具有時滯的微生物連續(xù)培養(yǎng)動力系統(tǒng)

王曉紅，翟延慧

(天津工業(yè)大學 理學院，天津 300387)

具有時滯的微生物連續(xù)培養(yǎng)動力系統(tǒng)

王曉紅，翟延慧

(天津工業(yè)大學 理學院，天津 300387)

討論了具有時滯的微生物連續(xù)培養(yǎng)動力系統(tǒng)模型的穩(wěn)定性和Hopf分支.應用Hopf分支理論和泛函微分方程方法研究了該模型的線性穩(wěn)定性和局部Hopf分支，且通過數(shù)值模擬驗證結論的有效性.

微生物連續(xù)培養(yǎng)模型；時滯；穩(wěn)定性；Hopf分支

1 模型的建立

通過微分方程的穩(wěn)定性理論對微生物的連續(xù)培養(yǎng)的研究在近30年里取得了豐富的研究成果，出版的主要專著有文獻[1].近年來，我國的一些學者對微生物連續(xù)培養(yǎng)模型作了進一步的深入研究，并獲得了許多新的研究成果.帶有時滯的培養(yǎng)系統(tǒng)模型越來越受到人們的關注.最先將時間滯后引入Chemostat的是Caperon，后繼有Bush等[2]，Elleeermeyer等[3]研究了具有常數(shù)時滯的微生物連續(xù)培養(yǎng)模型.下面是一個傳統(tǒng)的微生物連續(xù)培養(yǎng)模型[4].

(1)

其中:S(t)表示t時刻的營養(yǎng)濃度，X(t)表示t時刻的微生物濃度，D表示流出率，S0為輸入時的初始營養(yǎng)濃度，μ,δ分別表示微生物的增長率和營養(yǎng)的消耗率.

每種微生物都有成熟期，并且成熟的微生物才能產(chǎn)生新的生物群.完全忽略微生物成熟期時滯并不恰當.因此本文從微生物具有成熟期角度引入時滯.

(2)

本文主要以微生物的成熟期時滯為分支參數(shù)，研究系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定性和Hopf分支問題.

2 穩(wěn)定性和局部Hopf分支分析

令u1(t)=S(t)-S0，u2(t)=X(t)-X0，將系統(tǒng)(2)在平衡點E處線性化后得到線性系統(tǒng)如下：

(3)

其中:a=S0μ,b=D(a-D).且系統(tǒng)(3)的平衡點(0，0)對應系統(tǒng)(2)的平衡點(S0,X0).系統(tǒng)(3)的特征方程為

λ2+aλ+be-2λτ=0

(4)

為了研究系統(tǒng)(2)的平衡點E的穩(wěn)定性，我們只需要討論特征方程(2.2)的根的分布即可.若方程(4)的所有根都有負實部則平衡點E穩(wěn)定，若方程有一個根含有實部則平衡點E不穩(wěn)定.首先考慮時滯τ=0的情況，此時特征方程(4)轉化為：

λ2+aλ+b=0

(5)

假設

(H1)a>D.

很容易得出當且僅當(H1)，即S0μ>D即成立，特征方程(5)的所有根都有負實部，則線性系統(tǒng)(3)在平衡點(0，0)處局部漸近穩(wěn)定，因此系統(tǒng)(2)在平衡點E處局部漸近穩(wěn)定.接下來，觀察隨著時滯τ值的增大，特征方程(5)某些特征根的實部是否會增加至零，甚至變?yōu)檎?

當τ>0，假設λ=iω(ω>0)是特征方程(4)的一個解，當且僅當ω滿足

-ω2+aωi+b(cos2ωτ-isin2ωτ)=0

分離實部和虛部，得到

(6)

將上面兩等式左右兩邊平方相加的方程，其中v=ω2.

v2+a2v-b2=0.

(7)

證明：特征方程(4)對τ求導得出：

引理2 對于系統(tǒng)(2)，如果(H1)成立，當τ∈[0,τ0)時，正平衡點E是局部漸近穩(wěn)定的，且在τ=τk處正平衡點產(chǎn)生Hopf分支.

3 數(shù)值模擬

通過選擇適當?shù)膮?shù)并通過數(shù)值模擬驗證上述研究結果的可靠性，參數(shù)為D=2.44,S0=2.8，μ=2.12,δ=0.56，系統(tǒng)(2)代入數(shù)值轉化為如下：

(8)

平衡點為(1.150 94，0.923 472)，且滿足條件(H1)，也就是說當τ=0時，系統(tǒng)(8)的線性部分的特征方程的所有根都有負實部，即系統(tǒng)(8)在平衡點處漸近穩(wěn)定.通過軟件我們很容易得到ω≈1.398 73,τ0≈0.478 785也就是說系統(tǒng)(8)在τ∈[0,τ0)上漸近穩(wěn)定，當τ=τ0時系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支，即產(chǎn)生周琪解.如圖1，當τ=0.31∈[0,τ0)時，系統(tǒng)(8)在平衡點處漸近穩(wěn)定；如圖2，當τ=0.478 785=τ0時，系統(tǒng)(8)在平衡點附近產(chǎn)生穩(wěn)定的周期解；如圖3，當τ=0.512>τ0時，系統(tǒng)(8)在平衡點處不穩(wěn)定.數(shù)值模擬展示了系統(tǒng)從穩(wěn)定到不穩(wěn)定的復雜的變換過程.

圖1 τ=0.31τ0的相圖及時程圖

圖2 τ=0.478785=τ0的相圖及時程圖

圖3 τ=0.512>τ0的相圖及時程圖

4 結 語

本文的研究成果可以運用到現(xiàn)實生活中，針對不同的情況選取不同的參數(shù)，將參數(shù)直接代到本文的結論中可以得到τ0，從而檢測試驗.前面的論證對進一步研究做好了準備工作，還有許多未開發(fā)的理論需要進一步探索.我們還可以從不同的角度引入時滯，如從微生物對營養(yǎng)的存貯角度引入時滯，從細胞攝入營養(yǎng)的過程角度引入時滯[6]. 還可以在此模型的基礎上作進一步假設和引入，使其更符合實際，如放棄營養(yǎng)消耗率為常數(shù)的假設，引入更多的競爭者[7]，引入新的功能增長函數(shù)[8-9].

[1] SMITH H L, WALTMAN P. The theory of the chemostat [M]. London: Cambridge University Press, 1994.

[2] WEI J, YU C. Hopf bifurcation analysis in a model of oscillatory gene expression with delay [J]. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 2009, 139(4): 879-895.

[3] 魏章志, 張祖峰, 王良龍. 一類時滯系統(tǒng)的全局Hopf分之的存在性[J]. 合肥學院學報:自然科學版, 2007, 17(4): 4-8.

[4] 付桂芳, 馬萬彪. 由微分方程所描述的微生物連續(xù)培養(yǎng)動力系統(tǒng)(I)[J]. 微生物學通報, 2004, 31(5): 136-139.

[5] 張錦炎, 馮貝葉. 常微分方程幾何理論與分支問題[M]. 修訂版.北京: 北京大學出版社, 2000.

[6] 孫麗華, 修志龍, 馬永峰. 微生物連續(xù)培養(yǎng)過程中多態(tài)現(xiàn)象和振蕩行為分析[J].大連理工大學學報. 2001, 41(3): 300-304.

[7] 付桂芳, 馬萬彪. 由微分方程所描述的微生物連續(xù)培養(yǎng)動力系統(tǒng)(II) [J]. 微生物學通報, 2004, 31(6): 128-131.

[8] SONG Y, WEI J, HAN M. Local and global Hopf bifurcation in a delayed hematopoiesis [J]. Int.J. Bifur. Chaos, 2011, 14 (11): 3909-3919.

[9] 孫冬梅，黃東衛(wèi).一類捕食與被捕食模型的動力學穩(wěn)定性分析[J]. 哈爾濱商業(yè)大學學報：自然科學版，2016，32(6)：697-702，712.

Dynamic system for micro-organism in continuous culture with time delay

WANG Xiao-hong, ZHAI Yan-hui

(School of Science Tianjin Polytechnic University, Tianjin 300387, China)

The stability and Hopf bifurcation of model with time delay of micro-organisms continuous culture were studied. By applying the theory of Hopf bifurcation and functional differential equation method, the linear stability of the model and the local Hopf bifurcation was discussed. The numerical simulation shows the effectiveness of the conclusion.

micro-organisms continuous culture; time delay; stability; Hopf bifurcation

2016-03-22.

王曉紅(1990-)，女，碩士，研究方向：微分方程動力系統(tǒng).

O175

A

1672-0946(2017)02-0218-03