有理數(shù)的進(jìn)一步研究和探索
——以中美初中數(shù)學(xué)教材比較為基礎(chǔ)

☉甘肅酒泉第四中學(xué)徐玉慶

有理數(shù)的進(jìn)一步研究和探索
——以中美初中數(shù)學(xué)教材比較為基礎(chǔ)

☉甘肅酒泉第四中學(xué)徐玉慶

筆者2016年9月在《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》發(fā)表了《中美兩國(guó)初中數(shù)學(xué)教材的比較研究——以“有理數(shù)”為例》，其中比較了國(guó)內(nèi)人教版、北師大版和美國(guó)教材中對(duì)于有理數(shù)的定義及有理數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)對(duì)于有理數(shù)的定義人教版和北師大版是完全一樣的，都是將整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，而美國(guó)教材（Glencoe/McGraw-Hill California Mathematics）則將有理數(shù)定義為：Numbers that can be written as fractions are called rational numbers（只要能夠表示為分?jǐn)?shù)的數(shù)稱為有理數(shù)），Since：-7可以表示為-，2可以表示為，0.1可以表示為，其中循 環(huán)小數(shù)也可以表示為分?jǐn)?shù).之后的教學(xué)過(guò)程中，我不斷思考這兩種定義，不斷研究美國(guó)教材，不斷研究國(guó)內(nèi)其他版本的初中數(shù)學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)蘇教版、魯教版、冀教版和人教版、北師大版教材中對(duì)于有理數(shù)的定義如出一轍，于是筆者不斷思考這兩種定義方式對(duì)于學(xué)生理解有理數(shù)的定義有著怎樣的不同，由此筆者對(duì)有理數(shù)開(kāi)展了一次全面的探索和比較.

一、有理數(shù)的歷史

有理數(shù)在希臘文中稱為λογοξ，原意是“成比例的數(shù)”.英文取其意，以ratio為字根，在字尾加上-nal構(gòu)成形容詞，全名為rational number，直譯成漢語(yǔ)即是“可比數(shù)”.對(duì)應(yīng)地，無(wú)理數(shù)則為“不可比數(shù)”.并非中文翻譯不恰當(dāng).有理數(shù)這一概念最早源自西方《幾何原本》，在中國(guó)明代，從西方傳入，而從中國(guó)傳入日本時(shí)，出現(xiàn)了錯(cuò)誤.明末數(shù)學(xué)家徐光啟和學(xué)者利瑪竇翻譯《幾何原本》前6卷時(shí)的底本是拉丁文.他們將這個(gè)詞（“λογοξ”）譯為“理”，這個(gè)“理”指的是“比值”.日本在明治維新以前，歐美數(shù)學(xué)典籍的譯本多半采用中國(guó)文言文的譯本.日本學(xué)者將中國(guó)文言文中的“理”直接翻譯成了理，而不是文言文所解釋的“比值”.后來(lái)，日本學(xué)者直接用錯(cuò)誤的理解翻譯出了“有理數(shù)”和“無(wú)理數(shù)”.當(dāng)有理數(shù)從日本傳回中國(guó)時(shí)又延續(xù)錯(cuò)誤.清末中國(guó)派留學(xué)生到日本，將此名詞傳回中國(guó)，導(dǎo)致現(xiàn)在中日兩國(guó)都用“有理數(shù)”和“無(wú)理數(shù)”的說(shuō)法.可見(jiàn)，由于當(dāng)年日本學(xué)者對(duì)中國(guó)文言文的理解不到位，才出現(xiàn)了今天的誤譯.

數(shù)學(xué)上將有理數(shù)定義為一個(gè)整數(shù)和一個(gè)非零整數(shù)的比值，表示為（b≠0），19世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾提出集合的概念，提出了康托爾集.隨著現(xiàn)代集合論的不斷發(fā)展，有理數(shù)也在集合論的基礎(chǔ)上進(jìn)行了定義，表示為Q，定義為：｝?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)以集合論為基礎(chǔ)，有理數(shù)集在高等代數(shù)中也有許多非常重要的結(jié)論.

二、兩國(guó)教材有理數(shù)定義的比較

隨著新課改的不斷深入，國(guó)內(nèi)出現(xiàn)了現(xiàn)在的一個(gè)課程標(biāo)準(zhǔn)，多個(gè)版本的初中數(shù)學(xué)教材，使用比較廣泛的有人教版、北師大版、蘇教版、魯教版、冀教版等五大版本.其中有理數(shù)的定義都出現(xiàn)在七年級(jí)上冊(cè)第一章：有理數(shù).國(guó)內(nèi)這五種版本的教材對(duì)有理數(shù)的分類和定義是一致的，如下：

圖1

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).之后教材中對(duì)于有理數(shù)沒(méi)有更多的補(bǔ)充和講解，教材之后的內(nèi)容就是關(guān)于有理數(shù)的有關(guān)運(yùn)算.

相比之下，美國(guó)教材在七年級(jí)上冊(cè)第一章第一節(jié)專門講解了整數(shù)及其運(yùn)算，第二節(jié)才開(kāi)始引入有理數(shù)的定義及其運(yùn)算，并對(duì)概念做了進(jìn)一步的完善和補(bǔ)充，如圖2：

圖2美國(guó)加州教材有理數(shù)的定義

可以發(fā)現(xiàn)，美國(guó)加州數(shù)學(xué)教材對(duì)于有理數(shù)的定義和數(shù)學(xué)歷史上的定義是完全一致的，在第一章第二節(jié)中美國(guó)教材對(duì)于如何將一個(gè)整數(shù)、有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為（b≠0）進(jìn)行了詳實(shí)的講解，并附有各種類型的練習(xí)，習(xí)題的數(shù)量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于國(guó)內(nèi)這五種版本教材中習(xí)題的數(shù)量，許多習(xí)題都和現(xiàn)實(shí)生活有緊密的聯(lián)系，相比之下，國(guó)內(nèi)教材中的習(xí)題都是不含背景的計(jì)算.

那么，這兩種定義對(duì)于學(xué)生理解有理數(shù)到底有著怎樣的不同？首先，美國(guó)教材對(duì)于有理數(shù)的定義更像是對(duì)某個(gè)概念的定義，而國(guó)內(nèi)的教材還可以理解為整數(shù)和分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)，這種定義是籠統(tǒng)的、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?學(xué)生在理解的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)不同的疑問(wèn)，如：0.125、5.6·、3.267這些數(shù)是有理數(shù)還是什么？如何進(jìn)行辨別？在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，教師在講解了有理數(shù)的定義之后，對(duì)有理數(shù)的定義進(jìn)行補(bǔ)充，而這些補(bǔ)充的內(nèi)容在數(shù)學(xué)教材中并沒(méi)有涉及，然而在教材后面的習(xí)題中又涉及了相關(guān)的題目，學(xué)生一臉茫然.所以在教學(xué)的過(guò)程中，教師又添加了有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)也是有理數(shù)這一結(jié)論，因?yàn)樗鼈兌伎梢曰癁椋╞≠0）的形式.但是在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)這樣的補(bǔ)充效果并不是很好，即使到了七年級(jí)下半學(xué)期，甚至學(xué)生學(xué)習(xí)了無(wú)理數(shù)之后，他們對(duì)于有理數(shù)的理解還是存在問(wèn)題，這種結(jié)果主要是由定義引發(fā)的，學(xué)生看見(jiàn)形如0.134、3.這樣的數(shù)，如果從定義出發(fā)，第一步要把0.314化為分?jǐn)?shù)，然后根據(jù)定義分?jǐn)?shù)是有理數(shù)，將0.314歸類為有理數(shù)，對(duì)于3.這樣的循環(huán)小數(shù)不知所措，雖然教師在講完有理數(shù)之后補(bǔ)充了無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)的內(nèi)容，但是學(xué)生并不能很快地將它歸為有理數(shù)，這時(shí)有理數(shù)的定義反而變成一種干擾，對(duì)于學(xué)生理解有理數(shù)的定義是一種負(fù)遷移，在概念之間造成了混亂，如果按照美國(guó)加州教材的定義，就不會(huì)出現(xiàn)這樣的問(wèn)題，因?yàn)樵诘谝徽碌诙?jié)中，學(xué)生已經(jīng)在教師的指導(dǎo)下掌握了如何將一個(gè)整數(shù)、有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為（b≠0）的形式，所以對(duì)于后面的習(xí)題，學(xué)生直接的方法就是看能不能將一個(gè)數(shù)化為（b≠0）這樣的分?jǐn)?shù)，如果能，這個(gè)數(shù)就是有理數(shù)，如果不能，這個(gè)數(shù)就不是有理數(shù)，減少了學(xué)生思維的跳躍和推理，使得問(wèn)題直接化、標(biāo)準(zhǔn)化.在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生到了八年級(jí)學(xué)習(xí)完無(wú)理數(shù)之后，對(duì)于所學(xué)過(guò)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)也是模糊不清的，對(duì)于有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)、無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)也是模糊不清的，經(jīng)常在分類中出現(xiàn)錯(cuò)誤，如下題：

（1）正整數(shù)集合｛｝；

（2）負(fù)正數(shù)集合｛｝；

（3）正分?jǐn)?shù)集合｛｝；

（4）負(fù)分?jǐn)?shù)集合｛｝；

（5）整數(shù)集合｛｝；

（6）分?jǐn)?shù)集合｛｝；

（7）正有理數(shù)集合｛｝；

（8）負(fù)有理數(shù)集合｛｝.

學(xué)生在分類中出現(xiàn)錯(cuò)誤最多的是：將有限小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)分類錯(cuò)誤，在教學(xué)中教師也反復(fù)講解、反復(fù)練習(xí)，但實(shí)際效果并不是很好.之所以出現(xiàn)這樣的結(jié)果，原因是教材中有理數(shù)定義在學(xué)生頭腦中先入為主.

三、啟示

新的課程改革在國(guó)內(nèi)已經(jīng)開(kāi)展了很長(zhǎng)時(shí)間，教學(xué)資源和教學(xué)技術(shù)也在不斷更新，學(xué)生有不同的渠道獲得知識(shí)，如今的反轉(zhuǎn)課堂、慕課已經(jīng)走在了課堂改革的前列.但是教材在課堂教學(xué)中的作用依然非常重要，它使學(xué)生能夠在較短時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)掌握人類文化的結(jié)晶，給學(xué)生提供一種思路和框架，教材在課程改革中的地位也在不斷提升，許多國(guó)家開(kāi)展了大規(guī)模的教材研究，2014年在英國(guó)南安普頓大學(xué)舉辦了首屆國(guó)際數(shù)學(xué)教材研究和發(fā)展會(huì)議（ICMT-1），吸引了約三十個(gè)國(guó)家和地區(qū)的一百八十余人參加.第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教材研究和發(fā)展會(huì)議將于2017年在巴西舉行，第三屆也已計(jì)劃于2019年在德國(guó)舉行.可見(jiàn)國(guó)際數(shù)學(xué)教育界對(duì)數(shù)學(xué)教材研究給予了前所未有的關(guān)注.國(guó)內(nèi)學(xué)者也對(duì)教材開(kāi)展了不同程度的研究，但是國(guó)內(nèi)教材研究起步相對(duì)較遲，研究范圍相對(duì)窄小，缺乏專門的研究團(tuán)隊(duì)，和西方國(guó)家存在一定的差距.這種差距也是一種文化影響的結(jié)果，是一種經(jīng)濟(jì)和科技發(fā)展的結(jié)果.課程改革最核心的工作是教材改革，它將直接影響教材所傳遞的國(guó)家意志和民族文化，數(shù)學(xué)作為衡量一個(gè)國(guó)家綜合國(guó)力的指標(biāo)，數(shù)學(xué)教育也是衡量一個(gè)國(guó)家綜合素質(zhì)的指標(biāo).通過(guò)對(duì)有理數(shù)的定義的國(guó)際比較，我們發(fā)現(xiàn)了這種差距.既然有理數(shù)的定義在傳入中國(guó)時(shí)已經(jīng)發(fā)生了錯(cuò)誤，那么在新的課程改革中是不是可以把這個(gè)曾經(jīng)的“錯(cuò)誤”改過(guò)來(lái)，恢復(fù)它的真實(shí)面貌？在教材的編排和設(shè)計(jì)中是不是也應(yīng)該借鑒國(guó)外教材，使課程改革落地生根，蔓延整個(gè)神州大地，讓教材使用者真正體會(huì)到課程改革的力度和效度.

1.中華人民共和國(guó)教育部制訂.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·七年級(jí)（上冊(cè)）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

3.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·七年級(jí)（上冊(cè)）［M］.北京：人民教育出版社，2014.

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