復(fù)數(shù)幾何意義在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

趙 秀

(興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 興義 562400)

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復(fù)數(shù)幾何意義在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

趙 秀

(興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 興義 562400)

復(fù)數(shù)集是實(shí)數(shù)集的延拓，復(fù)數(shù)理論已經(jīng)滲透到現(xiàn)實(shí)世界的各個(gè)領(lǐng)域，為科學(xué)研究奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。要想學(xué)好復(fù)數(shù)理論，并能靈活應(yīng)用于實(shí)踐，必須深入理解復(fù)數(shù)的相關(guān)幾何意義。分析復(fù)數(shù)幾何意義及其在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，供同行參考。

復(fù)數(shù)；幾何意義；初等數(shù)學(xué)；應(yīng)用

1 復(fù)數(shù)的發(fā)展

復(fù)數(shù)在產(chǎn)生的最初階段，是為了解方程的需要，也就是為使判別式小于零的實(shí)系數(shù)一元二次方程有解，從而需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，將實(shí)數(shù)集擴(kuò)大為復(fù)數(shù)集，于是產(chǎn)生了虛數(shù)。但最初，由于人們對(duì)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及性質(zhì)了解不夠清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又出現(xiàn)了許多矛盾，因而，長(zhǎng)期以來(lái)，人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”，直到17、18世紀(jì)，隨著微積分的發(fā)明與發(fā)展，對(duì)復(fù)數(shù)有了幾何解釋，把復(fù)數(shù)與向量對(duì)應(yīng)起來(lái)，解決了許多實(shí)際問(wèn)題，情況才逐漸有了改變，從而使這門學(xué)科得到迅速發(fā)展。由此看到在復(fù)數(shù)的發(fā)展過(guò)程中，復(fù)數(shù)與幾何有著密切聯(lián)系，它們相互支撐，互相促進(jìn)，共同發(fā)展。20世紀(jì)以來(lái)，復(fù)變函數(shù)論已被廣泛的應(yīng)用到理論物理、彈性理論與天體力學(xué)方面，在種種抽象空間理論中，復(fù)變函數(shù)論還常常為之提供新思想、新模型。

2 復(fù)數(shù)的幾何意義

2.1 復(fù)數(shù)模的幾何意義

從幾何層面上來(lái)看，|z|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而|z1-z2|表示點(diǎn)z1到點(diǎn)z2的距離。這就將幾何中兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)之差的模的問(wèn)題，這是溝通復(fù)數(shù)與幾何的一個(gè)橋梁。

2.2 復(fù)數(shù)乘法幾何意義

z1z2所對(duì)應(yīng)的向量是把z1所對(duì)應(yīng)的向量伸縮|z2|倍，然后再旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ2=argz2(若θ2=argz2≥0，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，若θ2=argz2<0，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn))所得到，如果z2是單位復(fù)數(shù)，幾何上相當(dāng)于將z1對(duì)應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ2=argz2即可。

由于θ1∈[0.π]，所以

圖1 例題Fig.1 Example

3 復(fù)數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

問(wèn)題1：證明三角形的內(nèi)角和等于π。

證明：設(shè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為z1，z2，z3，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角分別為θ1，θ2，θ3(如圖2)，于是

圖2 例題Fig.2 Example

又由于0<θ1<π，0<θ2<π，0<θ3<π，

所以0<θ1+θ2+θ3<3π，故必有k=0，從而有θ1+θ2+θ3=π。

問(wèn)題2：設(shè)z1,z2,z3三點(diǎn)適合條件： z1+z2+z3=0,|z1|=|z2|=|z3|=1，

試證：z1,z2,z3是內(nèi)接于單位圓|z|=1的正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)。

證法一：由于|z1|=|z2|=|z3|=1，可知z1,z2,z3三點(diǎn)在單位圓|z|=1上，下證|z2-z1|=|z3-z2|=|z1-z3|.

因?yàn)閦1+z2+z3=0，

由于對(duì)稱性，同理可證|z3-z2|2=|z1-z3|2=3，

故問(wèn)題得證。

問(wèn)題3：證明：方程z4+16=0的根(在復(fù)數(shù)集內(nèi))均勻分布在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的同心圓周上。

證明：由復(fù)數(shù)的開(kāi)方公式可得，方程z4+16=0的根為

一方面，由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，z1,z2,z3,z4的模都為2，即方程的四個(gè)根到原點(diǎn)的距離都為2。

綜上所述，可知方程z4+16=0的根(在復(fù)數(shù)集內(nèi))均勻分布在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的同心圓周上。

[1] 張錦豪，邱維元. 復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2] 鐘玉泉. 復(fù)變函數(shù)論[M]. 北京：高等教育出版社，2004.

Application of complex geometric meaning inelementary mathematics

ZHAO Xiu

(School of Mathematical Sciences, Xingyi Normal University for Nationalities, Xingyi 562400, China)

The complex set is the extension of the real number set, and the complex number theory has already penetrated into every field of the real world, which lays a solid foundation for scientific research. In order to learn the complex theory and be able to apply it flexibly, it is necessary to understand the relative geometric meaning of the complex number. In this paper, we discuss the geometric meaning of complex number and its application in elementary mathematics.

Complex number; Geometric meaning; Elementary mathematics; Application

2016-12-09

趙秀(1967-)，女，學(xué)士，副教授。

G633.6

A

1674-8646(2017)02-0042-02