如何讓學(xué)生會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考問(wèn)題

盛璇

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡(jiǎn)稱“《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》”）第一次將數(shù)感作為新課程標(biāo)準(zhǔn)十個(gè)核心概念的首要概念，并明確規(guī)定應(yīng)為學(xué)生掌握的核心內(nèi)容，需要培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)，可見(jiàn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的重要性。但在日常的教學(xué)過(guò)程中，由于教師對(duì)數(shù)感的培養(yǎng)缺乏應(yīng)有的認(rèn)識(shí)，往往只是教給學(xué)生有關(guān)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的計(jì)算和數(shù)的應(yīng)用方面的知識(shí)，缺乏對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，亦或由于教師理念上的先天不足而在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的過(guò)程中存在這樣或那樣的誤區(qū)，致使一些學(xué)生面對(duì)現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，由于自身數(shù)感不強(qiáng)，常常束手無(wú)策。那么，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，讓學(xué)生會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考問(wèn)題？

一、對(duì)數(shù)感內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)

通過(guò)閱讀報(bào)刊雜志和上網(wǎng)查找資料，國(guó)內(nèi)外關(guān)于數(shù)感的種種說(shuō)法有很多，經(jīng)過(guò)大致梳理有以下幾類：第一，認(rèn)為數(shù)感是“關(guān)于數(shù)字（量）的一種直覺(jué)”；第二，認(rèn)為數(shù)感與語(yǔ)感、美感等類似，是一種“直感”；第三，認(rèn)為數(shù)感是一種主動(dòng)地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度和意識(shí)，是一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

新《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)感作出了明確的解釋：數(shù)感，主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟?！皵?shù)感主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義；能用多種方法來(lái)表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系；能用數(shù)來(lái)表達(dá)和交流信息；能為解決問(wèn)題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估?jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性作出解釋?！边@便于我們明確數(shù)感的具體內(nèi)容，把握數(shù)感的教學(xué)方向，便于在日常教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

上海市特級(jí)教師曹培英在給我們做的報(bào)告《“十大核心詞”的解讀研究》指出：數(shù)感如同球員的球感。歌手的樂(lè)感，每個(gè)人都有，只是程度感覺(jué)的不同罷了。簡(jiǎn)單通俗地說(shuō)，數(shù)感就是對(duì)于數(shù)的感悟和理解。北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授張丹在所著的《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略》中將數(shù)的學(xué)習(xí)歸為四個(gè)方面：在對(duì)具體情境中數(shù)與數(shù)量、數(shù)量之間關(guān)系等感悟的基礎(chǔ)上理解數(shù)的意義，運(yùn)用多種方法來(lái)表示數(shù)，把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系，運(yùn)用數(shù)來(lái)表達(dá)和交流信息。由此不難看出，這里的“感”不僅僅停留在感性認(rèn)識(shí)上，而是在感性基礎(chǔ)上的理性認(rèn)識(shí)?！缎W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法》一書(shū)中指出：數(shù)感是人們對(duì)數(shù)與運(yùn)算的一般理解，有助于人們用靈活的方法做出數(shù)學(xué)判斷，并為解決復(fù)雜問(wèn)題提出有用的策略。綜合上述的觀點(diǎn)，我認(rèn)為：數(shù)感是人的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是一個(gè)人對(duì)數(shù)的意義和運(yùn)算的直覺(jué)感知，具有良好數(shù)感的人，對(duì)數(shù)的意義和運(yùn)算有靈敏而強(qiáng)烈的感覺(jué)、感受和感知的能力，并能作出迅速準(zhǔn)確的反應(yīng)。它不僅體現(xiàn)在計(jì)算能力和解決書(shū)本問(wèn)題能力上，而且體現(xiàn)在學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，當(dāng)遇到與數(shù)學(xué)相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，能自然地、有意識(shí)地和數(shù)學(xué)相聯(lián)系，用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法來(lái)處理解決，可以理解為數(shù)感就是可以“數(shù)學(xué)地”思考問(wèn)題。

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的教學(xué)誤區(qū)

數(shù)感的建立是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)地思考和解決問(wèn)題的能力。但在日常教學(xué)中，由于教師受應(yīng)試教育的影響，對(duì)數(shù)感的認(rèn)識(shí)還存在不同的偏差，以至于在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的過(guò)程中還存在一些誤區(qū)。

誤區(qū)之一：感受大數(shù)是與生俱來(lái)的，后天無(wú)法養(yǎng)成

不可否認(rèn)，某些數(shù)學(xué)家天生就有很強(qiáng)烈的數(shù)感，10歲的高斯毫不費(fèi)勁地完成了等差數(shù)列（比如由1到100的自然數(shù)）求和，得益于他對(duì)計(jì)算方法的直接把握；12歲的帕斯加獨(dú)立完成了三角形內(nèi)角和定理的證明，一直為人們津津樂(lè)道。瑞士著名的伯努利家族在三代人中產(chǎn)生了八位數(shù)學(xué)家，我國(guó)南北朝祖氏父子、清朝梅文鼎祖孫的數(shù)學(xué)成就聞名于世，但畢竟是鳳毛麟角，屈指可數(shù)。

數(shù)感的形成固然有遺傳因素和家族影響的作用，而更多是后天努力的結(jié)果。解析幾何創(chuàng)始人笛卡兒出身于法國(guó)貴族家庭，父親是政府雇員；牛頓出身在英國(guó)農(nóng)民家庭，還是遺腹子，全靠自己努力取得成功；概率論奠基者拉普拉斯的父母是法國(guó)農(nóng)民；費(fèi)馬則是法國(guó)皮革商的兒子。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽、楊輝、朱世杰、秦九韶，直到近代的程大位、徐光啟、李善蘭，他們家族中沒(méi)有一人是數(shù)學(xué)家，他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)全靠后天養(yǎng)成。更何況數(shù)學(xué)新課程的培養(yǎng)目標(biāo)不是數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育的目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和繼續(xù)學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)基本知識(shí)和技能”，會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考問(wèn)題。

形成數(shù)感不是一蹴而就的事，需要一定數(shù)量和足夠時(shí)間的學(xué)習(xí)，在適宜的重復(fù)性訓(xùn)練后便自然形成數(shù)感。數(shù)感與記憶的程度有關(guān)，如果對(duì)數(shù)的記憶程度越深，對(duì)數(shù)的感覺(jué)和反應(yīng)就越靈敏。中國(guó)自古以來(lái)就有“熟能生巧”的說(shuō)法，就是這個(gè)道理。實(shí)踐證明，絕大多數(shù)學(xué)生通過(guò)努力是可以建立起數(shù)感的。

誤區(qū)之二：數(shù)感不就是會(huì)數(shù)數(shù)、會(huì)計(jì)算嗎

這是一種片面的理解。所謂數(shù)感是一種主動(dòng)地、自覺(jué)地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識(shí)，它是建立在對(duì)事物數(shù)量關(guān)系的直觀感知之上的。會(huì)數(shù)數(shù)、會(huì)計(jì)算只是最低層次的數(shù)感，理解數(shù)的意義，知曉現(xiàn)實(shí)事物與數(shù)目可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以完成日常生活所必需的計(jì)算，這只能算是被動(dòng)的“數(shù)感”，剛剛摘了“數(shù)盲”的帽子，這是第一層次的數(shù)感。

第二層次的數(shù)感已經(jīng)超越了“結(jié)繩記事”階段，不再滿足于具體數(shù)字計(jì)算，而是進(jìn)一步用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)思考和處理問(wèn)題，能為解決問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)乃惴?，具有策略性知識(shí)。在課堂教學(xué)中集中表現(xiàn)為：對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)充分領(lǐng)悟，對(duì)思維訓(xùn)練快速反應(yīng)，對(duì)個(gè)性教養(yǎng)的深刻感受。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生總是自發(fā)或自覺(jué)地運(yùn)用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)模塊，對(duì)數(shù)學(xué)情境能迅速反應(yīng)、準(zhǔn)確把握、思路敏捷、解答簡(jiǎn)縮，能自然地運(yùn)用最優(yōu)化的解題策略。在日常生活中，他們勤于數(shù)學(xué)觀察和數(shù)學(xué)思考，善于從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。

數(shù)學(xué)教育主要是培養(yǎng)這一層次的數(shù)感，使學(xué)生養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度看世界。當(dāng)他們遇到可能與數(shù)學(xué)有關(guān)的具體問(wèn)題時(shí)，就能自然地、有意識(shí)地與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來(lái)，或者試圖進(jìn)一步用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法來(lái)處理解決，會(huì)“數(shù)學(xué)地”觀察與思考。我們沒(méi)有必要，也不可能讓人人都成為數(shù)學(xué)家，但應(yīng)當(dāng)使每一個(gè)人都具有數(shù)感，會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考問(wèn)題。數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為素養(yǎng)之一，不只是用計(jì)算能力的高低和解決書(shū)本問(wèn)題能力的大小來(lái)衡量的，而學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法理解和解決實(shí)際問(wèn)題，能從現(xiàn)實(shí)的情境中看出數(shù)學(xué)問(wèn)題，這才是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，所以說(shuō)，數(shù)感是人的一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

第三層次數(shù)感已進(jìn)入到“自由”階段，這是一種數(shù)學(xué)的至高境界，完全脫離現(xiàn)實(shí)世界，進(jìn)入到虛無(wú)抽象的數(shù)學(xué)世界，憑借對(duì)數(shù)學(xué)美的直覺(jué)，孜孜以求。在歐拉最后17年生命中，他已雙目失明，但并不妨礙他對(duì)數(shù)學(xué)世界敏銳的洞察力，“歐拉計(jì)算毫不費(fèi)力，就像人的呼吸，或如老鷹在空中翱翔一樣自如”，支撐他的就是這種高層次的數(shù)感；陳景潤(rùn)當(dāng)年身居斗室卻心系“明珠”，為攻克“歌德巴赫猜想”忘我工作，幾近癡迷，應(yīng)是此種境界。王維的千古名句“大漠孤煙直，長(zhǎng)河落日?qǐng)A”在數(shù)學(xué)家眼里卻是平面上的一條垂線，一條直線上外切著一個(gè)圓。

誤區(qū)之三：數(shù)感的培養(yǎng)必須通過(guò)數(shù)學(xué)情境

通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，這是新課改所提倡的，本身無(wú)可厚非。問(wèn)題是有些教師過(guò)于追求教學(xué)的情境化，為了創(chuàng)設(shè)情境可謂是“冥思苦想”，好像數(shù)學(xué)課脫離了情境，就不是新課改數(shù)學(xué)課。為了培養(yǎng)數(shù)感，今天是去商店“買(mǎi)東西”，明天到旅游點(diǎn)“買(mǎi)門(mén)票”，后天又是計(jì)算“存款利息”，剛開(kāi)始的新鮮勁一過(guò)，學(xué)生們漸漸習(xí)以為常，情境也就失去了新異性，根本不能激起他們的興趣，那么，學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)也就無(wú)從談起。教學(xué)中，不要單純地用“生活化”“活動(dòng)化”沖淡“數(shù)學(xué)味”，不能把數(shù)學(xué)課上成活動(dòng)課、游戲課。更不能為了貼近生活，常常“挖空心思”編造一些題目來(lái)幫助學(xué)生建立數(shù)感。

三、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的有效教學(xué)策略

良好的數(shù)感是學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和生活的基礎(chǔ)，因此教師要切實(shí)認(rèn)識(shí)到數(shù)感的重要性，有計(jì)劃有意識(shí)地將數(shù)感的培養(yǎng)納入自己的日常教學(xué)之中。

1. 遵循學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

20以內(nèi)、百以內(nèi)的數(shù)可以讓學(xué)生數(shù)一數(shù)，如數(shù)小棒、數(shù)小方塊，但是1000的認(rèn)識(shí)，你讓孩子數(shù)1000，10000的認(rèn)識(shí)以及后面要學(xué)習(xí)的的幾萬(wàn)、幾十萬(wàn)、幾百萬(wàn)，整萬(wàn)數(shù)的認(rèn)識(shí)，這種數(shù)實(shí)物的方法已不適宜了。因此，要根據(jù)數(shù)的大小關(guān)系以及學(xué)生的年齡特征靈活采取不同的方法，可以是實(shí)物數(shù)數(shù)，構(gòu)建數(shù)感，也可以是數(shù)形結(jié)合，發(fā)展數(shù)感。而“數(shù)形結(jié)合、發(fā)展數(shù)感”實(shí)踐的是一種數(shù)量間的相對(duì)大小關(guān)系。在這里重點(diǎn)是構(gòu)建一種估計(jì)的方法，建立一個(gè)估量的標(biāo)準(zhǔn)（參照物）。例如，教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，要符合不同年齡段學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容有所變化，創(chuàng)設(shè)的情境還應(yīng)該賦予一定的時(shí)代氣息。情境的表現(xiàn)形式應(yīng)該是多種多樣的，如問(wèn)題情境、活動(dòng)情境、故事情境、競(jìng)爭(zhēng)情境等。對(duì)于低年級(jí)、中年級(jí)的學(xué)生，可以通過(guò)講故事、做實(shí)驗(yàn)、模擬表演、直觀演示等形式創(chuàng)設(shè)情境；而對(duì)于高年級(jí)學(xué)生，則要側(cè)重創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的問(wèn)題情境，用數(shù)學(xué)本身的魅力去吸引學(xué)生。

2. 在適度“數(shù)境”中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感

在數(shù)學(xué)悟境（以下簡(jiǎn)稱“數(shù)境”）中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感，就是說(shuō)要將數(shù)感的培養(yǎng)置于適度的數(shù)境中。語(yǔ)境、語(yǔ)感、數(shù)境、數(shù)感，數(shù)境可以從兩方面來(lái)理解，第一個(gè)是數(shù)的應(yīng)用環(huán)境，而不是直接的認(rèn)識(shí)數(shù)，而是置于一定的生活情境中，第二個(gè)語(yǔ)文老師都非常清楚，字詞的認(rèn)識(shí)肯定是要放于句子中的，那么我們數(shù)的認(rèn)識(shí)，肯定放在一個(gè)數(shù)的范圍中，比如教學(xué)《萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》，就先出示1000到10000，讓學(xué)生讀一讀、看一看，談一談?dòng)惺裁锤杏X(jué)，就是在整體感知以后再去認(rèn)識(shí)某一個(gè)數(shù)，所以這就是我們對(duì)數(shù)境的理解，其實(shí)數(shù)感的培養(yǎng)置于數(shù)境中能夠更好地讓學(xué)生對(duì)數(shù)有一種感覺(jué)。

3. 在數(shù)的認(rèn)識(shí)實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感

讀數(shù)同樣能夠讓孩子讀出一種數(shù)的感覺(jué)，這應(yīng)該是我們?cè)跀?shù)的教學(xué)過(guò)程中可以去追求的一個(gè)方向。

新《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“在第一學(xué)段的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己身邊具體、有趣的事物，通過(guò)觀察、操作、解決問(wèn)題等豐富的活動(dòng)，感受數(shù)的意義，體會(huì)數(shù)用來(lái)表示和交流的作用，初步建立數(shù)感。”數(shù)感不是通過(guò)傳授而能得到培養(yǎng)的，更重要的是讓學(xué)生自己去感知、發(fā)現(xiàn)，知道在學(xué)習(xí)生活中處處有數(shù)的存在，很多問(wèn)題需要用數(shù)學(xué)的思想和方法去解決，從而學(xué)習(xí)用數(shù)來(lái)概括、表達(dá)自己對(duì)事物的認(rèn)識(shí)，在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感。能把數(shù)的概念與它們所表示的實(shí)際含義建立起聯(lián)系，是理解數(shù)的標(biāo)志，也是建立數(shù)感的表現(xiàn)。因此在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，教師要充分利用學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)素材，努力喚醒學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，并向兒童展示數(shù)的概念的現(xiàn)實(shí)來(lái)源和實(shí)際應(yīng)用，以幫助學(xué)生把握數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，真正理解數(shù)的意義，建立良好的數(shù)感。例如教學(xué)克、千克的認(rèn)識(shí)時(shí)，讓學(xué)生尋找并掂量1克與1千克的物體，尋找哪些物體分別用“克”“千克”作單位。像一分硬幣重1克，4粒黃豆大約重1克，兩袋鹽重1千克，一袋糖重1千克，肥皂、藥片、黃金等細(xì)小物品用“克”作單位，體重、菜、水果等用“千克”作單位；在教學(xué)長(zhǎng)度單位時(shí)，可通過(guò)讓學(xué)生到操場(chǎng)上跑跑、測(cè)測(cè)、量量，讓學(xué)生感受50米、100米、500米的距離……這些數(shù)據(jù)、單位都來(lái)自于生活實(shí)際，學(xué)生很容易理解、接受，它不僅可以培養(yǎng)學(xué)生“親近數(shù)學(xué)”的行為，而且可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)的敏銳程度，形成對(duì)數(shù)的良好直覺(jué)，建立數(shù)感。

數(shù)感是一種內(nèi)隱的、非結(jié)構(gòu)的程序性知識(shí)，他不是與生俱來(lái)的，數(shù)感的形成也不是一蹴而就的，而是在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步體驗(yàn)和建立起來(lái)的，需要長(zhǎng)時(shí)間潛移默化的滲透和培養(yǎng)。作為教師，要努力鉆研新教材，結(jié)合有關(guān)內(nèi)容，尋找各種著眼點(diǎn)，用多種方法加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中需要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容有意識(shí)設(shè)計(jì)具體目標(biāo)，提供有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的情境、有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)感的評(píng)價(jià)方式，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的建立和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

（作者單位：湖南省長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)第一小學(xué)）