一類n階常微分方程的周期邊值問題

劉興元,張亞平

(邵陽學院 理學與信息科學系，湖南 邵陽，422000)

一類n階常微分方程的周期邊值問題

劉興元,張亞平

(邵陽學院 理學與信息科學系，湖南 邵陽，422000)

本文利用Mawhin延拓定理研究一類n階常微分方程的周期邊值問題，獲得了其解存在的充分條件。

n階常微分方程；周期邊值問題；存在性；充分條件

對于二、三階常微分方程的周期邊值問題，已有許多研究,見文獻[1-10],使用的方法是Banch空間中錐拉伸、壓縮定理以及上、下解方法。

對于n(n≥4)階微分方程的周期邊值問題的研究相對較少，僅見文獻[11-15]，在文[12]中研究了周期邊值問題

(1)

獲得了(1)存在正解的充分條件。

文[11]研究了一類奇周期邊值問題

(2)

建立其解的存在準則。

(3)

這里f:[0,1]×Rn→R是連續(xù)函數(shù)，n≥1是一個整數(shù)，我們的目的是建立問題(3)存在解的充分條件。本文所有符號若沒特別說明，均參見文獻[4]。

分別定義線性算子L和非線性算子N如下

L:X∩domL→Y,Lx(t)=x(n)(t),x∈X∩domL

N:X→Y,Nx(t)=f(t,x(t),x′(t),…,x(n-1)(t)),x∈X

其中L的定義域domL={x∈Cn[0,1],x(i)(0)=x(i)(1),i=0,1,…,n-1}。

1 幾個引理

為了證明下列定理，先給出幾個引理

引理1[4]下面的結(jié)論成立

(ⅰ)KerL={x(t)≡c,t∈[0,1],c∈R};

(ⅲ)L是零指標Fredholm算子；

(ⅴ)x(t)是問題(3)的解當且僅且x是算子方程Lx=Nx在domL上的解。

(ⅰ)Lx≠λNx，其中(x,λ)∈[(domLKerL)∩?Ω]×(0,1);

(ⅱ)對任意x∈KerL∩?Ω,有Nx?ImL;

2 本文主要定理及證明

定理1 假設下面的條件成立

(A1)存在連續(xù)函數(shù)e(t)和非負連續(xù)函數(shù)gi(t,x)(i=1,2,…,n-1)，使得f滿足

(4)

則問題(3)至少有一個解。

證明 第一步 令Ω1={x∈domL/KerL,Lx=λNx,λ∈(0,1)}，對于x∈Ω1,容易看出存在ξi∈[0,1],使得x(i)(ξi)=0,i=1,…,n，于是

……………

(5)

從而

(6)

x(n)(t)=λf(t,x(t),x′(t),…,x(n-1)(t))，

(7)

對上式從ξn-1到t積分，并使用(A1)，可得

對于i=0,1,…,n-1，記

應用(5)和(6)式有

‖e‖‖e‖。

因此

‖x(n-1)‖

‖x(n-1)‖+

(r0+ε)A(M+‖x(n-1)‖)+‖e‖。

第二步 令Ω2={x∈KerL,Nx∈ImL}，設x∈Ω2,則x(t)=c∈R,

第三步 令Ω3={x∈KerL,λΛx+(1-λ)QNx=0,λ∈[0,1]}，其中Λ∶Y/ImL→KerL

設xn(t)=cn∈Ω3,而且當n→時，則有數(shù)列λn∈[0,1]使得

若cn→+，則對充分大的n有cn>M；應用(A2)，有0，矛盾。

若cn→-，則對充分大的n有cn<-M；應用(A2)，有0，矛盾,故Ω3有界。

(a)對任意的x∈(domL/KerL)∩?Ω,λ∈(0,1)有Lx≠λNx；即引理2中條件(i)成立；

(b)對任意x∈KerL∩?Ω,有Nx?ImL，即引理2中條件(ii)成立。

事實上，令H(x,λ)=λΛx+(1-λ)QNx，

其中Λ:Y/ImL→KerL

按Ω的定義知道對于x∈?Ω∩KerL,有H(x,λ)≠0，由度的同倫性有

定理2 設下列條件成立

(B1)定理1中的(A1),(A2)成立；

(B2)存在常數(shù)M>0，使得問題

(8)

證明：令Ω1={x∈domL/KerL,Lx=λNx,λ∈(0,1)}，對于x∈Ω1,我們得到

x(n)(t)=λf(t,x(t),x′(t),…,x(n-1)(t))。

這樣

于是，存在常數(shù)H>0，使得‖x(n-1)‖≤H,從而‖x‖≤M+H。證明的余下部分與定理1的相對應的部分完全相同，略。

例 考查周期邊值問題

(9)

將上三式與定理1對照比較知定理1中的條件(A1)，(A2)，(A3)成立，由定理1知

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Existence of solutions for periodic boundary problems for n-order ordinary differential equation

LIU Xingyuan，ZHANG Yaping

(Department of Science and Information Science,Shaoyang University,Shaoyang 422000,China)

In this paper,usingMawhinextension theorem,we discuss the existence of periodic boundary value problems forn-order ordinary differential equation,we obtain some several sufficient conditions.

n-order ordinary differential equation;periodic boundary value problem;existence;sufficient condition

1672-7010(2017)01-0010-06

2016-11-01

湖南省教育廳一般項目(12C0864)

劉興元(1963-)，男，湖南邵陽人，教授，從事常微分方程邊值問題研究

O175.1 < class="emphasis_bold">文獻標志碼：A

A