關(guān)于近世代數(shù)的幾點教學(xué)體會

武利猛++張娟++鄭國萍++楊曉靜

摘要：近世代數(shù)是大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)必修課，主要講授群、環(huán)、域的基本概念和相關(guān)理論。作為高等代數(shù)的后繼課程，在很大程度上依賴于高等代數(shù)的基礎(chǔ)理論和邏輯思維能力，卻又比高等代數(shù)理論抽象得多。作者根據(jù)自身教學(xué)經(jīng)驗從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段三方面進(jìn)行了論述。

關(guān)鍵詞：近世代數(shù)；群；環(huán)；域

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）16-0205-02

近世代數(shù)是我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)必修課，該課程概念眾多，理論知識多以證明為主，具有高度的抽象性，對于集體授課而言，學(xué)生很難掌握。近些年來，國內(nèi)眾多研究者開始運用近世代數(shù)的理論知識來解決科學(xué)研究問題，這些愈來愈突發(fā)出近世代數(shù)這門課程的重要性。因此，對于高等學(xué)校講授近世代數(shù)這門課程的教師而言，更加需認(rèn)真思考如何更好地講授這門課程。

一、教學(xué)內(nèi)容

在我校，近世代數(shù)作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)必修課，安排在第二學(xué)期開設(shè)，共54學(xué)時，參考教材是楊子胥編寫的《近世代數(shù)》。為了讓學(xué)生更多地了解近世代數(shù)這門課程，同時又不對其缺乏興趣，我校對近世代數(shù)這門課程作如下安排：

第一章：基本概念，分配8學(xué)時；第二章：群，分配16學(xué)時，其中群在集合上的作用因課時關(guān)系不講；第三章：正規(guī)子群和群的同態(tài)、同構(gòu)，分配8學(xué)時，其中群的同構(gòu)定理和Sylow定理因課時關(guān)系不講，留給學(xué)生自行閱讀。第四章：環(huán)與域，分配18學(xué)時，其中非交換環(huán)因課時關(guān)系，僅留學(xué)生課后閱讀；第五章：唯一分解整環(huán)，分配4學(xué)時，其中歐氏環(huán)、唯一分解整環(huán)的多項式擴張因課時關(guān)系不講。

在教學(xué)內(nèi)容上，注重與高等代數(shù)知識的關(guān)聯(lián)性。如講授唯一分解多項式時，可以認(rèn)為高等代數(shù)中講授的不可約多項式是本門課中的一個特例，也可以認(rèn)為近世代數(shù)所給的結(jié)論是高等代數(shù)所給結(jié)論的推廣。

二、教學(xué)與教學(xué)手段

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，多媒體技術(shù)已不斷走進(jìn)課堂。近世代數(shù)作為一門數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)課程，很多教師在講授時會利用傳統(tǒng)的教法，即板書去教學(xué)。我校在講授近世代數(shù)時是利用投影儀、PPT以及板書相結(jié)合的形式教學(xué)的。這樣在教學(xué)中會有很多的好處：第一，省去了大量寫定義和定理內(nèi)容的時間；第二，如果需要講授名人傳記或者顯示彼此關(guān)系時，PPT會更加直觀；第三，對于人數(shù)較多的大班集體授課時，PPT顯示會更加清晰，使得講解更加生動，從而提高課堂效果和學(xué)生對課堂內(nèi)容的理解。

個人認(rèn)為，學(xué)好一門課程，最好的動力就是興趣。然而并不是所有數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生都對數(shù)學(xué)感興趣，而且我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生大多是調(diào)劑而來的，他們并非都喜歡數(shù)學(xué)。因此培養(yǎng)學(xué)生對近世代數(shù)這門課程的興趣就尤為重要。在講授第一章基本概念時，教師會運用更多生活中的實例來講解概念；在講授第二章群時，教師會首先給學(xué)生講兩位數(shù)學(xué)家，一位是N.H.Abel，一位是E.Galois。大概會利用十分鐘的時間來講一講兩位數(shù)學(xué)家的傳奇人生，這雖然占據(jù)了一定的課堂時間，但是會引起學(xué)生們的興趣，想知道什么是群，取得事半功倍的效果。在講授Cayley定理時，教師會講一講關(guān)于A.Cayley的數(shù)學(xué)工作，這樣學(xué)生不但記住了A.Cayley定理，更激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動力。

近世代數(shù)關(guān)于定義和定理的證明特別多，我校關(guān)于近世代數(shù)授課只有54學(xué)時，而且隨著學(xué)校發(fā)展的轉(zhuǎn)型，近世代數(shù)課程會減為48學(xué)時。因課時有限，不可能全部定義和定理都講，教師會選取合適難度的定義和定理給學(xué)生講解。在講授定義和定理證明時，教師會把主要結(jié)果顯示在PPT中，而定理證明的過程全部用板書的形式演示。通過幾年的觀察發(fā)現(xiàn)把主要結(jié)果顯示在PPT中，教師用板書把定理的證明逐步逐條地演示出來效果非常好，因為學(xué)生會一直清楚自己在證明什么結(jié)果，這樣能夠時刻吸引學(xué)生的注意力，有利于學(xué)生對知識的掌握。同時在講授定義和定理結(jié)束后，教師會盡可能的找一些具體例子驗證結(jié)果的成立性。如講授群的定義后會直接驗證整數(shù)集合關(guān)于普通加法作成一個群，同時指出0是左單位元是固定的元素，任意元素a的左逆元為-a，會隨著a的變化而變化。講授正規(guī)子群后會直接驗證：由5的倍數(shù)的全體集合作成整數(shù)加群的正規(guī)子群，同時讓學(xué)生寫出兩者所生成的商群；關(guān)于商群，大家通過概念知道是群G關(guān)于正規(guī)子群N的互異陪集的集合，但真正去寫出商群，對于初學(xué)者還是很困難的，因此教師會教給學(xué)生如何去寫。

在講授近世代數(shù)過程中，有很多定理、推論的地方書中都沒有給予證明，教師會對其中重要的理論在課上給予證明，而其他學(xué)生感興趣的理論教師會在自習(xí)課上講解。教師會在教學(xué)中讓學(xué)生思考：如果命題中少了一個條件，結(jié)論還會成立嗎？讓學(xué)生學(xué)會舉一反三。如在講解群的定義時會讓學(xué)生思考：如果把定義中的左單位元改成右單位元，其他條件不變還和原定義等價嗎？以及把定義中左單位元改成右單位元，其他條件不變還和原定義等價嗎？課上會用例子告訴學(xué)生這是不可以的。

每節(jié)課，教師都會給學(xué)生布置一定量的作業(yè)，下一節(jié)課會指定學(xué)生來講，這樣學(xué)生會對相關(guān)問題了解得更加透徹。因為只有學(xué)生親自計算過，證明過，演示過，才能掌握。只聽不做、只看不想是無法學(xué)好數(shù)學(xué)的。做一定量的作業(yè)不但讓學(xué)生加深了印象，而且有助于師范生掌握教學(xué)技巧，得到一定的鍛煉。

隨著學(xué)校向應(yīng)用型大學(xué)轉(zhuǎn)型，近世代數(shù)課程也需要在教學(xué)內(nèi)容、教材和教法上作出改變。通過調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)近世代數(shù)中的理論在很多實際問題中如數(shù)字通信的可靠性和保密性問題中都有廣泛的應(yīng)用。因此借助于學(xué)校轉(zhuǎn)型的機遇，教師會思考如何將近世代數(shù)課程轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)用型課程。

三、結(jié)束語

近世代數(shù)是一門十分抽象的數(shù)學(xué)課程，如何讓學(xué)生熱愛近世代數(shù)，喜歡學(xué)習(xí)近世代數(shù)，是每一位老師都應(yīng)該認(rèn)真思考的永恒課題?？傊?，講好一門課需要每一位教師不斷地去思考，不斷地去實踐和總結(jié)。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊子胥.近世代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1978.

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