極限思想在物理解題中的妙用

趙揚君

摘 要：極限思想是物理解題中的一種十分重要的科學(xué)思想方法，通常是把某一個物理量推向極端，即極大極小或者極左極右，并依此做出科學(xué)的推理分析，從而給出判斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論的思想方法。在分析的過程中，沒有對復(fù)雜的物理過程進(jìn)行研究，從而大大簡化了問題。利用某些特殊的物理過程或現(xiàn)象的獨特作用，使得問題化難為易，化繁為簡，思路靈活，判斷準(zhǔn)確。本文對極限思想在高中物理解題中的應(yīng)用進(jìn)行了一定的研究，結(jié)合具體實例對極限思想的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的分析，對極限思想方法的概念進(jìn)行了簡單的界定，最后結(jié)合實例分析極限思想在具體應(yīng)用中的必要條件與不足。

關(guān)鍵詞：極限思想方法；極限狀態(tài)；極值；物理解題

一、引言

極限思想是數(shù)學(xué)的一種重要思想，是微積分和分析數(shù)學(xué)的基本概念之一，用于描述變量在某一變化過程中的變化趨勢。當(dāng)這種趨勢趨于某個值或者是某個微小過程時，我們可以近似地將這個量看成不變的量，這種處理問題的思想就可以稱之為極限思想。

物理學(xué)是自然科學(xué)和現(xiàn)代科技的基礎(chǔ)，而物理學(xué)發(fā)展的根基恰恰是數(shù)學(xué)，所以很多物理問題的解決方案和分析方法是數(shù)學(xué)方法和物理思想巧妙結(jié)合的產(chǎn)物。其中極限思想就是最為經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想之一，它的妙用能很好地解決多數(shù)物理問題。

物理中很多概念的引入就體現(xiàn)了極限思想，如瞬時速度、瞬時加速度、瞬時功率等，都是將時間間隔無限趨于零的狀態(tài)下進(jìn)行定義的。同樣，很多物理公式和定律的推導(dǎo)也常常體現(xiàn)出極限思想的運用。如高中所學(xué)的向心加速度的推導(dǎo)公式。其中在推導(dǎo)過程中分析了時間差趨近于零時，物體做向心運動速度的變化情況，從而得出向心力垂直于速度方向指向圓心，以及計算公式。

在應(yīng)用物理知識解決實際問題時總是要運用數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)推理，而且隨著處理問題的難度深入，數(shù)學(xué)知識與思想就應(yīng)用得愈多。在高中階段的一些物理競賽中，不乏出現(xiàn)這樣一類問題：問題所描述的物理背景為之熟悉，所涉及的物理知識并不復(fù)雜，所以在接觸問題之后能夠比較容易地找到解題思路。這種思路往往是比較容易想到的，但是相對來說解題過程比較繁瑣。如果競賽中選手不夠細(xì)心，在解題過程中數(shù)學(xué)工具運用不當(dāng)或計算失誤，導(dǎo)致最終的結(jié)果錯誤而前功盡棄。即使能夠正確得出問題的答案，往往耗時也是比較長的。然而這類問題，運用極限思想能夠更快更準(zhǔn)確地得到答案，達(dá)到事半功倍的效果。在更為深入的科學(xué)研究中亦是如此。所以極限思想對開拓學(xué)生的思維以及提升解題能力是至關(guān)重要的。恰當(dāng)應(yīng)用極限法，往往在解題中另辟蹊徑。從教學(xué)的角度來說，不能僅僅把極限法局限成一種解題的工具，而應(yīng)把極限法作為一種學(xué)習(xí)物理知識，分析研究物理問題乃至其他科學(xué)領(lǐng)域的科學(xué)思想方法。

應(yīng)用極限思想的解題方法，相對而言是比較不容易地想到的。所以極限思想是解題能力的一種體現(xiàn)，培養(yǎng)極限思想十分重要。滲透對學(xué)生極限思想方法的教育，可以幫助學(xué)生更清晰地看到隱藏在物理現(xiàn)象背后的物理實質(zhì)，更加深刻地理解物理規(guī)律。

二、極限思想在中學(xué)物理中的應(yīng)用

1.極限思想在簡單選擇題中的應(yīng)用

在高中階段，極限思想在選擇題的應(yīng)用尤為常見。對于這類試題，由于答案本身就在選項之中，所以可以結(jié)合選項加以分析。這類問題通?？梢詫⒛硞€物理量（在有效范圍內(nèi)）推向極端值，即極大、極小或者極左、極右。當(dāng)這個物理量被推向極限后，變化的物理過程會處于某一特殊的狀態(tài)，對此類特殊狀態(tài)做出科學(xué)的推理分析，從而判斷或?qū)С鼋Y(jié)論。

例1：（2014課標(biāo)全國卷l·17·6分）如圖1所示，用橡皮筋將一小球懸掛在小車的架子上，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。現(xiàn)使小車從靜止開始向左加速，加速度從零開始逐漸增大到某一值，然后保持此值，小球穩(wěn)定的偏離豎直方向某一角度（橡皮筋在彈性限度內(nèi)）。與穩(wěn)定在豎直位置時相比，小球高度（ ）。

（1）一般性解法

設(shè)橡皮筋的原長為，開始時系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，小球受到的合力為零，橡皮筋處于豎直方向，橡皮筋懸點O距小球高度為 ；當(dāng)小車向左加速穩(wěn)定時，橡皮筋和豎直方向夾角設(shè)為θ，則有，橡皮筋長度為 ，可得橡皮筋懸點O距小球的高度變?yōu)?，所以小球高度升高，選擇A項，其余B、C、D三項錯誤。故答案選A。

（2）極限分析法妙解

在這個問題中，面對這樣的物理場景，一般來說有兩個畫面是容易想到的：一是小球的運動軌跡是在一個圓周上的；二是小球的運動軌跡是一條直線，即小球始終保持圓周狀態(tài)。這是兩個特殊的物理狀態(tài)，我們可以去研究何時會出現(xiàn)這樣的狀態(tài)。先假想橡皮筋的筋度系數(shù)k無限大，即橡皮筋變成了細(xì)線，不會發(fā)生彈性形變，小球運動軌跡在一個圓周上，出現(xiàn)了之前所說的畫面一；小球升高，迅速否定B、C選項。再假想橡皮筋的初始長度為零，即系統(tǒng)初始狀態(tài)下橡皮筋的長度為伸長量；此時橡皮筋的長度可以完全等同于力的大小，為拉力與重力保證合力水平，則小球處于水平，狀態(tài)與皮筋的勁度系數(shù)無關(guān)，排除D選項。

例2：（2011江蘇卷·1·3分）如圖2所示，石拱橋的正中央有一質(zhì)量為m的對稱楔形石塊，側(cè)面與豎直方向的夾角為α，重力加速度為g，若接觸面間的摩擦力忽略不計，楔形石塊側(cè)面所受彈力的大小為（ ）。

（1）一般性解法

對m楔形石塊進(jìn)行受力分析，如圖3所示，根據(jù)平衡條件和力的合成分解法，計算得出正確答案選A。

（2）極限分析法妙解

取側(cè)面與豎直方向的夾角α趨近于零時，彈力就會趨近于無限大；同樣我們把夾角α為零代入題中四個選項中，A、D兩項符合要求，B、C兩項答案不是無限大，能夠迅速排除B、C兩項，命中率瞬間提高50%。再取側(cè)面與豎直方向的夾角為α=900時，m楔形石塊受到的三個力均豎直，易知彈力；再把α=900代入題中四個選項中，只有A正確，故答案選A。

如例題所示，運用極限分析法，極限化一個物理變量，能夠得到特殊的物理狀態(tài)下的值，根據(jù)此值可以很輕易地推導(dǎo)出答案。特別是在例2這類選擇題中，運用極限分析法即使不能得到具體的公式或者值，但是結(jié)合選項分析能夠迅速得出正確選項，通常用來迅速驗證答案的正確性。可以看出，極限分析法簡化了問題，是一種直觀、快捷、高效的科學(xué)方法。

2.極限思想在物理極值求解中的應(yīng)用

高中物理中的求極值問題也頗為常見，是一類融合物理和數(shù)學(xué)知識于一體的經(jīng)典問題。在物理狀態(tài)發(fā)生變化的過程中，某一個物理量的變化函數(shù)可能不是單調(diào)的，它可能有最大值或者最小值，找到極限值對應(yīng)的極限狀態(tài)是關(guān)鍵。這類問題綜合性強，技巧性高，難度較大。

例3：如圖4所示，一質(zhì)量為m的人，從長為l、質(zhì)量為M的鐵板的一端勻加速跑向另一端，并在另一端驟然停止。鐵板和水平面間摩擦因數(shù)為μ，人和鐵板之間的摩擦因數(shù)μ，且μ>μ。這樣，人能使鐵板朝其跑動方向的最大距離L是多少？

解析：人驟然停止奔跑后，其原有動量轉(zhuǎn)化為與鐵板一起向前沖的動量，此后，地面對載人鐵板的阻力是地面對鐵板的摩擦力f，其加速度 。由于鐵板移動距離，故v'越大，L越大。v'是人與鐵板一起開始運動的速度，因此人應(yīng)該以不會引起鐵板運動的最大加速度奔跑。

人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動時，若達(dá)到最大加速度，則地面與鐵板之間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦，根據(jù)牛頓第二定律得：F=ma2

所以：

對于這類極值求解的問題，找到極值對應(yīng)的特殊物理狀態(tài)是關(guān)鍵。在復(fù)雜多變的物理解題過程中，對某一兩個極限狀態(tài)進(jìn)行分析是十分重要的。對于例3，經(jīng)過分析得出“人應(yīng)該以不會引起鐵板運動的最大加速度奔跑”這一結(jié)論是至關(guān)重要的，明白了這一點，之后的問題將迎刃而解。

三、極限思想適用性的思考

極限思想的妙用往往能大大簡化問題，但是也會存在應(yīng)用不恰當(dāng)?shù)臅r候。極限思想方法需要一個范圍內(nèi)的變化規(guī)律來代表另一范圍內(nèi)的變化規(guī)律，首先要求所研究的因變量隨著自變量的變化規(guī)律在各自區(qū)間內(nèi)保持單調(diào)。

如在例1中，橡皮筋的伸長量和受到的力為一次函數(shù)關(guān)系，故因變量在自變量的變化區(qū)間內(nèi)保持單調(diào)。所以極限思想是適用的。假設(shè)橡皮筋伸長量與拉力成二次函數(shù)關(guān)系，即因變量不隨自變量單調(diào)，則在整個變化過程中存在極值，卻又不是臨界狀態(tài)，用之前的極限思想就會出現(xiàn)錯誤。

又如在例3中，若將木板與地面的摩擦視為零，則這個系統(tǒng)是內(nèi)力作用，由動量守恒定律可得，當(dāng)人跑到木板另一端停止時，木板也會停止，能使木板與人整體運動的動量來源于外界的沖量，即地面摩擦力對系統(tǒng)的沖量。在出現(xiàn)木板滑動的情況下地面滑動摩擦力是恒定的，由ft=mv，要使整體系統(tǒng)的動量最大，則人相對木板運動的時間要盡可能大，即人對木板的作用力剛好能使木板不運動。在木板不運動的前提下，人應(yīng)該要盡可能速度最大。綜上才得出“人應(yīng)該以不會引起鐵板運動的最大加速度奔跑”的結(jié)論。而得出這一關(guān)鍵結(jié)論的前提，就是因變量V隨自變量在兩種情況下均有單調(diào)性。

四、結(jié)束語

新版人教版的高中物理教材對于極限思想方法在各個板塊中均有滲透，足以體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)對于這一科學(xué)思想的重視。本文主要從中學(xué)物理解題的角度對極限思想方法進(jìn)行了初步的探討與研究：第一，對于極限思想的特點從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行了簡單的概括說明，同時對具體的使用方法也進(jìn)行了一定程度的概括；第二，從物理角度結(jié)合具體物理實例問題進(jìn)行了詳細(xì)分析說明，并從不同類型的物理試題中總結(jié)出極限思想的用法與優(yōu)勢；第三，對極限思想使用的必要因素結(jié)合實例進(jìn)行了分析說明。

極限思想作為一種研究物理問題的方法，能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，利用所掌握的物理知識不斷探究問題的本質(zhì)，不僅能夠幫助學(xué)生高效解題，更是對學(xué)生空間想象能力、邏輯判斷能力的提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]李蔭楠，鄭傳慶.探究高中物理競賽極值問題及極限思想[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2011（9）.

[2]吳強，王曉輝.微元法在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用[J].教育實踐與研究（B），2012（12）.

[3]姜軍軍.極限思想方法在中學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].蘇州：蘇州大學(xué)，2015.

[4]項紅專.物理學(xué)思想方法研究[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2004.

[5]吳敏.極限法在分析臨界問題中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)研版），2011（12）.