在數(shù)學(xué)體驗過程中，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)*
——以“探索三角形相似條件”為例

☉江蘇南京育英第二外國語學(xué)校殷艷

☉江蘇南京市教學(xué)研究室王紅兵

在數(shù)學(xué)體驗過程中，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)*
——以“探索三角形相似條件”為例

☉江蘇南京育英第二外國語學(xué)校殷艷

☉江蘇南京市教學(xué)研究室王紅兵

人的生命存在不同于一般動物之生存的地方在于：他對自身生存及世界的意義有所領(lǐng)悟、有所感受，他意識著、體驗著……新一輪基礎(chǔ)教育課程改革突出強(qiáng)調(diào)學(xué)生在教學(xué)過程中的體驗，這不僅僅是教學(xué)行為方式的改革，更是教學(xué)思維方式的轉(zhuǎn)換.

筆者有幸成為江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點(diǎn)資助課題“初中數(shù)學(xué)體驗室建設(shè)與利用的研究”的核心成員.在主持人趙齊猛、張愛平的引領(lǐng)及課題組各位指導(dǎo)專家的指導(dǎo)、同仁的幫助下，體驗了一把“體驗式教學(xué)”，設(shè)計并執(zhí)教了一節(jié)題為“探索三角形相似條件”的體驗課程案例，教學(xué)體驗過程中不斷領(lǐng)悟、思考、總結(jié)、反思，形成了一些初步觀點(diǎn)，與同行交流.

圖1

一、體驗案例展示

【體驗準(zhǔn)備】

如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，△ADE與△ABC有什么關(guān)系？為什么？

（1）你證明的依據(jù)是什么？（2）我們把“平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似”這個定理稱為判定三角形相似的“預(yù)備定理”，把它的圖形形象地稱為“平行線A型”.你對相似有著怎樣的理解？

（形狀相同，大小不一定相等；三角分別相等，三邊成比例；全等是特殊的相似）

（3）其中一個三角形經(jīng)過怎樣的變化得到另一個三角形？

（一個三角形按比例放大或縮小可以得到另一個三角形）

【設(shè)計意圖】通過問題的解決，復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的相似三角形的定義和“預(yù)備定理”的具體內(nèi)容，為后面剪相似三角形、檢驗相似三角形、證明三角形相似條件作準(zhǔn)備，同時為學(xué)生用“疊合法”證題創(chuàng)設(shè)思維情境.

【體驗器具】

三角形紙片1張/生、長方形紙片2張/生、剪刀、刻度尺/生、量角器/生、圓規(guī)/生、計算器/生.

【體驗過程】

（一）體驗與直覺.

每個學(xué)生有一張三角形紙片，你能剪一個與已知的三角形紙片相似的三角形紙片嗎？先想一想怎樣剪，然后小組合作，看哪一組的方法多.

【設(shè)計意圖】開放性設(shè)計，創(chuàng)造性體驗，思維空間大.引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

（二）體驗與抽象. 1.剛才的活動中，你是怎么想的，又是如何剪的？（1）在已知三角形上畫一邊的平行線截得一個三角形，再畫與截得的三角形全等的三角形，剪下來；

（2）比著已知三角形紙片畫兩個相等的角然后剪下來，得到一個三角形紙片；

（3）先畫一個與已知三角形中某角相等的角，再分別將角的邊長放大或縮小2倍或3倍；

（4）如圖2，取已知三角形三邊的中點(diǎn)，畫出中點(diǎn)三角形，剪下來.

（教師點(diǎn)評：這種方法是三邊成比例、比值為2的特殊情況，我們推廣一下，比值為3、4、5、…、n，猜一猜三邊成比例的一般情形是否相似）

（5）剪一個與已知三角形紙片全等的三角形紙片.

圖2

【設(shè)計意圖】全班交流研究的過程與結(jié)果，在暴露思維的過程中，學(xué)會如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思考.此時，很多學(xué)生的剪相似三角形的方法只是停留在直覺感性、類比猜想的層面.

（三）體驗與發(fā)現(xiàn).

剪一個與已知三角形相似的三角形，就是尋找相似三角形的條件.你剪的相似三角形滿足的條件是什么？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生逐一將操作活動數(shù)學(xué)化，匯總學(xué)生探索出的判定三角形相似的各種方法.

（四）體驗與推理.

1.你剪下的三角形紙片與已知三角形紙片相似嗎？不妨檢驗一下.

檢驗方案：

（1）燈光投影，從形狀的角度驗證（利用實(shí)物投影儀做燈光投影實(shí)驗）；

（2）量出各邊、各角的數(shù)據(jù)，計算，利用定義驗證；

（3）對于兩角分別相等的方法，疊合驗證：把較小的△A′B′C′，疊合到較大的△ABC上，使∠B與∠B′重合，點(diǎn)A′、C′分別落在BA和BC上，又由∠B′A′C′=∠BAC，可知A′C′∥AC，從而△ABC∽△A′B′C′）

【設(shè)計意圖】剪后再檢驗，符合認(rèn)知過程.檢驗是合情推理，測量與燈光投影都存在誤差，疊合是操作驗證，增加了結(jié)論正確性的可信度與認(rèn)可度，要確定結(jié)論是真命題還有待證明.

2.已知：如圖3，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.

求證：△ABC∽△A′B′C′.

圖3

（1）證明之前，我們追憶體驗一遍剛才疊合檢驗的過程；

（2）把大小三角形紙片抽象成兩個三角形（如圖3），如何證明？（數(shù)學(xué)化）

（3）你是怎樣想到這樣證明的？我們一起回顧一下證明的過程.

（反思總結(jié)證明方法：構(gòu)造了一個全等三角形作為“中介”，實(shí)現(xiàn)圖形運(yùn)動與轉(zhuǎn)化）

4、經(jīng)過證明，實(shí)驗探究的結(jié)論為真命題，由此我們得到如下定理：兩角分別相等的兩個三角形相似.

【設(shè)計意圖】教師先選擇“兩角分別相等的兩三角形相似”來證明，證明前先追憶體驗疊合的檢驗過程，使得大多數(shù)學(xué)生能想出證明的方法.反思證明的思路，為后續(xù)證明其他條件的方法遷移做準(zhǔn)備.

（五）體驗與評價.

兩邊成比例及夾角相等的兩個三角形相似嗎？三邊成比例的兩個三角形相似嗎？如果不相似，請畫出反例；如果相似，請加以證明.

二、數(shù)學(xué)體驗與數(shù)學(xué)實(shí)驗

江蘇省教研室董林偉主任領(lǐng)銜創(chuàng)立的初中數(shù)學(xué)實(shí)驗理論框架及其實(shí)踐推廣，是一項意義重大的課改課題與系統(tǒng)工程，取得了豐碩的成果.“數(shù)學(xué)實(shí)驗”是運(yùn)用有關(guān)工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具及計算機(jī)等），在數(shù)學(xué)思維活動的參與下進(jìn)行的一種以學(xué)生人人參與的實(shí)際操作為特征的數(shù)學(xué)驗證或探究活動.這項課題有效地轉(zhuǎn)變了師生教與學(xué)的方式，喚醒了學(xué)生的主體意識，凸顯了學(xué)習(xí)的過程性，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.但數(shù)學(xué)實(shí)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的某一環(huán)節(jié)，不是整個教學(xué)過程.“數(shù)學(xué)體驗”則是在數(shù)學(xué)思維活動的參與下主動親歷某件事，從而獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)認(rèn)知和情感的學(xué)習(xí)活動.

本課例的教學(xué)流程是“體驗與直覺—體驗與抽象—體驗與發(fā)現(xiàn)—體驗與推理—體驗與評價”，符合范希爾幾何思維的五個水平“視覺水平—分析水平—非形式化演繹水平—形式演繹水平—嚴(yán)密性水平”，而采用范希爾學(xué)習(xí)模式教學(xué)法，比采用傳統(tǒng)講授式教學(xué)法，更能產(chǎn)生較高的幾何思考層次及學(xué)習(xí)成就.其中“體驗與直覺—體驗與抽象—體驗與發(fā)現(xiàn)”是運(yùn)用紙片、剪刀、作圖測量等工具，以“做”為支架的數(shù)學(xué)實(shí)驗教學(xué)活動，實(shí)踐的過程也是個體體驗的過程.“體驗與推理—體驗與評價”則是以心理體驗為主的教學(xué)活動過程.

由此可見，數(shù)學(xué)實(shí)驗是數(shù)學(xué)體驗中的“實(shí)踐體驗”，是體驗教學(xué)的一部分，除“實(shí)踐體驗”外還有“心理體驗”，體驗是教學(xué)的全過程，內(nèi)在的有意義的學(xué)習(xí)過程即為體驗的過程.數(shù)學(xué)體驗是一種主體性、過程性、反思性、情境性的生命化學(xué)習(xí)方式.

三、在數(shù)學(xué)體驗過程中，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

親歷性與個性化是體驗學(xué)習(xí)的突出特征，“在體驗中發(fā)展”是體驗教學(xué)的精髓.

1.在實(shí)驗過程中體驗，發(fā)展直觀想象、空間觀念、創(chuàng)新意識、實(shí)踐精神.

在“體驗與直覺”環(huán)節(jié)，“你能剪一個與已知的三角形紙片相似的三角形紙片嗎”是本課第一個主問題.小組合作實(shí)踐活動結(jié)束，“體驗與抽象”環(huán)節(jié)全班交流方法，有位學(xué)生的剪法是：比著已知三角形紙片畫兩個相等的角，然后剪下來得到一個三角形紙片.擷取此時課堂師生對話如下：

師：你剪的三角形滿足的條件是什么？

生：兩角分別相等.

師：你為什么找兩角分別相等，不找第三組角也相等？

生：因為三角形內(nèi)角和為180°，兩角分別相等，第三組角一定相等.

師：為什么沒有邊的條件？

生：我在剪的過程中發(fā)現(xiàn)，無論邊的長短是多少，只要兩角分別相等，兩個三角形就相似.

由此片段可見一斑，學(xué)生能操作分析圖形的組成要素“邊與角”，并根據(jù)邊、角比較兩個三角形紙片，整體直觀感知形狀相同的條件，但此時還無法或難以解釋其中的緣由，處于范希爾思維水平的直觀與描述水平.此環(huán)節(jié)，學(xué)生在手腦并用的數(shù)學(xué)實(shí)驗活動中，體驗三角形邊、角元素對圖形形狀大小的影響，同時體驗決定三角形形狀需要幾個元素及這幾個元素間相互的關(guān)系，從而建立空間觀念.學(xué)生剪出相似三角形后，教師又提出一主問題“你能檢驗它們相似嗎”.一部分學(xué)生測量兩三角形的對應(yīng)邊、角，計算對應(yīng)邊是否成比例，對應(yīng)角是否相等，利用相似三角形的定義去檢驗，實(shí)現(xiàn)定性到定量自然過渡.還有一部分學(xué)生把相等的角疊合在一起，利用已學(xué)的判定三角形相似的“預(yù)備定理”驗證.這些都是研究圖形的根基與本原，直達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)部的感知與體驗，必將在主體的內(nèi)心世界扎根、繁殖，從而促進(jìn)主體素質(zhì)的實(shí)質(zhì)性發(fā)展.

此環(huán)節(jié)，以“看哪個小組剪的方法多”的競爭形式，為學(xué)生提供自由廣闊的天地，聽任各種不同思維、不同方法自由發(fā)展，沒有任何限制.充分的時間是主體親歷體驗的必要保障.學(xué)生從不同的角度思考各種不同的方法，生成異常豐富，培養(yǎng)了思維的發(fā)散性，在“再發(fā)現(xiàn)”中發(fā)展了創(chuàng)新意識，在從“三角形紙片的邊角”到“相似一般條件”的過程中發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象能力，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

2.在追憶過程中體驗，發(fā)展演繹能力、數(shù)學(xué)化能力.

在“體驗準(zhǔn)備”環(huán)節(jié)，通過證明題回憶已學(xué)的證明三角形相似的方法——“定義”與“預(yù)備定理”，后面剪相似三角形紙片環(huán)節(jié)，不乏利用“預(yù)備定理”來指導(dǎo)剪紙的學(xué)生，運(yùn)用的是演繹的思維方式.然后順勢追問“你對相似三角形有哪些理解”，充分深入挖掘“相似三角形”各種不同角度的理解與豐富的內(nèi)涵，為后面學(xué)生自主建構(gòu)各種各樣的相似三角形條件奠定堅實(shí)的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史告訴我們，許多數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都和實(shí)驗與觀察有關(guān)，最典型的例子莫過于三角形內(nèi)角和定理，度量或拼合三個角的數(shù)學(xué)實(shí)驗不僅發(fā)現(xiàn)“三角形內(nèi)角和為180°”的結(jié)論，還發(fā)現(xiàn)了證明的方法.同樣，剪相似三角形紙片的實(shí)驗發(fā)現(xiàn)了三角形相似的條件，疊合檢驗相似三角形的操作實(shí)驗幫助發(fā)現(xiàn)了證明的方法.然而從疊合檢驗實(shí)驗到發(fā)現(xiàn)證明方法并非像人們想象的那么輕而易舉，這是范希爾思維水平的“非形式化的演繹”水平向“形式演繹”水平的過渡.而克勞雷告訴我們，范希爾理論具有進(jìn)階性，也就是從一個水平向另一個水平的過渡不是平緩的，而是一個“跳躍”的過程，在達(dá)到新水平之前，學(xué)生必須經(jīng)歷一個“思維的危機(jī)”.“體驗與推理”環(huán)節(jié)，通過測量、計算、放大、疊合等合情推理進(jìn)一步驗證猜想，增加對自主建構(gòu)的“相似條件”的認(rèn)可度.在此基礎(chǔ)上，追憶疊合驗證法，強(qiáng)化過程，促使學(xué)生能夠想到通過構(gòu)圖來達(dá)到疊合的目的，從而找到證明“兩角分別相等的兩三角形相似”的方法.某種程度上解除“思維危機(jī)”，使“描述水平”向“理論水平”平緩過渡.此過程正是逐步數(shù)學(xué)化的過程，無疑可發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)化能力.追憶體驗主要是心理體驗，不排斥有意義的接受學(xué)習(xí)方式.

3.在證明的過程中體驗，發(fā)展抽象能力、推理能力.

“三角形相似條件”的證明有相當(dāng)?shù)碾y度，其中涉及構(gòu)造一個全等三角形作為“中介”，這一證明方法學(xué)生相對比較生疏.剪三角形紙片、疊合驗證、追憶疊合等操作體驗活動，為構(gòu)造“中介”三角形的證明方法搭建了腳手架.在這個過程中，三角形紙片作為具象素材支持學(xué)生的思考，自然過渡到數(shù)學(xué)中的“三角形”進(jìn)行抽象形式推理，有效突破難點(diǎn)，積累了利用輔助線構(gòu)圖實(shí)現(xiàn)操作中圖形元素轉(zhuǎn)移的活動經(jīng)驗，提高了證明能力，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象.

3.在反思過程中體驗，發(fā)展自我反思能力.

本課例注重暴露思維過程，剪相似三角形紙片時，問學(xué)生“怎樣想？如何剪的”試圖促使學(xué)生暴露類比全等三角形條件剪相似三角形的思維過程；證明判定條件“兩角分別相等的兩三角形相似”時，問學(xué)生“你是怎樣想到這樣證明的”試圖引導(dǎo)學(xué)生暴露由“疊合驗證”的操作活動想到構(gòu)造“中介三角形”的證明方法的思維過程.這些都是促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的思路性問題，屬于高層次數(shù)學(xué)問題，但因距離學(xué)生實(shí)際自我反思能力較遠(yuǎn)，沒有取得預(yù)期的效果.如果能分解為層層遞進(jìn)、更為細(xì)化具體的小問題進(jìn)行追問，比如：

師：你怎么想到尋找“兩邊成比例及夾角相等”的條件剪相似三角形紙片的？

生：因為全等三角形條件中有一個是“SAS”，所以想到相似三角形也找兩邊及夾角.

師：全等三角形條件“SAS”中的兩邊相等，到相似三角形為什么變化為兩邊成比例？

生：因為全等三角形是特殊的相似三角形，全等三角形大小相等，但相似三角形大小不一定相等.相似三角形兩邊不一定相等，只需要成比例就可以了.

師：所以三角形全等條件比相似條件要求高，兩邊“相等”弱化為“成比例”.類似的，可以通過弱化全等條件的方式，類比猜想其他三角形相似的條件.

如此追問，顯然能讓思路外顯，在暴露思路、教師完善的過程中教會學(xué)生正確思考問題的方法，不僅想到類比，還知道如何去類比，增長了智慧.這種反思性過程性教學(xué)是心理體驗的過程.

“體驗與推理”環(huán)節(jié)中證明結(jié)束后，帶領(lǐng)學(xué)生反思證明的思路：通過構(gòu)圖，將兩個三角形聯(lián)系到一個三角形中，轉(zhuǎn)化為“預(yù)備定理”圖形，實(shí)現(xiàn)圖形運(yùn)動和轉(zhuǎn)化.在反思過程中形成概括性經(jīng)驗與方法，為后續(xù)證明其他相似條件方法遷移做準(zhǔn)備.反思內(nèi)省將自己的親歷進(jìn)行歸納、強(qiáng)化、提升，是學(xué)習(xí)過程的關(guān)鍵要素，是開啟體驗學(xué)習(xí)中蘊(yùn)藏意義的最佳途徑.學(xué)習(xí)者必須在體驗過程中不斷反思，并產(chǎn)生個人內(nèi)化意義，才能達(dá)成體驗式學(xué)習(xí)的效益.

四、結(jié)語

親歷既包括親身經(jīng)歷，也包括親“心”經(jīng)歷.只有親歷，才能觸動人的心靈深處；只有觸動到心靈深處，才能產(chǎn)生情感、生成意義、發(fā)展素質(zhì).體驗是相對“囫圇吞棗”而言的，只有體驗過方能知其味，并汲取營養(yǎng)，最終獲得生命生長.總而言之，學(xué)生通過體驗教學(xué)活動的每個片段獲得發(fā)展與成長.

1.鄭金洲.體驗教學(xué)［M］.福州：福建教育出版社，2008.

2.顧泠沅，鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程［M］.上海：上海教育出版社，2009.

3.鐘啟旸.體驗式課程的教學(xué)知識［M］.重慶：重慶大學(xué)出版社，2012.

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點(diǎn)資助課題“初中數(shù)學(xué)體驗室建設(shè)與利用的研究”研究成果之一，課題編號：B-a/2015/02/029.