得到適合自己的分數(shù)，又能讓優(yōu)秀的同學凸顯出來.

2.初稿形成.

計劃擬定后，筆者翻閱各套教材，尋找適合的出題資源，收獲不大，因為教材中的題目都是再熟悉不過的.于是筆者查閱《幾何原本》和百度尋找突破口，托勒密定理引起了筆者的注意：圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.

有了托勒密定理后，為避免被套上考一個學生沒有學過的定理的“帽子”，筆者決定題目中不出現(xiàn)托勒密定理這些詞匯，將以此經典定理為背景，賦予它新的生命，重新讓它綻放光彩.很快筆者第一稿完成，如下所示：

問題提出

若一個四邊形的兩組對邊乘積之和等于它的兩條對角線的乘積，則稱這個四邊形為巧妙四邊形.

初步思考

（1）小敏對巧妙四邊形進行了研究，發(fā)現(xiàn)圓的內接四邊形一定是巧妙四邊形.

如圖1，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形.

第一稿時，筆者并沒有想到比較滿意的第三問，仍然在積極的思考中.

3.打磨完善

本著設身處地為學生考慮的原則，作為學生我要是看到這個壓軸題，一定無從下手，瞬間放棄，因為第一問想很久可能也想不出來.故思慮再三，決定適當降低難度，將圓的內接四邊形一定是巧妙四邊形進行適當鋪墊，這樣每個層次的學生都有得分的可能.

為了符合南京市的中考風格，既然起了一個賦予美感的新名字，那就不如讓一類四邊形串起來，故筆者決定在一稿中再加入第一問，讓學生重新認識一下以往學過的四邊形，這樣難度又降下來了.于是加了一問：寫出你所知道的四邊形是巧妙四邊形的兩種圖形的名稱：_______，_______.這樣題目就有三問了，也不用苦思冥想最后一問了.至此，此題可算基本命制完成.

從考查形式上看，本題是“即時學習”型試題，形式新穎，又有填空、證明、探索，比較全面；從考查內容上看，本題以考查圓和相似這兩個“圖形與幾何”中的重要板塊為主，注重對基礎知識、基本技能的考查，也注重對數(shù)學思想的考查，同時又涉及對數(shù)學活動經驗積累的考查；從考查意義上看，本題考查的知識連貫性很強，將圓、四邊形、相似三角形緊密相連，提醒教師授課時關注知識間的連貫性教學.而且本題解法多樣，學生可以從多角度思考問題、解決問題，有利于學生思維能力的發(fā)展.所以，此題是一道不可多得的好題.

4.回顧反思.

回顧命制此題的過程，一波三折，多次推敲、打磨、修改，確實不易.但值得肯定的是，此題獨辟蹊徑，將一個很多教師曾經關注卻未曾深究的定理呈現(xiàn)出了不同精彩，定然會成為一個經典，也會有無限探究的價值.可是筆者還覺得存在遺憾，如果能再加以發(fā)展，將該題的研究領域賦予一個現(xiàn)實背景，解決更多的生活問題就更完美了，介于命題時間有限、題目考查容量限制，未曾考慮，確實可惜.

推廣運用

如圖2，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，AD=

三、命題感悟

1.命題策略.

很多教師命題時總是感覺無從下手，不知道如何命題，尤其是像期中、期末這樣大型的統(tǒng)考試題的命制，命題時間短，人力有限.于是很多出卷教師為了完成任務，常常會將其余省市的中考題或期中、期末考試題直接拿來或者簡單改動幾個數(shù)字，這樣會把廣大備考師生引向題海，認為多做題就能做到類似的題目，使得考試的導向走偏.事實上，試卷中的題型可以分為基礎題、中檔題和探索研究題.簡單題用陳題是可以的，這部分題目主要以考查基礎知識和基本技能為主，要注重考查學生對這些知識所蘊含的數(shù)學本質的理解；中檔題就應該有一些原創(chuàng)的成分了，這部分題應該是考查學生對數(shù)學知識的理解程度，考查學生能夠在具體情境中合理應用，可以在一定程度上改編陳題，可采用條件一般化法、聯(lián)系實際法、更換背景法、轉換題型法等方法；探索研究題盡可能全部原創(chuàng)，這樣才能真正達到診斷的作用，檢測出學生學習過程和教師教學過程中存在的問題，為備考師生指明日后學習的正確方向，這些題在命題時，要淡化特殊的解題技巧，不要出現(xiàn)偏題、怪題，要重視數(shù)學活動經驗積累的考查、數(shù)學思想的考查，以及數(shù)學核心素養(yǎng)的考查，真實、有效地檢測出學生數(shù)學的真正能力.

2.命題意義.

命制試題時，教師一定要了解這份試卷的命題意義，考查作用是什么，比如期中、期末考試和中考就有很大區(qū)別.期中、期末考試的目的是為了改善教與學的關系，從而達到共贏局面，通過考試，教師可以發(fā)現(xiàn)教學工作中存在的不足，從而加以重視、改進、提升，學生可以發(fā)現(xiàn)自己對某些知識掌握的問題，從而加以關注、完善、提高，故期中、期末考試前，命題老師要結合當?shù)刂锌嫉拿}風格，了解本學段及本學區(qū)學生容易出現(xiàn)的問題，把握好考試的方向，命制難度系數(shù)約為0.75的試題，考試后，教師、學生要客觀地分析從考試中發(fā)現(xiàn)的不足，加以改進.中考的目的是為了檢測三年學習的狀況及為高一級學校選拔學生，也對當?shù)厝蘸蟮慕虒W起指導作用，所以這部分試題一定要達到公平、公正，力求大幅度原創(chuàng)，在設計試題時，要結合多方面因素進行命題，難度系數(shù)約為0.7.

無論如何，命題都是一件十分辛苦的事情.教師想把題命好，一定是一個長期的過程，源于平時的積累，更要注重教學過程中的收集、命題前的深入研究、命題后的反思總結.所以，要從巧妙的題目設計開始，呈現(xiàn)出經典的試題，帶給廣大師生無限思考、探索的空間，讓命題真正超值、教學真正行之有效.

*本文系南京市教育科學“十二五”規(guī)劃立項課題“‘跑班’分層模式下初中數(shù)學課堂教學與考試評價研究”（課題編號：L/2015/ 181）的階段性成果.