基于非局部應(yīng)變梯度歐拉梁模型的充流單壁碳納米管波動(dòng)分析

余 陽， 楊 洋

(昆明理工大學(xué) 工程力學(xué)系， 昆明 650500)

基于非局部應(yīng)變梯度歐拉梁模型的充流單壁碳納米管波動(dòng)分析

余 陽， 楊 洋

(昆明理工大學(xué) 工程力學(xué)系， 昆明 650500)

將非局部彈性理論和應(yīng)變梯度理論結(jié)合，再根據(jù)流體滑移邊界理論，建立了考慮流體和固體小尺度效應(yīng)的充流單壁碳納米管(SWCNT)流固耦合動(dòng)力學(xué)模型，分別以非局部應(yīng)力效應(yīng)、應(yīng)變梯度效應(yīng)和流體滑移邊界效應(yīng)模擬微觀小尺度效應(yīng)對系統(tǒng)的影響，推導(dǎo)得出充流單壁碳納米管的Euler-Bernoulli梁波動(dòng)控制方程。通過對控制方程的求解，分析材料不同類型尺度效應(yīng)對充流碳納米管的振動(dòng)和波動(dòng)特性影響。結(jié)果顯示，應(yīng)變梯度效應(yīng)和流體邊界效應(yīng)對低頻波動(dòng)起促進(jìn)作用，對高頻波動(dòng)起阻尼作用，應(yīng)力非局部效應(yīng)則對波動(dòng)始終產(chǎn)生阻尼作用。三種尺度效應(yīng)對低流速系統(tǒng)的振動(dòng)有促進(jìn)作用，而對高流速系統(tǒng)產(chǎn)生阻尼作用。

非局部應(yīng)力； 應(yīng)變梯度; 碳納米管; 流體邊界效應(yīng); Euler-Bernoulli梁; 振動(dòng)特性

碳納米管在20世紀(jì)90年代早期被發(fā)現(xiàn)后[1]，就憑借其優(yōu)越的力、熱、光、電及化學(xué)特性，成為了科技領(lǐng)域最受關(guān)注的功能材料之一[2-5]。在碳納米管各項(xiàng)性能研究中，充流碳納米管的動(dòng)力學(xué)特性，是直接影響碳納米管工程應(yīng)用的主要性能之一，有關(guān)這方面的研究和報(bào)道層出不窮。研究充流碳納米管力學(xué)性能的方法很多，主要分為實(shí)驗(yàn)手段和數(shù)值模擬方法兩大類。實(shí)驗(yàn)手段由于在實(shí)際操作和精度控制方面有很大困難，應(yīng)用受到限制。因此關(guān)于充流碳納米管動(dòng)力學(xué)特性的理論計(jì)算方法，成為了該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。基于這樣的背景，發(fā)展出很多基于材料科學(xué)和力學(xué)理論的模型與分析手段。

在這些理論模擬方法中，分子動(dòng)力學(xué)模擬，是可信度和公認(rèn)度較高的方法。KRISHNA等[6]用分子動(dòng)力學(xué)模擬了單壁碳納米管內(nèi)水分子的物理行為；CUI等[7]通過分子動(dòng)力學(xué)模擬研究了納觀尺度的焊接；WANG等[8]也通過分子動(dòng)力學(xué)模擬研究了充流碳納米管表面的結(jié)構(gòu)和熱力學(xué)性能。

然而，分子動(dòng)力學(xué)模擬由于需要考慮體系中每一個(gè)分子或原子和相鄰粒子的作用勢，這使得計(jì)算過程復(fù)雜而冗長，在時(shí)間和空間上都受到很大限制[9-10]。為了克服分子動(dòng)力學(xué)模擬的不足，充流碳納米管流固耦合系統(tǒng)的經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)模型已經(jīng)被大量應(yīng)用。YAN等[11-14]在經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)模型的基礎(chǔ)上，研究了多壁碳納米管的穩(wěn)定性以及動(dòng)力學(xué)特性；YOON等[15]也同樣應(yīng)用經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)模型，研究了充流的懸臂碳納米管的振動(dòng)特性以及穩(wěn)定性。

然而，經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)模型無法模擬碳納米管在微納觀環(huán)境下的小尺度效應(yīng)，這些尺度效應(yīng)包括靜電引力、表面效應(yīng)、分子間長程作用力等，這些尺度效應(yīng)對材料力學(xué)特性的影響很大，不能忽略，這也就制約了連續(xù)介質(zhì)模型的應(yīng)用[16]。

發(fā)展適用于模擬碳納米管尺度效應(yīng)的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型，使其同時(shí)具有經(jīng)典力學(xué)模型計(jì)算簡單有效的特點(diǎn)，是相關(guān)學(xué)者目前普遍采用的方法。其中一個(gè)典型的模型便是ERINGEN的非局部連續(xù)介質(zhì)彈性模型。該模型既可以模擬微觀尺度效應(yīng)對納米結(jié)構(gòu)體的影響，又有著計(jì)算簡潔有效的特點(diǎn)。以非局部應(yīng)力場模型模擬充流碳納米管力學(xué)特性的研究報(bào)道屢見不鮮，比較典型的研究成果主要有：BAHAADINI等[17]使用非局部Euler-Bernoulli梁理論建立充流碳納米管自由振動(dòng)控制方程，研究了基于非局部彈性和滑移條件的黏彈性懸臂充流碳納米管的自由振動(dòng)和顫振穩(wěn)定性；ZHEN等[18]基于非局部彈性理論和Euler-Bernoulli梁理論，應(yīng)用了多維的Lindstedt-Poincaré方法，研究了單壁充流碳納米管的非線性振動(dòng)；ZEIGHAMPOUR等[19]應(yīng)用了Donnell殼模型和修正的雙剪理論，研究了雙壁充流碳納米管的振動(dòng)及穩(wěn)定性；DENG等[20]應(yīng)用了非局部彈性Flugge殼模型研究了充流多壁碳納米管的振動(dòng)特征；FILIZ等[21]將碳納米管模擬成功能梯度梁，研究了充流的嵌入式碳納米管波的振動(dòng)；LI等[22]基于非局部應(yīng)力場梯度理論和Kelvin-Voigt黏彈性模型，推導(dǎo)出了黏彈性充流單壁碳納米管波振動(dòng)的控制方程；ALI-ASGARI等[23]基于非局部理論和von Karman拉伸的耦合，研究了充流碳納米管的固有頻率和非線性響應(yīng)。除此之外，相關(guān)報(bào)道還有很多。

雖然ERINGEN的非局部連續(xù)介質(zhì)理論在充流碳納米管的力學(xué)分析中應(yīng)用很廣，但是模型的準(zhǔn)確性與合理性在研究高頻波的方面不盡如人意[24]，且非局部彈性模型模擬顯示碳納米管剛度會(huì)隨尺度效應(yīng)增加而降低。這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果和應(yīng)變梯度理論模擬的結(jié)果相反[ 25-28]。

由于尺度效應(yīng)對碳納米管的應(yīng)力和應(yīng)變都有影響，非局部理論僅從應(yīng)力角度分析尺度效應(yīng)是不夠的。AIFANTIS提出以應(yīng)變梯度彈性理論分析尺度效應(yīng)對材料應(yīng)變的影響，可以準(zhǔn)確模擬材料的應(yīng)變尺度效應(yīng)。而CHEN等[29]以應(yīng)變梯度理論計(jì)算的分子間力與分子動(dòng)力學(xué)模擬結(jié)果吻合很好。由此可見，為了能夠模擬兩種尺度效應(yīng)對充流碳納米管流固耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性影響，需將兩種理論結(jié)合建模。CHALLAMEL[30]運(yùn)用了應(yīng)變梯度彈性模型和ERINGEN的非局部彈性模型，討論了小尺度效應(yīng)在振動(dòng)分析中的主要特性，SONG等[31-32]結(jié)合非局部彈性模型和應(yīng)變梯度模型，研究了納米結(jié)構(gòu)在初始軸向應(yīng)力作用下波動(dòng)的離散關(guān)系以及碳納米管在自由空間和固定在彈性介質(zhì)中橫向波的特性。 LIM等[33]將高階非局部彈性理論和應(yīng)變梯度理論結(jié)合建模，得到了分析碳納米管波動(dòng)特性的梁模型控制方程和邊界條件，并以此討論了尺度效應(yīng)對梁模型各項(xiàng)波動(dòng)參數(shù)的影響規(guī)律。LI等[34-36]在結(jié)合非局部理論和應(yīng)變梯度理論的基礎(chǔ)上，分析了功能梯度梁結(jié)構(gòu)的屈曲、波傳導(dǎo)行為，以及在磁場中材料表面效應(yīng)對波傳導(dǎo)的影響規(guī)律。除此以外，對于微觀流固耦合系統(tǒng)的力學(xué)特性分析，以及流體受到的尺度效應(yīng)的研究，還鮮有報(bào)到?？紤]到微納觀流體的性質(zhì)對材料科學(xué)的發(fā)展至關(guān)重要，研究分析流體的尺度效應(yīng)將有重要意義。

本文將應(yīng)用LIM的“非局部應(yīng)力與應(yīng)變梯度耦合本構(gòu)關(guān)系式”分析微觀環(huán)境中碳納米管的應(yīng)力/應(yīng)變關(guān)系，同時(shí)以流體邊界滑移理論分析管腔內(nèi)流體的尺度效應(yīng)，根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論建立充流碳納米管流固耦合動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)系統(tǒng)的波動(dòng)控制方程。通過對控制方程求解，分析該系統(tǒng)的自由振動(dòng)和波動(dòng)特性，分別探索流體和固體材料的尺度效應(yīng)對系統(tǒng)各項(xiàng)動(dòng)力特性的影響規(guī)律。

1 充流單壁碳納米管流固耦合動(dòng)力學(xué)模型

將單壁碳納米管置于三維笛卡爾坐標(biāo)系中，管腔內(nèi)部充滿流體并勻速流動(dòng)，流速為U，如圖1所示。圖中L和w分別為管長和橫向撓度，x和y分別為軸向和橫向坐標(biāo)。

圖1 充流單壁碳納米管

根據(jù)LIM的研究結(jié)果，非局部彈性應(yīng)力本構(gòu)和應(yīng)變梯度本構(gòu)經(jīng)耦合后，得到新型碳納米管應(yīng)力/應(yīng)變本構(gòu)方程為

(1)

(2)

對于一維Euler-Bernoulli梁模型，如果僅僅考慮x方向上的正應(yīng)力與正應(yīng)變，那么式(2)可進(jìn)一步簡化為

(3)

式中:σ(x)，ε(x)分別代表應(yīng)力和應(yīng)變函數(shù)。

在SWCNT梁橫截面Ac上的彎矩為

(4)

Euler梁理論中應(yīng)變與撓度的關(guān)系式為

(5)

將式(3)兩邊積分，并將式(4)和(5)代入式(3),可得：

(6)

式中:I=∫y2dAc，為橫截面慣性矩。對式(6)所示偏微分方程中的彎矩M求解，可得：

(7)

(8)

式中:ρf，ρc分別為流體與碳納米管的密度;Af，Ac分別為流體和碳納米管所占的橫截面面積;U為管腔內(nèi)流體的流速。

根據(jù)流體邊界理論，在微納米尺度下，流體處于滑移區(qū)域，其流速在管壁處受到小尺度效應(yīng)影響而變化[38]。RASHIDI等[39]將受到尺度效應(yīng)影響的流速與正常流速U的關(guān)系式簡化為

(9)

式中:Uslip為流體受到尺度效應(yīng)影響的流速;ξv為徑向彎矩調(diào)節(jié)系數(shù);VCF為Uslip和U的比值;Kn為Knudsen數(shù)，其取值表示小尺度效應(yīng)對流體流速的影響程度;a是式(9)中的一個(gè)系數(shù)，a的取值為

(10)

式中:b為一般滑移系數(shù)，可取為-1。

由式(9)和(10)可見，Kn值可以定量模擬流體邊界效應(yīng)對流速的影響，該結(jié)論已在相關(guān)文獻(xiàn)中得到證實(shí)和應(yīng)用[39-41]。將式(7)和(9)代入控制式(8)中，得到考慮流體邊界條件和固體尺度效應(yīng)的充流碳納米管自由振動(dòng)控制方程：

改進(jìn)后的彈力繃帶小手套和普通彈力繃帶小手套應(yīng)用方式基本相同,除了不同類型的繃帶小手套有不同的拆除和固定方式外,改進(jìn)后的彈力繃帶小手套最大的特點(diǎn)是能夠?qū)⒅c(diǎn)固定在患兒的大拇指部位,這樣即使是患兒移動(dòng)腕關(guān)節(jié)和手指關(guān)節(jié),也不會(huì)輕易出現(xiàn)留置針移動(dòng)、脫落、卷邊等現(xiàn)象。此外,護(hù)理人員也加強(qiáng)了對患兒的巡視和檢查,并觀察患兒固定位置皮膚是否出現(xiàn)了異樣情況。

(11)

將式(7)代入經(jīng)典充流Euler梁模型的三種邊界條件，可得充流碳納米管邊界條件為

簡支邊界條件：

(12a)

(12b)

固定邊界：

固定邊界的自然邊界條件為

(13a)

(13b)

自由邊界：

自由邊界的自然邊界條件為

(14a)

(14b)

考慮到式(7)，且在微觀環(huán)境中ea≠0，進(jìn)一步整理后可得：

簡支邊界條件：

(15)

固定邊界：

(16)

自由邊界：

(17)

忽略式(11)中高階項(xiàng)ο((ea)4)，控制方程簡化為

(18)

通過對式(18)求解，可對充流碳納米管流固耦合系統(tǒng)各項(xiàng)動(dòng)力特性進(jìn)行分析。

2 波動(dòng)分析

由于碳納米管自由振動(dòng)可簡化為簡諧波動(dòng)，于是將式(18)的解定義為

(19)

式中:k為波數(shù);ω為波動(dòng)角頻率;W為振幅。將式(19)代入式(18)得

-(ρfAf+ρcAc)ω2+2ρfAfU(VCF)ωk-ρfAfU2(VCF)2k2-EI(ea)2k6+EIk4-EIl2(ea)2k8+EIl2k6=0

(20)

式(20)為關(guān)于ω的一元二次方程，其解為

(21)

而在式(21)中

(22)

很顯然，角頻率的值取決于波數(shù)k，流速U，非局部參數(shù)ea， Knudsen數(shù)Kn還有應(yīng)變梯度參數(shù)l。如果Δ<0，那么角頻率的值就將是一個(gè)復(fù)數(shù)，在這種情況下，可以將角頻率值的實(shí)部和虛部表示為

(23)

(24)

3 結(jié)果與討論

碳納米管的動(dòng)力學(xué)特性(角頻率ω)受波數(shù)k，流速U，非局部參數(shù)ea， Knudsen數(shù)Kn還有應(yīng)變尺度參數(shù)l的共同影響，具體變化規(guī)律可由式(21)～(24)定量分析。分析計(jì)算時(shí)，取碳納米管的幾何尺寸和材料的常數(shù)為[42]：E=1 TPa，Af=3×10-19m2，Ac=3.63×10-19m2，I=1.78×10-38m-4，ρf=1×103kg/m3，ρc=2.27×103kg/m3。

圖2所示為非局部尺度參數(shù)ea取0.05 nm、0.1 nm和0.2 nm時(shí)，波數(shù)k與頻率之間的變化關(guān)系。從圖2可以看出，不論當(dāng)ea取何值，頻率的變化趨勢相同，即頻率先隨波數(shù)升高而增大，但當(dāng)波數(shù)達(dá)到某一臨界值時(shí)，頻率急劇下降，表現(xiàn)出很強(qiáng)的波動(dòng)阻尼效應(yīng)。該臨界波數(shù)的大小則隨ea的不同而不同。如圖2所示，當(dāng)ea取0.2 nm、0.1 nm和0.05 nm時(shí)，臨界波數(shù)kc的取值分別為： 4.3×109m-1、8.5×109m-1和17.5×109m-1。進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，臨界波數(shù)和相應(yīng)的ea取值之間的乘積相同，即ea×kc=常數(shù)。分析原因，主要是因?yàn)橐痤l率降低的因素是當(dāng)波數(shù)較大，波長較短時(shí)，非局部效應(yīng)的影響區(qū)域超過了一個(gè)波長范圍，即1/kc>ea，能量在傳遞了一個(gè)周期后，仍然沒有出非局部區(qū)域，從而使得繼續(xù)傳遞受阻，振動(dòng)衰減明顯[42-44]。而隨著ea的增加，非局部區(qū)域范圍擴(kuò)大，要在一個(gè)波長范圍內(nèi)超出非局部區(qū)域，則需要波長增加，波數(shù)降低。當(dāng)波長較大時(shí)，能量在傳遞一個(gè)周期后，已出非局部區(qū)域，相應(yīng)的衰減效應(yīng)不再出現(xiàn)，而剛度增加效應(yīng)得以體現(xiàn)，所以出現(xiàn)了低波數(shù)區(qū)頻率增加的現(xiàn)象。類似的結(jié)論在內(nèi)部無流體的碳納米管振動(dòng)時(shí)也得到證實(shí)，證明在波長較大時(shí)，隨著非局部尺度參數(shù)ea的升高，碳納米管的剛度是增加的。

(a) 整體圖

(b) 局部圖

圖3顯示的是在波數(shù)取k=1×109m-1，ea取值不同時(shí)，SWCNT管腔內(nèi)流體流速與SWCNT自由波動(dòng)頻率實(shí)部之間的變化關(guān)系。首先，由圖3可以看出在相同的流速下，隨納觀尺度參數(shù)ea逐漸變大，碳納米管波動(dòng)頻率會(huì)有變小的趨勢，說明當(dāng)非局部尺度效應(yīng)增加時(shí)，SWCNT梁剛度下降，波動(dòng)阻尼增強(qiáng)。據(jù)圖3所示，隨著流速的增加，SWCNT梁波動(dòng)頻率是增加的，證明在流速較低時(shí)，對波動(dòng)和振動(dòng)有促進(jìn)作用，這種動(dòng)力特性與宏觀流體結(jié)構(gòu)類似。然而，當(dāng)流速超過1 500 m/s之后，頻率就會(huì)隨著流速的增大而急劇降低，而當(dāng)流速達(dá)到U=2 900 m/s時(shí)，頻率就會(huì)變成復(fù)數(shù)，說明波動(dòng)衰減明顯，該結(jié)論與流速較低時(shí)的動(dòng)力特性相反。發(fā)生波動(dòng)衰減的主要原因，是隨著流體流速升高，流體分子運(yùn)動(dòng)加快，分子動(dòng)能增加，分子間相互作用力增強(qiáng)，造成系統(tǒng)內(nèi)尺度效應(yīng)增強(qiáng)，從而導(dǎo)致碳納米管剛度下降，波動(dòng)阻尼增大。

圖3 頻率實(shí)部與流速、納觀尺度參數(shù)的變化關(guān)系

圖4顯示了當(dāng)波數(shù)分別取k=1×109m-1、k=2×109m-1和k=5×109m-1時(shí)，流速與SWCNT波動(dòng)頻率的變化關(guān)系。可以看出來頻率變化是很大的。當(dāng)波數(shù)變化時(shí)，流體的臨界流速增加，但總體的趨勢仍然是在臨界流速之前，振動(dòng)頻率隨著流速的增大而增大，而在臨界流速之后，振動(dòng)頻率隨著流速增大而減小。所以，增大波數(shù)、減小波長對于促進(jìn)SWCNT梁波動(dòng)頻率明顯效果。

圖5顯示了碳納米管應(yīng)變梯度參數(shù)分別取l=10 nm，20 nm，50 nm時(shí)，非局部尺度參數(shù)ea與振動(dòng)頻率實(shí)部之間的變化關(guān)系。隨著ea逐漸變大，頻率的變化幅度是非常小的，但仍然可以看出有略微減小的趨勢。從圖5可以看出，隨著l由10 nm增加至20 nm和50 nm，頻率成比例增大，說明應(yīng)變梯度效應(yīng)會(huì)增加系統(tǒng)剛度，促進(jìn)波的傳導(dǎo)。

圖6顯示的是流速與振動(dòng)頻率實(shí)部的變化關(guān)系。頻率的變化規(guī)律依然與圖5相同，即隨著應(yīng)變梯度參數(shù)l的增大，頻率也增加，依然是由于應(yīng)變梯度效應(yīng)增加系統(tǒng)剛度所致。然而，隨著流速增加，頻率出現(xiàn)先增加后減小的趨勢，即流速有一臨界值，在該臨界值前后，頻率的變化規(guī)律相反。該規(guī)律和圖3類似，當(dāng)流速較大時(shí)，流體分子運(yùn)動(dòng)加劇，導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)尺度效應(yīng)增強(qiáng)，波動(dòng)阻尼增大。但是圖6的臨界流速與圖3不同，該臨界流速不是固定值，而隨l變大而升高。該現(xiàn)象是由于應(yīng)變梯度效應(yīng)會(huì)增加系統(tǒng)剛度，所以l值越大越有利于波傳導(dǎo)，于是發(fā)生阻尼的臨界流速也就越高，這一結(jié)果也進(jìn)一步證實(shí)了應(yīng)變梯度效應(yīng)增加系統(tǒng)剛度的結(jié)論。

(a) 整體圖

(b) 局部圖

圖5 頻率實(shí)部與納觀尺度參數(shù)和應(yīng)變尺度參數(shù)的變化關(guān)系圖

圖6 頻率實(shí)部與流速和應(yīng)變尺度參數(shù)的變化關(guān)系圖

圖7顯示了波數(shù)與振動(dòng)頻率實(shí)部的變化關(guān)系。由圖7可見，不論應(yīng)變梯度參數(shù)l取值如何，頻率最大值總出現(xiàn)在k=18×109m-1時(shí)，但隨著取值l增加，振動(dòng)頻率的值也相應(yīng)增大。這也再次證明應(yīng)變梯度效應(yīng)將增加系統(tǒng)剛度。進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)波數(shù)超過k=20×109m-1時(shí)，振動(dòng)頻率的值就退化為虛數(shù)，頻率實(shí)部在圖7中已不存在，虛部則由圖8呈現(xiàn)。

圖7 頻率實(shí)部與波數(shù)和應(yīng)變尺度參數(shù)的變化關(guān)系圖

由圖8可以發(fā)現(xiàn)頻率虛部的變化有兩個(gè)特征：① 振動(dòng)頻率虛部絕對值隨著波數(shù)增加而增加，說明繼續(xù)增加波數(shù)減小波長，波的傳導(dǎo)將受到阻尼；② 頻率虛部隨應(yīng)變梯度參數(shù)l增加而升高，說明此時(shí)的應(yīng)變梯度效應(yīng)不再增加系統(tǒng)剛度，反而阻礙波傳導(dǎo)。由以上兩點(diǎn)分析，可以得出結(jié)論：當(dāng)波數(shù)增加至k=20×109m-1時(shí)，波長已經(jīng)小于應(yīng)變梯度參數(shù)值l，說明一個(gè)波動(dòng)周期無法超出尺度效應(yīng)影響范圍，波的傳導(dǎo)將受到尺度效應(yīng)的阻礙，原理與圖2所示一致。

圖9顯示的是流體邊界條件參數(shù)Kn和振動(dòng)頻率的變化關(guān)系。由圖9可見，系統(tǒng)振動(dòng)頻率隨流速增加，表現(xiàn)出先增加后衰減的規(guī)律。Kn值越大，頻率衰減出現(xiàn)越早，在衰減出現(xiàn)之前，Kn取值較大，則頻率較高。

圖8 頻率虛部與波數(shù)和應(yīng)變尺度參數(shù)的變化關(guān)系圖

對于低流速時(shí)頻率隨Kn值增加而升高，是因?yàn)榱黧w尺度效應(yīng)增加系統(tǒng)剛度所致。而在高流速時(shí)較大的Kn值導(dǎo)致較早出現(xiàn)振動(dòng)衰減，則是因?yàn)楦吡魉袤w系振動(dòng)頻率高，波長范圍小于尺度效應(yīng)影響區(qū)域，能量傳遞受阻，與之前所述固體尺度效應(yīng)影響規(guī)律一致。

圖9 Knudsen數(shù)取值不同時(shí)的頻率實(shí)部與流速關(guān)系圖

圖10顯示的是當(dāng)波數(shù)變化時(shí)，Kn取不同的值所對應(yīng)的Argand圖(實(shí)部/虛部關(guān)系圖)。圖10中流速為300 m/s，該流速處于圖8所示振動(dòng)出現(xiàn)衰減之前?？梢钥闯觯∠嗤奶摬恐?，所對應(yīng)的實(shí)部值隨著Kn的增加而變大，說明流速相同時(shí)，尺度效應(yīng)越強(qiáng)，振動(dòng)阻尼出現(xiàn)越遲，反映出流體尺度效應(yīng)同樣可以增加系統(tǒng)剛度，且與固體非局部效應(yīng)相比，影響更明顯。

對于納米尺度的結(jié)構(gòu)體，數(shù)值模擬結(jié)果往往缺乏相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為驗(yàn)證和支撐。通常情況下，數(shù)值結(jié)果的驗(yàn)證都是通過不同理論模型模擬數(shù)據(jù)的對比來完成。前文已提及，對于非局部應(yīng)力場理論在碳納米管動(dòng)力學(xué)特性方面的研究，已有很多結(jié)論，證明該模型模擬結(jié)果是合理可靠的。作者前期發(fā)表的論文中，曾以非局部模型和分子動(dòng)力學(xué)模擬結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證，證明非局部模型模擬碳納米管波動(dòng)特性的結(jié)果與分子動(dòng)力學(xué)模擬結(jié)果吻合度很好。對于本文應(yīng)用的非局部/應(yīng)變梯度耦合模型，在文獻(xiàn)[33]中同樣被證明和分子動(dòng)力學(xué)模擬以及其它理論模型模擬結(jié)果有較高的吻合度。除此以外，本文以流體邊界滑移理論建模，定量分析流體小尺度效應(yīng)對流速的影響，該方法的合理性同樣已在相關(guān)文獻(xiàn)中得到證實(shí)和應(yīng)用。因此，本文應(yīng)用的建模理論和方法是得到公認(rèn)的，模擬結(jié)果同樣是合理可靠的。

圖10 Knudsen數(shù)取值不同時(shí)的Argand圖

4 結(jié)論

本文結(jié)合非局部應(yīng)力場理論、應(yīng)變梯度理論和流體滑移邊界理論，建立了充流單壁碳納米管流固耦合系統(tǒng)的波動(dòng)模型。分別以三種理論分析碳納米管和管腔內(nèi)流體的微納觀尺度效應(yīng)，推導(dǎo)得到了充流碳納米管的Euler-Bernoulli梁自由振動(dòng)控制方程。在對控制方程解析解推導(dǎo)過程中，分別討論了非局部參數(shù)、應(yīng)力梯度參數(shù)和流體邊界效應(yīng)參數(shù)對振動(dòng)頻率的影響，得出以下結(jié)論：

(1) 對于波長較大，頻率較低的波動(dòng)與振動(dòng)，碳納米管的應(yīng)變梯度效應(yīng)和流體的滑移邊界效應(yīng)使體系剛度增加，可以促進(jìn)系統(tǒng)振動(dòng)和波傳導(dǎo)；而碳納米管應(yīng)力非局部效應(yīng)會(huì)減小系統(tǒng)剛度，阻礙振動(dòng)與波動(dòng)。

(2) 對于波長較小，頻率較高的波動(dòng)與振動(dòng)，結(jié)論(1)中應(yīng)變梯度效應(yīng)和流體的滑移邊界效應(yīng)不但無法起到促進(jìn)作用，反而會(huì)有阻尼和衰減作用，而應(yīng)力非局部效應(yīng)對振動(dòng)產(chǎn)生的阻尼作用不變。其原因則是當(dāng)波長范圍小于尺度效應(yīng)影響范圍時(shí)，能量傳遞將受到阻礙。

(3) 三種微尺度效應(yīng)對流速不同的充流碳納米管動(dòng)力特性影響明顯，當(dāng)流速較高時(shí)，分子間相互作用力增大，尺度效應(yīng)增強(qiáng)，而高流速引發(fā)的振動(dòng)波長較小，同樣由于波長范圍小于尺度效應(yīng)影響范圍，能量傳遞受阻，振動(dòng)受到阻尼；而流速較低時(shí)，無上述現(xiàn)象，流速增加反而有利于振動(dòng)和波動(dòng)。

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Wave propagation of fluid-filled single-walled carbon nanotubes based on the nonlocal-strain gradient theory

YU Yang, YANG Yang

(Department of Engineering Mechanics, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650500, China)

Based on the high-order nonlocal strain gradient theory and slip boundary conditions of nano-scale fluid, a dynamic model of Euler-Bernoulli beams for fluid-filled single-walled carbon nanotubes (SWCNT) was established. The governing equation of wave propagation for fluid filled SWCNT beams was derived according to the Hamilton’s principle. By solving the governing equations, analytical expressions of angular frequency for dynamic systems were obtained, and the influence from nano-scale effects on dynamic behaviors of SWCNTs were studied. According to the simulation results, wave propagation with low wavelength are enhanced by strain gradient and fluid slip boundary effects when the ones with high wavelength are damped. The nonlocal stress effect only contributes to the decay of the dynamic behaviors for any wavelength. These three scale effects lead to stiffness enhancement for fluid filled SWCNTs at low fluid velocity when wave propagation are promoted. However, the wave propagation behaviors are damped at high fluid velocity, since energy transmission in this case is damped by the scale effects.

nonlocal stress; strain gradient; nanotube; fluid boundary effect; Euler-Bernoulli beam; wave propagation

國家自然基金(11462010; 11261026)

2016-06-27 修改稿收到日期：2016-08-23

余陽 男，碩士生，1991年生

楊洋 男，博士，副教授，1981年生 E-mail：yangyang0416@kmust.edu.cn

TH212； TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.001