采用隨機(jī)矩陣?yán)碚摰乃曣嚵蠸MI-MVDR空間譜估計技術(shù)*

郭 拓，王英民，張立?。ㄎ鞅惫I(yè)大學(xué)航海學(xué)院，西安 710072）

采用隨機(jī)矩陣?yán)碚摰乃曣嚵蠸MI-MVDR空間譜估計技術(shù)*

郭 拓，王英民，張立琛
（西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，西安 710072）

對角加載MVDR技術(shù)是一種經(jīng)典的空間譜估計技術(shù)，在水聲陣列信號處理中有著廣泛的應(yīng)用。該技術(shù)之所以具有較好的性能是由于其通過對角加載使樣本協(xié)方差矩陣的特征值分散度減小。提出了基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰腗VDR空間譜估計技術(shù)，具體思路是利用隨機(jī)矩陣特征值的極限性質(zhì)實(shí)現(xiàn)樣本協(xié)方差矩陣噪聲的抑制，以達(dá)到類似對角加載能夠?qū)崿F(xiàn)的特征值分散度減小的效果。仿真表明所提出的方法與對角加載方法達(dá)到了同樣的目的，且當(dāng)快拍數(shù)一定，而信噪比由小變大時，該方法可以達(dá)到與對角加載MVDR技術(shù)相當(dāng)?shù)男阅埽划?dāng)信噪比設(shè)為定值，快拍數(shù)由小變大時，其與對角加載技術(shù)具有相同的DOA估計成功概率變化趨勢，且在小樣本情況下，此方法優(yōu)勢較為明顯。

聲學(xué)，隨機(jī)矩陣?yán)碚?，最小方差無畸變響應(yīng)，樣本協(xié)方差矩陣，波達(dá)方向

0 引言

水聽器陣列比單個陣元具有更好的指向性，因此，可以更好地確定目標(biāo)信號的入射方位，同時也可以將輸出信噪比提高到一個與陣元個數(shù)成正比的倍數(shù)。故其被廣泛地應(yīng)用于主被動聲納系統(tǒng)中?？臻g譜估計技術(shù)是水聲陣列信號處理中的常用手段，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，已經(jīng)形成了兩類技術(shù)，即基于波束形成的技術(shù)和基于子空間分解的技術(shù)，波束形成技術(shù)典型的有常規(guī)波束形成器（Conventional BeamForming，CBF）和最小方差無畸變響應(yīng)（Minimum Variance Distortionless Response，MVDR）波束形成器；基于子空間分解技術(shù)的空間譜估計算法有多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）和旋轉(zhuǎn)子空間不變法（Estimating Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT）等［1］。

MVDR算法最早于1969年由Capon［2］提出，是一種經(jīng)典的數(shù)字波束形成技術(shù)，也可以用于相干信號的DOA估計，只是分辨力不是很高。應(yīng)用該算法當(dāng)快拍數(shù)目小時，對協(xié)方差矩陣的估計存在誤差，會出現(xiàn)很大的特征值散布，大特征值及對應(yīng)的特征向量能夠較快收斂［3］，小特征值及其特征向量存在較大的擾動，且小特征值對波束形狀的影響較為明顯，隨著快拍數(shù)目的增大，小特征值逐漸收斂于噪聲的期望值，特征值分散減小，波束形狀也有明顯的改善。故如果能實(shí)現(xiàn)特征值分散的最小化，則可以減少隨機(jī)形狀的噪聲特征波束的影響，而1988 年BLAIR D.CARLSON［4］提出的基于MVDR的對角加載（Diagonal Loading，DL）技術(shù)能夠做到這一點(diǎn)。實(shí)際運(yùn)用中一般是用采樣點(diǎn)協(xié)方差矩陣估計基陣協(xié)方差矩陣，并將采樣矩陣求逆（Sample Matrix Inversion，SMI）技術(shù)與MVDR相結(jié)合進(jìn)行空間譜估計。

隨機(jī)矩陣就是由某些概率空間下的隨機(jī)變量作為元素的矩陣［5］，隨機(jī)矩陣?yán)碚摚≧andom Matrix Theory，RMT）起源于核物理，目前應(yīng)用于理論物理，數(shù)論，組合，統(tǒng)計，金融數(shù)學(xué)，生物工程以及無線通信上［6］。其主要研究在滿足某些條件時隨機(jī)矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)，如樣本協(xié)方差矩陣的經(jīng)驗譜分布，以及樣本協(xié)方差矩陣最大特征值及最小特征值的極限等。本文基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摾脴颖緟f(xié)方差矩陣特征值極限的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)樣本協(xié)方差矩陣噪聲的抑制，以達(dá)到對角加載能夠?qū)崿F(xiàn)的特征值分散的最小化，用于水聲陣列采樣求逆MVDR空間譜估計技術(shù)。

1 陣列接收信號模型及基于MVDR的波束形成器

1.1 陣列接收信號模型

如圖1所示，水平線陣由N個陣元組成，假設(shè)有D個相互獨(dú)立的平面波入射，陣列第k次快拍X（k）的輸出如式（1）所示。

圖1 陣列接收信號模型

1.2SMI-MVDR與DL-MVDR波束形成器

MVDR波束形成算法的基本思想選取合適的權(quán)向量w，構(gòu)造成約束最優(yōu)化問題，即在期望方向上形成一個單位幅度的約束下，使基陣的均方輸出能量最小，這個最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)描述為:

利用拉格朗日乘子法，求得最優(yōu)權(quán)向量為

對角加載是在協(xié)方差矩陣R上加載一因子，即RDL=R+αI，其中I為單位矩陣，α為加載因子，許多學(xué)者研究如何確定對角因子。則對角加載MVDR （DL-MVDR）波束形成器輸出的空間功率譜為:

2 基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰目臻g譜估計技術(shù)

2.1 隨機(jī)矩陣?yán)碚撗芯恐械暮喕瘶颖緟f(xié)方差矩陣

設(shè)Xm=（xij）n×m，1≤i≤n，1≤j≤m，是來自維數(shù)為n的總體的樣本容量為m的一個n×m的觀測矩陣，xj是Xm的第j列，則下列矩陣Sm稱為樣本協(xié)方差矩陣，這里

在大維樣本協(xié)方差矩陣的譜分析中，隨機(jī)矩陣?yán)碚撗芯客ǔH考慮下面簡化的樣本協(xié)方差矩陣Bm，其定義為:

2.2RMT-SMI-MVDR空間譜估計技術(shù)

使用式（8）的簡化樣本協(xié)方差矩陣估計得到的樣本協(xié)方差矩陣為，將做譜分解，表示為=UTU-1。其中T是以的特征值作為對角線元素的對角矩陣，U是以特征值對應(yīng)特征向量構(gòu)成的矩陣；T對角線上的元素，從小到大排列為

令N為陣元數(shù)，M為采樣數(shù)，由隨機(jī)矩陣?yán)碚摽芍狽/M→c∈（0，∞）時，大維樣本協(xié)方差估計矩陣Bn的經(jīng)驗譜分布以概率1收斂一個極限譜分布，其密度函數(shù)為:

基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰臉颖緟f(xié)方差矩陣求逆最小方差無畸變響應(yīng)（RMT-SMI-MVDR）空間譜估計技術(shù)的空間功率譜為:

3 快拍數(shù)與信噪比對空間譜估計的影響

3.1 基于RMT去噪實(shí)現(xiàn)特征值分散的最小化

對角加載技術(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)特征值分散的最小化，基于RMT的去噪也可以特征值分散的最小化。本節(jié)通過仿真驗證RMT去噪也可以實(shí)現(xiàn)特征值分散的最小化。

仿真假設(shè)10元均勻線陣，有兩個信號分別從20°和35°方向入射，頻率皆為f=2 000 Hz，快拍數(shù)為14。圖2分別從左向右給出樣本協(xié)方差矩陣特征值的原始分散情況，基于隨機(jī)矩陣?yán)碚撊ピ牒蟮奶卣髦捣稚⑶闆r，對角加載后的特征值分散情況，圖中縱坐標(biāo)為特征值，橫坐標(biāo)假設(shè)為1。從圖1可以發(fā)現(xiàn)原始樣本協(xié)方差矩陣的特征值分散度較大，對角加載后的特征值分散度比其小，基于隨機(jī)矩陣?yán)碚撊ピ氲奶卣髦捣稚⒍茸钚　９驶陔S機(jī)矩陣?yán)碚摰目臻g譜估計可以達(dá)到對角加載類似的效果。

圖3為RMT-SMI-MVDR空間譜估計技術(shù)得到的空間譜，以及基于對角加載的空間譜。由圖可知基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰目臻g譜估計技術(shù)可以得到與基于對角加載MVDR相當(dāng)?shù)目臻g譜。

圖2 特征值分布圖

圖3 空間譜對比

3.2 信噪比對RMT-SMI-MVDR DOA估計概率的影響分析

本節(jié)研究快拍數(shù)固定，DOA估計成功率隨信噪比變化時的情況。仿真假設(shè)128元線陣，4個相關(guān)信號從-40°，-30°，-20°和-10°方向入射頻率為5000Hz，樣本數(shù)為65，對每dB做1 000次monte-carlo實(shí)驗。對角加載的加載噪聲級LNR=10 dB［9］。圖4為其仿真結(jié)果，從中可以得出基于隨機(jī)矩陣?yán)碚揗VDR空間譜估計隨著信噪比變大可以達(dá)到與對角加載MV-DR技術(shù)相當(dāng)?shù)男阅?。基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰腗VDR空間譜估計有望成為一種新的空間譜方法，且與對角加載MVDR相比，本方法使用協(xié)方差矩陣的極限譜作為閾值進(jìn)行噪聲抑制，不用費(fèi)盡周折尋找最適合的加載因子。

圖4 DOA估計成功概率隨信噪比變化趨勢

3.3 快拍數(shù)對RMT-SMI-MVDR的影響分析

樣本協(xié)方差矩陣是由有限樣本估計所得，快拍數(shù)自然會影響到空間譜估計的性能，本仿真快拍數(shù)在3～639之間改變，步進(jìn)值為3，每一種快拍數(shù)做1 000次monte-carlo實(shí)驗。圖5為不同快拍數(shù)時對角加載MVDR與基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰腗VDR空間譜估計成功概率對比，圖6為空間譜估計角度的均方根誤差（RMSE）。仿真假設(shè)64元線陣，4個相關(guān)信號從-40°，-30°，-20°和-10°方向入射，頻率為5 000 Hz，信噪比為10 dB。從圖5可以得出兩種空間譜估計技術(shù)隨快拍數(shù)增大，趨勢一樣，即都有一個下降趨勢，隨快拍數(shù)增大，成功率都接近于1，這是由于隨著快拍數(shù)增大，樣本協(xié)方差矩陣估計誤差減小，得到了更為穩(wěn)定的樣本協(xié)方差矩陣；基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰目臻g譜估計成功概率在快拍數(shù)較小時，依然很高，且隨著快拍數(shù)增加光滑下降，然后會有很大的震蕩；對角加載MVDR在快拍數(shù)很小時估計成功概率較另一算法小，且震蕩嚴(yán)重，說明不穩(wěn)定。從圖6更加明顯得出，在小樣本時對角加載MVDR算法震蕩嚴(yán)重，即不穩(wěn)定，而基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰腗VDR誤差較小且穩(wěn)定。二者的不穩(wěn)定及在快拍數(shù)較大時趨于穩(wěn)定且成功率接近于1，是可以用隨機(jī)矩陣?yán)碚摻忉屒宄模S機(jī)矩陣?yán)碚撗芯恳呀?jīng)表明樣本協(xié)方差矩陣誤差較小的條件是樣本數(shù)遠(yuǎn)大于維數(shù)，且隨著樣本數(shù)的增大非穩(wěn)定性會給協(xié)方差矩陣估計產(chǎn)生越來越大的影響，且非穩(wěn)定性主要體現(xiàn)在特征值上，而特征向量波動不大。且從圖5、圖6可以得出一個很有意義的結(jié)果就是基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰腗VDR空間譜技術(shù)適合于小快拍空間譜估計應(yīng)用場景，適合于水下快速運(yùn)動陣列小樣本定位，如魚雷等。

4 結(jié)論

在做空間譜估計時，通常情況樣本協(xié)方差矩陣可以通過簡化的形式直接估計出來，但為何可以通過簡化形式估計樣本協(xié)方差矩陣，這其中的原因及理論基礎(chǔ)值得思考及研究。通過本文研究筆者認(rèn)為隨機(jī)矩陣?yán)碚搼?yīng)該是其理論基礎(chǔ)，具體依據(jù)是隨機(jī)矩陣?yán)碚撗芯康囊延薪Y(jié)論:簡化估計矩陣與樣本協(xié)方差矩陣具有相同的極限譜分布。

圖5 DOA估計成功概率隨快拍數(shù)變化趨勢

圖6 空間譜估計角度的均方根誤差隨快拍變化趨勢

簡化樣本協(xié)方差矩陣與樣本協(xié)方差矩陣具有相同的極限譜分布，故本文首先對簡化樣本協(xié)方差矩陣做譜分解；然后基于隨機(jī)矩陣?yán)碚撌褂闷渥畲筇卣髦档臉O限作為上界，將小于此上界的特征值皆當(dāng)作噪聲，并用小于此上界特征值的均值替代；最后由替代后的特征值對角矩陣和上面譜分解所對應(yīng)的特征向量相乘，得到新的樣本協(xié)方差估計矩陣，使用MVDR做空間譜估計。仿真表明本文提出的基于隨機(jī)矩陣?yán)碚撎卣髦禈O限抑制噪聲的方法與對角加載方法達(dá)到了同樣的目的，即使樣本協(xié)方差矩陣特征值的分散化最小。當(dāng)快拍數(shù)一定信噪比由小變大，通過仿真表明基于隨機(jī)矩陣?yán)碚揗VDR空間譜估計技術(shù)可以達(dá)到與對角加載MVDR技術(shù)相當(dāng)?shù)男阅?。?dāng)信噪比固定時，例如10 dB，本文提出的方法與對角加載技術(shù)具有相同的DOA估計成功概率變化趨勢，且在小樣本情況下，本文提出的方法優(yōu)勢較為明顯。

基于隨機(jī)理論的MVDR空間譜估計技術(shù)有望成為一種新的空間譜方法，且與對角加載MVDR相比，其使用協(xié)方差矩陣的極限譜作為閾值進(jìn)行噪聲抑制，不用費(fèi)盡周折尋找最適合的加載因子；且得出一很重要的結(jié)果是本文提出的方法適合于小快拍空間譜估計，這對于水下快速運(yùn)動陣列小樣本定位具有良好的應(yīng)用價值。

［1］王永良，陳輝，彭應(yīng)寧，等.空間譜估計理論與算法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2004:2-5.

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［3］喬永雯.大孔徑拖線陣的自適應(yīng)波束形成研究［D］.西安:西北工業(yè)大學(xué)，2007:34-37.

［4］CARLSON B D.Covariance matrix estimation errors and diagonal loading in adaptive arrays［J］.Aerospace and Electronic Systems，IEEE Transactions on，1988，24（4）: 397-401.

［5］許林.高維協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu)檢驗［D］.長春:東北師范大學(xué)，2014:1-2.

［6］曾杏元.生成于四種流形上的大維隨機(jī)矩陣的譜分布［D］.長沙:中南大學(xué)，2013:1-6.

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Underwater Acoustic Array SMI-MVDR Spatial Spectral Estimation Based on Random Matrix Theory

GUO Tuo，WANG Ying-min，ZHANG Li-chen
（School of Marine Science and Technology，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China）

Minimum variancedistortionless response（MVDR） withdiagonalloading is a conventional spatial spectrum estimation method，it has a wide application in underwater acoustic array signal processing.The good performance of the above method is attributed to it reduce the eigenvalue spread of sample covariance matrix by diagonal loading.The underwater acoustic array sampling matrix inversion（SMI）minimum variance distortionless response（MVDR）beamforming technique is proposed based on random matrix theory（RMT），limit properties of RMT eigenvalue is used to noise suppression of sample covariance matrix，in order ot reach the same performance as diagonal loading，namely reducing the eigenvalue spread of sample covariance matrix.Simulation results show that the proposed method has achieved the same performance as diagonal loading，as a certain number of snapshots and signal to noise ratio（SNR）from small to large.At the same time，when the number of snapshots from small to large，and SNR set value，it has the same trends of success probability of DOA estimation，and in the case of small sample，the advantages of the proposed method are obvious.

acoustics，random matrix theory，minimum variance distortionless response，sample covariance matrix，direction of arrival

TB566

A

1002-0640（2017）03-0045-04

2016-02-08

2016-03-05

國家自然科學(xué)基金資助項目（61401362）

郭 拓（1986- ），男，陜西延安人，在讀博士。研究方向：水下陣列信號處理，目標(biāo)被動定位，稀疏信號處理。