巧用韋恩圖拓展熱點(diǎn)奧數(shù)題及計(jì)算機(jī)仿真

孫足霞+蔡麗錦

【摘 要】本文運(yùn)用韋恩圖簡(jiǎn)明地解析網(wǎng)上最近流行的一道錯(cuò)了5年的奧數(shù)題（題目本身沒有問(wèn)題，給出的答案有問(wèn)題）。同時(shí)，我們對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了拓展， 韋恩圖的直觀性得到了進(jìn)一步的彰顯，我們的答案也得到了計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果的支持。

【關(guān)鍵詞】羅弋事件；韋恩圖；計(jì)算機(jī)仿真

0 引言

羅弋事件：2016年暑假期間，成都高新區(qū)西芯小學(xué)一名9歲男孩羅弋通過(guò)聯(lián)系生活實(shí)際，推翻了一道奧數(shù)題所謂的正確答案。而在求證的過(guò)程中，家長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)這道題不僅考倒了電子科大、同濟(jì)大學(xué)等高校的數(shù)學(xué)高材生，更是作為兩屆奧賽的考題出現(xiàn)，其錯(cuò)誤答案被出版社沿用5年無(wú)人察覺。

1 奧數(shù)原題

150盞亮著的電燈，各有一個(gè)拉線開關(guān)控制，按順序編號(hào)為1，2，3，…，150.將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下；再將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下，拉完后亮著的燈數(shù)為______盞。

圖1

圖1編號(hào)為1-150的數(shù)字中，3、5的倍數(shù)韋恩圖。左側(cè)的圓圈代表3的倍數(shù)，右側(cè)的圓圈代表5的倍數(shù)，公共部分代表既是3的倍數(shù)又5的倍數(shù)。

我們不妨來(lái)分析一下，這道題適用對(duì)象為小學(xué)三年級(jí)學(xué)生，可見難度不高，網(wǎng)上傳言一些電子科大、同濟(jì)大學(xué)等高校的數(shù)學(xué)高材生被考倒，我個(gè)人認(rèn)為有些夸大其辭，如果以上是事實(shí)，只能說(shuō)明他們沒有引起足夠的重視，不能說(shuō)明試題本身有難度。我在網(wǎng)上閱讀了一些小學(xué)課本，發(fā)現(xiàn)有些省份的小學(xué)教材出現(xiàn)了韋恩圖[1-4]，例如，教科版三年級(jí)上作業(yè)本上出現(xiàn)了韋恩圖匯編。我們將該題用韋恩圖畫出，如圖1所示，答案顯而易見150-40-20=90。理由很簡(jiǎn)單，左側(cè)的40盞燈泡和右側(cè)的20盞燈泡被各拉一次，因而熄滅。公共部分的10盞燈泡因?yàn)楸焕瓋纱?，不受影響正常發(fā)光。翻譯成小學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言為：

150-（150÷3-150÷3÷5）-（150÷5-150÷3÷5）=90

2 原題拓展

150盞亮著的電燈，各有一個(gè)拉線開關(guān)控制，按順序編號(hào)為1，2，3，…，150.先將編號(hào)為2的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下；再將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下；最后將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈的拉線各拉一下，拉完后亮著的燈數(shù)為______盞。

圖2

圖2 編號(hào)為1-150的數(shù)字中，2、3、 5的倍數(shù)韋恩圖。上側(cè)的圓圈代表2的倍數(shù)，左側(cè)的圓圈代表3的倍數(shù)，右側(cè)的圓圈代表5的倍數(shù)，上圓與左圓的公共部分代表既是2的倍數(shù)又3的倍數(shù)；上圓與右圓的公共部分代表既是2的倍數(shù)又5的倍數(shù)；左圓與右圓的公共部分代表既是3的倍數(shù)又5的倍數(shù)；三圓的公共部分代表2、3、 5的公倍數(shù)。

這道題雖然只增加了一遍拉線，但是難度對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，卻增加了幾倍。如果采用常規(guī)方法列式計(jì)算，很容易搞混，兩遍拉線有些人就迷糊了，三遍拉線可能就無(wú)所適從了。上面的韋恩圖給我們提供了新思路，我們將該題用韋恩圖畫出，如圖2所示，答案顯而易見150-40-20-10-5=75。理由很簡(jiǎn)單，上側(cè)的40盞、左側(cè)的20盞、右側(cè)的10盞、三圓的公共部分5盞分別被拉1、1、1、3次，因而熄滅，上圓與左圓的公共部分20盞、上圓與右圓的公共部分10盞、左圓與右圓的公共部分5盞（不含三圓的公共部分5盞）、因?yàn)楸桓骼瓋纱?，不受影響正常發(fā)光。翻譯成小學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言比較繁瑣，有興趣的讀者可以根據(jù)圖2自行寫出。

3 計(jì)算機(jī)仿真

上述結(jié)論是否正確有待檢驗(yàn)，我們給出了這道題的計(jì)算機(jī)仿真程序[5]和運(yùn)算結(jié)果。計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果證實(shí)了我們的答案。

附：仿真程序（C++ Program）

#include

#include

#include

#include

#define N 150

void main（）

{

int i， num；

int Light[N]；

for（i=0；i

for（i=0；i

{

if（（i+1）%2==0） Light[i]=（Light[i]+1）%2；

if（（i+1）%3==0） Light[i]=（Light[i]+1）%2；

if（（i+1）%5==0） Light[i]=（Light[i]+1）%2；

}

num=0；

for（i=0；i

{

if（Light[i]==1） num++；

}

cout<<"亮著的燈泡盞數(shù)一共為： "<

ofstream file1（"d：＼＼light.txt"，0x04，0）；

file1<<"亮著的燈泡盞數(shù)一共為： "<

cout<<"它們的編號(hào)依次為："；

file1<<"它們的編號(hào)依次為："；

file1.close（）；

for（i=0；i

{

if（Light[i]==1）

{

cout<

ofstream file1（"d：＼＼light.txt"，0x04，0）；

file1<

file1.close（）；

}

}

}

運(yùn)行結(jié)果如下：

亮著的燈泡盞數(shù)一共為：75

它們的編號(hào)依次為：1；6；7；10；11；12；13；15；17；18；19；20；23；24；29；31； 36；37；40；41；42；43；45；47；48；49；50；53；54；59；61；66；67；70；71；72；73；75；77；78；79；80；83；84；89；91；96；97；100；101；102；103；105；107；108；109；110；113；114；119；121；126；127；130；131；132；133；135；137；138；139；140；143；144；149；

4 結(jié)束語(yǔ)

羅弋事件帶給我們太多的啟示：成人在解此題時(shí)都會(huì)用到公倍數(shù)，羅弋沒有學(xué)過(guò)，只能用常識(shí)去解答，結(jié)果得到了正確的答案。成人受經(jīng)驗(yàn)的支配對(duì)此類問(wèn)題形成了思維定勢(shì)，沒有深究?？梢姅?shù)學(xué)起源生活，服務(wù)于生活。在課堂教學(xué)中，教者應(yīng)當(dāng)理論聯(lián)系實(shí)際，架起數(shù)學(xué)通往生活的橋梁[6]，這樣學(xué)生一定會(huì)熱愛數(shù)學(xué)、親近數(shù)學(xué)，自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)手段解決日常生活問(wèn)題。那么，在他們的眼里，數(shù)學(xué)將是一門實(shí)實(shí)在在的學(xué)科，不再是枯燥乏味的數(shù)字游戲。這樣，學(xué)生學(xué)起來(lái)自然感到親切、真實(shí)，這也有利于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光來(lái)審視周圍事物的興趣。知識(shí)不能永遠(yuǎn)禁錮在分?jǐn)?shù)、課本里，只有當(dāng)知識(shí)走出了課本、走出了試卷，它才會(huì)展現(xiàn)出真正的價(jià)值。

【參考文獻(xiàn)】

[1]程進(jìn)文.解決集合問(wèn)題的利器——韋恩圖與數(shù)軸[J].新高考：高一數(shù)學(xué)，2015（9）：36-37.

[2]高明生.利用韋恩圖巧解集合問(wèn)題[J].第二課堂（高中版），2006（10）：25-26.

[3]高慧明.“韋恩圖”在集合運(yùn)算中的妙用[J].數(shù)學(xué)通訊， 2004（9）：54-55.

[4]辜純健.韋恩圖在概率計(jì)算中的應(yīng)用[J].湖南生態(tài)科學(xué)學(xué)報(bào)，2004，10（4）：369-371.

[5]譚浩強(qiáng).C程序設(shè)計(jì)[M].四版.北京：清華大學(xué)出版社，2012.

[6]王英.架起數(shù)學(xué)與生活的橋梁[J].小學(xué)科學(xué)：教師版，2013（1）：76-76.

[責(zé)任編輯：田吉捷]