一道中考壓軸題命題立意的再探討

☉江蘇常熟市實(shí)驗(yàn)中學(xué)沈葉柯

一道中考壓軸題命題立意的再探討

☉江蘇常熟市實(shí)驗(yàn)中學(xué)沈葉柯

一、問題呈現(xiàn)

江蘇省某市某年度中考第27題是壓軸題，原題如下：

已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3.

問題1：如圖1，P為AB邊上一點(diǎn)，以PD、PC為邊作平行四邊形PCQD，請問：對角線PQ、DC的長能否相等？為什么？

圖1

圖2

問題2：如圖2，若P為AB邊上一點(diǎn)，以PD、PC為邊作平行四邊形PCQD，請問：對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由.

問題3：若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長PD到E，使DE= PD，再以PE、PC為邊作平行四邊形PCQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值.如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由.

問題4：如圖3，若P為DC邊上任意一點(diǎn)，延長PA到E，使AE= nPA（n為常數(shù)），以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值.如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由.

圖3

本題屬于動(dòng)點(diǎn)問題，主要的考點(diǎn)有全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程根的判別式、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)；以極值問題為切入點(diǎn)考查數(shù)學(xué)結(jié)論存在性問題的一般解題思路和方法.解答本題需要較強(qiáng)的幾何直觀能力、空間想象能力和邏輯推理能力，筆者在和學(xué)生一起探究這個(gè)問題時(shí)，時(shí)常被圖形搞得眼花繚亂，難以分清其中三角形、線段、角等基本幾何元素之間的數(shù)量及位置關(guān)系.

2015年4月19日，華東師范大學(xué)張奠宙先生在“中國數(shù)學(xué)教育之友初中”QQ群的在線討論中認(rèn)為，中學(xué)的平面幾何主要目的在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，訓(xùn)練的深度不宜太深，當(dāng)用平面幾何的方法難以解答時(shí)，可以嘗試用解析幾何的方法去理解和思考，這也是幾何學(xué)發(fā)展的整體方向.筆者有幸參與了這次討論，聆聽了張老先生的教誨.當(dāng)?shù)诙煸倏催@個(gè)問題時(shí)，立即想到何不用解析幾何的方法試試呢？

二、探究過程

問題1是這道題的破題之問，容易上手.假設(shè)四邊形PCQD為矩形，易證Rt△APD∽Rt△BCP，于是有AD∶BP= PA∶BC，AD、BC已知，PA+PB=AB也是已知，這樣就得到了一個(gè)關(guān)于PA（或PB）的一元二次方程；根據(jù)判別式判斷這個(gè)一元二次方程沒有實(shí)數(shù)解，因此四邊形PCQD不可能為矩形.

圖4

圖5

根據(jù)題意，自然想到建立坐標(biāo)系比較簡單的辦法就是以B點(diǎn)為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，以AB所在直線為y軸.于是可以確定，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），D的坐標(biāo)為（1，2）.如圖4所示.

對于問題2，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，yp），顯然yp≥0.由于PCQD是平行四邊形，因此H為CD、PQ的中點(diǎn).C、D的坐標(biāo)已知，因此H點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），故Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2-yp），因此當(dāng)yp=1時(shí)PQmin=4，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），PQ與AB垂直.

圖6

通過上面的分析可以看出，在題目條件下，雖然點(diǎn)Q的位置隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，但始終在直線x=4上，縱坐標(biāo)的范圍為［0，2］.

問題3的思路與方法與問題2一脈相承，只是細(xì)節(jié)處理略有不同.仍設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，yp），顯然yp≥0.易得E（2，4-yp）.設(shè)PE、PC交于點(diǎn)H.則H）、Q（5，4-2y）p.于是當(dāng)yp=時(shí)PQmin=5，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P Q與AB垂直.同樣可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q始終在直線x=5上，縱坐標(biāo)的范圍是［0，4］.

問題4在問題2、3的基礎(chǔ)上又有所變化，點(diǎn)P的位置移到了直角梯形的非直角腰上，而且又多了一個(gè)變量n，如圖5.通過觀察計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)P點(diǎn)由D到C的運(yùn)動(dòng)過程中，PQ逐漸變大，因此當(dāng)P點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，PQ最小.此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），于是E（-n，2）1，0），所以

需要說明的是，網(wǎng)絡(luò)上對于問題4的解析，一般認(rèn)為當(dāng)PQ與CD垂直時(shí)，PQ取得最小值（n+4），這樣的結(jié)論是基于問題2、3的結(jié)論作出的判斷.但是實(shí)際上，PQ取得最小值時(shí)PQ與CD并不垂直.

三、探討

朱桂鳳老師在文1中，認(rèn)為這個(gè)題目的命制具有這樣四個(gè)方面的突出特點(diǎn)：（1）知識點(diǎn)常見，易懂、易上手；（2）基于過程又高于過程；（3）解答方法需要融會(huì)貫通；（4）立意高遠(yuǎn).本文完全贊同朱老師的看法，但同時(shí)也認(rèn)為本題的命題立意可能不止于此.

1.從學(xué)生層面上看：增強(qiáng)了發(fā)現(xiàn)、分析數(shù)學(xué)問題的能力.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011年版》（以下簡稱《課標(biāo)（2011）》）對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的教材設(shè)計(jì)設(shè)定了“問題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的過程，問題情境是數(shù)學(xué)問題探究的起點(diǎn).對于情境問題，依照《課標(biāo)（2011）》的表述，不僅可以來源于現(xiàn)實(shí)社會(huì)、日常生活和其他學(xué)科的學(xué)習(xí)，還可以來源于數(shù)學(xué)知識內(nèi)部本身.連云港市2012年中考第27題就是很好的問題來源，可以作為學(xué)生探究的數(shù)學(xué)情境.

在問題2、問題3的探究中，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的交點(diǎn)H實(shí)際上是不動(dòng)點(diǎn)，它完全由點(diǎn)C、點(diǎn)D確定，同樣也可以由點(diǎn)P、點(diǎn)Q確定；換言之，由已知點(diǎn)C、點(diǎn)D確定的CD的中點(diǎn)H，可以用來確定點(diǎn)P或點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)通過假設(shè)的方式確定后，就可以通過這個(gè)中點(diǎn)H建立起點(diǎn)Q與點(diǎn)P之間的聯(lián)系，從而確定PQ的長度.下面的問題就是要找到線段CD的中點(diǎn)H與線段端點(diǎn)C、D之間的關(guān)系了.隨著坐標(biāo)系的建立，這個(gè)關(guān)系學(xué)生容易發(fā)現(xiàn).

數(shù)學(xué)問題從來不以得到正確解答為最終目的，而是要尋找解決的最佳途徑.學(xué)生對于復(fù)雜幾何圖形的觀察與思考產(chǎn)生了倦怠，產(chǎn)生了尋求更新的、更有效的解決辦法的根本需要，這就是數(shù)學(xué)問題提出的動(dòng)機(jī)之一.坐標(biāo)系的建立使得數(shù)形結(jié)合思想得到充分發(fā)揮，通過分析找出問題解答的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)；對于這個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)基于現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識方法可以輕松解決，整個(gè)問題一下子豁然開朗了.在對問題的分析過程中，學(xué)生解構(gòu)了原有的知識體系，并重新建構(gòu)了一個(gè)新的體系基礎(chǔ)，使得對問題的分析過程成為了一個(gè)“再發(fā)現(xiàn)”的過程.

因此我們有理由相信，本題命題的立意絕不僅僅是以加大難度而提升區(qū)分度，而是讓這道初中數(shù)學(xué)的“最后一題”成為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大情境，提醒學(xué)生：隨著年級段的跨越，將在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體會(huì)到更多、更深刻的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷更多的知識體系的解構(gòu)—建構(gòu)過程，也會(huì)有更多的再發(fā)現(xiàn).

2.從教師層面上看：基于初中而高于初中的另一種視界.

本文對題目的探究過程，用到了解析幾何中最為基礎(chǔ)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式，這是高中數(shù)學(xué)必修的內(nèi)容，似乎與初中內(nèi)容并無關(guān)聯(lián)，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)也沒有更大的意義.但是，張奠宙先生“當(dāng)用平面幾何的方法難以解答時(shí)，可以嘗試用解析幾何的方法去理解和思考”的觀點(diǎn)，一語道破天機(jī)，從數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)上打破了初高中之間的藩籬.

作為初中數(shù)學(xué)教師，我們給初中生講授初中的數(shù)學(xué)知識、方法，但是我們絕不能囿于初中范圍，更不能因?yàn)槲覀兊淖晕腋綦x使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維只能在初中范圍內(nèi)打轉(zhuǎn).我們不能也沒必要在初中引入高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容來獲得問題的解決，但是也不能使學(xué)生認(rèn)為目前他們使用的方法是解決問題的唯一正確的途徑.因此，從這個(gè)意義上來說，本題的命題者也是希望通過本題樹立一個(gè)導(dǎo)向，希望教師在本題的探究過程中，開闊眼界，指導(dǎo)和幫助學(xué)生架好通往高中數(shù)學(xué)的橋梁.

3.從選拔的層面上看：數(shù)學(xué)思想方法的一種新提升.

本題作為中考試卷壓軸題，擔(dān)負(fù)著對考生進(jìn)行選拔的重要責(zé)任，這一點(diǎn)朱桂鳳老師在其文章中有所論述，此處不再贅述.我們想要說的是，中考試題對學(xué)生進(jìn)行選拔之后是不是就沒有其他的作用了呢？不是！選拔的作用是使得優(yōu)秀的學(xué)生能夠進(jìn)入高一級的學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)，而解析幾何的思想方法又是高一級學(xué)校數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容.因此在選拔的同時(shí)又得以讓學(xué)生管窺高中數(shù)學(xué)對同一數(shù)學(xué)內(nèi)容處理的思想方法，更凸顯了本題更高的命題立意.

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，數(shù)形結(jié)合又是最基本、最重要的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)形結(jié)合需要將幾何直觀和數(shù)量關(guān)系作為互相補(bǔ)充又相互轉(zhuǎn)化的兩方面，打通形象思維與抽象思維之間的關(guān)系.初中的幾何內(nèi)容基本上是經(jīng)典的平面幾何內(nèi)容，有著數(shù)千年的歷史淵源，更偏重于對“形”的觀察與思考，對于學(xué)生學(xué)會(huì)對問題進(jìn)行邏輯推理至關(guān)重要.但是，我們不能只停留在這一層面上.經(jīng)典平面幾何確實(shí)滋潤了無數(shù)代人，這些人中有普通人也有杰出的科學(xué)家、數(shù)學(xué)家，而在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的解析幾何則更好地打通了“數(shù)”和“形”之間的聯(lián)系，其思想方法有著更為廣泛的應(yīng)用空間.在初中數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常把函數(shù)作為數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的典范內(nèi)容，以“數(shù)”定“形”：先研究函數(shù)的解析式，再通過解析式研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，而這只是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)方面.數(shù)形結(jié)合的另一個(gè)方面是以“形”定“數(shù)”，即對每一個(gè)幾何對象，通過引入坐標(biāo)，研究幾何對象間的數(shù)量和位置關(guān)系，在初中數(shù)學(xué)中研究較少.因此，命題者也是想通過本題告訴全體初中數(shù)學(xué)教師和學(xué)生，對于數(shù)形結(jié)合思想乃至全部的數(shù)學(xué)思想方法的理解，不能因?yàn)橹R層次的分別而局限于某一方面；數(shù)學(xué)知識、技巧、方法因時(shí)不同，但是數(shù)學(xué)思想方法是靈魂，貫穿始終.

綜上所述，連云港市2012年中考第27題的命題者試圖以數(shù)學(xué)中最基本、最重要的數(shù)形結(jié)合思想方法為紐帶，破除初高中數(shù)學(xué)的壁壘，力圖將初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的奠基.同時(shí)，命題者也借本題提醒初中數(shù)學(xué)教師對《課標(biāo)（2011）》中新增添的“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”、“兩能”必須予以足夠的重視，并以“終極”案例的形式指明了對“四基”“兩能”的培養(yǎng)方向.

1.朱桂鳳.一道簡約的動(dòng)點(diǎn)性最值問題新考［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2013（7/8）.

2.李鐵安主編.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）案例式解讀（初中數(shù)學(xué)）［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2012.

3.史寧中主編.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012年.

4.［美］R·柯朗，著.左平，譯.什么是數(shù)學(xué)——對思想和方法的基本研究（增訂本）［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

5.邵長亮.以數(shù)學(xué)寫作推進(jìn)數(shù)學(xué)尚“識”教育［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（12）.