POD方法在風(fēng)洞試驗二維速度場分析中的應(yīng)用

巴玉龍 /

(上海飛機設(shè)計研究院，上海201210)

POD方法在風(fēng)洞試驗二維速度場分析中的應(yīng)用

巴玉龍 /

(上海飛機設(shè)計研究院，上海201210)

針對風(fēng)洞試驗二維速度流場，構(gòu)建了正交分解與流場重構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。通過對鼓包背風(fēng)面PIV瞬時速度流場進行分解，發(fā)現(xiàn)階數(shù)越低的模態(tài)對原始流場的能量貢獻率越大，代表了流場中的低頻、大尺度流動結(jié)構(gòu)；反之，階數(shù)越高的模態(tài)對原始流場的能量貢獻率越小，代表了流場中的高頻、小尺度流場結(jié)構(gòu)等信息。通過對流場進行低維重構(gòu)，發(fā)現(xiàn)前4階重構(gòu)流場幾乎不受一些小尺度旋渦的影響，很清晰地顯示了流場的主要結(jié)構(gòu)。

本征正交分解；POD；模態(tài)；風(fēng)洞試驗；流場重構(gòu)

0 引言

飛機設(shè)計過程中，通常需進行大量風(fēng)洞試驗，試驗中經(jīng)常需采集大量數(shù)據(jù)。因此需發(fā)展一種后處理方法來對這些數(shù)據(jù)進行后處理，以得到其中蘊含的最主要信息，從而幫助飛機設(shè)計者認(rèn)識到試驗本質(zhì)。本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition，簡稱POD)就是其中最有效的方法之一，能夠解決復(fù)雜的多元非線性問題。POD的本質(zhì)就是將一系列的測量數(shù)據(jù)分解為若干模態(tài)，各模態(tài)所含能量不同，其中能量最高的就是最主要的流動結(jié)構(gòu)。如果被測流場是由幾個主控結(jié)構(gòu)組成的，那么通過POD方法就可將這幾個結(jié)構(gòu)按能量高低依次展示出來，從而找出在流場中起主控作用的流場結(jié)構(gòu)。

POD方法最早在1967年提出，Lumley等[1]將其引入到流體力學(xué)的分析中。POD的實現(xiàn)方法主要有兩種，一種是Classic POD，主要針對同一圖像中不同點之間的相關(guān)性進行分析；另一種是Snapshots POD，主要針對相同位置的點，對沿時間軸分布的多幅圖片中的相關(guān)性進行分析。近年來，POD方法被大量應(yīng)用到科學(xué)研究與工程試驗中。陽詳?shù)萚2]將POD方法應(yīng)用在數(shù)值模擬得到的徑向旋轉(zhuǎn)方通道內(nèi)的湍流數(shù)據(jù)處理中，得到湍流大尺度結(jié)構(gòu)，加深了對湍流結(jié)構(gòu)的認(rèn)識。廖俊等[3]將POD方法應(yīng)用在非平穩(wěn)隨機振動響應(yīng)的計算中，增加了計算效率。李元齊等[4]對球面及柱面殼體模型進行了風(fēng)洞試驗研究，發(fā)現(xiàn)利用POD方法能有效地從整體上把握這類建筑物表面的風(fēng)壓分布規(guī)律。李璟等[5]在平屋面風(fēng)場本征正交分解與重構(gòu)研究的基礎(chǔ)上，將諧波合成法與基于協(xié)方差矩陣的POD方法結(jié)合起來，首次提出適用于屋蓋結(jié)構(gòu)的風(fēng)場兩步模擬法。Dipankar等[6]與Feng等[7]將POD方法應(yīng)用到圓柱繞流分析中(et al., 2007; et al., 2010; Feng et al., 2011)，能形象地觀察到圓柱后緣旋渦脫落的規(guī)律。

可見，POD方法被大量應(yīng)用到科學(xué)研究與工程試驗中。本文以風(fēng)洞試驗得到的速度流場為例，介紹Snapshots POD方法在風(fēng)洞試驗二維速度場分析中的應(yīng)用。在工程風(fēng)洞試驗中，如果試驗得到的是三維流場，可以利用本文介紹的方法對某些關(guān)鍵剖面的流場進行二維POD分析，從而達到對整個流場進行分析的目的。

1 POD方法的基本原理

POD方法的本質(zhì)問題是通過計算得到函數(shù)空間{qk∈L2(Ω)|k=1,2…,M}的一組“最優(yōu)”正交基{φi|i=1,2,…,∞}，這里的“最優(yōu)”意味著使函數(shù)空間投影到正交基上產(chǎn)生的誤差達到最小。這個問題就能得到由特征向量φi組成的正交基{φi}，從而函數(shù)空間{qk}能夠用正交基{φi}來表示：

(1)

其中ak=(qk,φi)。

SnapshotsPOD方法就是用原函數(shù)空間元素qk的線性組合來表示特征模態(tài)。具體做法如下，首先對于一個具有N個snapshots的二維速度場V(x,y,t)，可以用一個矩陣U來表示這個流場的全部速度脈動信息，即

(2)

(3)

計算特征值問題：

(4)

將該式求得的特征值λi與所對應(yīng)的特征向量Ai按λi大小重新排列使得：

(5)

(6)

就代表了第i階POD模態(tài)φi所包含的“能量”(反映了該模態(tài)所包含的信息對流場的貢獻程度)。POD模態(tài)可以構(gòu)建為：

(7)

從而得到模態(tài)矩陣Φ：

(8)

其中第n個snapshot所對應(yīng)的POD模態(tài)系數(shù)ai為：

(9)

利用上面所求得的POD系數(shù)ai與所對應(yīng)的模態(tài)φi來重構(gòu)二維速度流場，可得：

(10)

理論上講，通過上式可以重構(gòu)出與原始流場一模一樣的流場V(x,y,t)。然而，在實際操作中，為了簡化計算，一般只計算包含原始流場前99%能量的模態(tài)信息。

2 POD分解二維速度場

如果對POD分解后的各階模態(tài)按照能量貢獻率從大到小排序，階數(shù)越低的模態(tài)對原始流場的能量貢獻率越大。假設(shè)周期性或準(zhǔn)周期性變動的流場低頻、大尺度的速度場占主導(dǎo)地位，那么從物理的角度可以認(rèn)為低維模態(tài)表征流場中的低頻、大尺度流動結(jié)構(gòu)，而高階模態(tài)表征流場中的高頻、小尺度脈動，或者是背景噪聲等信息。

Wang等人[7]為了嘗試研究鼓包背風(fēng)面的分離流場，對一個典型的二維鼓包背風(fēng)面流動進行了速度流場試驗測量。測量儀器為二維PIV系統(tǒng)，該系統(tǒng)采用連續(xù)的激光器作為光源，激光器功率1.5W，波長532nm。示蹤粒子直徑為5μm～10μm，平均密度1.05g/mm3的空心玻璃微珠，記錄儀器采用分辨率為640×480像素的高速CCD相機。數(shù)據(jù)采集頻率為100Hz，電子快門曝光時間間隔為5ms，試驗中每個工況均拍攝3組，每組記錄的圖像數(shù)量均為1萬幅，軟件系統(tǒng)的相對測量誤差為1%。

以Wang等人[7]通過PIV試驗得到鼓包背風(fēng)面速度流場為例，利用snapshots POD方法對其中某一瞬時流場進行分解，得到的法向速度流場的前四階模態(tài)如圖1所示，偽彩色代表了脈動速度的大小(各模態(tài)色標(biāo)均與第一階相同)，從而紅色與藍色區(qū)域分別表示流場中的高速區(qū)與低速區(qū)(或回流區(qū))。前四階模態(tài)系數(shù)隨時間的變化如圖2所示，由圖可知，一、二階模態(tài)相互耦合，三、四階模態(tài)相互耦合。前兩階模態(tài)的系數(shù)隨時間呈明顯的周期性變化，且振幅遠遠大于三、四階模態(tài)系數(shù)的振幅。圖3顯示了各階模態(tài)所含的能量與流場全部能量的百分比。由圖可知，前兩階模態(tài)包含的能量明顯大于其它模態(tài)，前兩階模態(tài)對流場貢獻35%以上的能量，前四階模態(tài)貢獻大約50%的能量。

鼓包背風(fēng)面的分離流動與大迎角機翼上表面的流動分離相似，邊界層分離后流場的不穩(wěn)定擾動急劇增大，并很快增長到最大值，隨后沿流向慢慢衰減。分離剪切層由于受K-H不穩(wěn)定(Kelvin-Helmholtz instability)擾動而失穩(wěn)產(chǎn)生展向渦結(jié)構(gòu)，這些渦結(jié)構(gòu)周期性的向下游發(fā)展。由圖1可知，該瞬時流場中，旋渦發(fā)展到流向1.5 的位置附近。

3 POD重構(gòu)二維速度場

既然階數(shù)越低的模態(tài)對原始流場的能量貢獻率越大，代表了流場中的低頻、大尺度流動結(jié)構(gòu)。那么，可以應(yīng)用低維模態(tài)對原始流場進行低維重構(gòu)，組成新的流場。這種新的流場保留了原始流場的主要結(jié)構(gòu)和信息，剔除了部分高頻干擾及噪聲干擾的影響，有助于對流場的分析。

對圖1所示分解后的流場進行低維重構(gòu)，并用偽彩色代表旋渦強度，得到的前4階、前20階、前100階重構(gòu)流場與原始流場的對比如圖4所示。旋渦強度的優(yōu)點是不受速度邊界層的干擾，能很容易辨識出旋渦。由圖可知，POD前4階重構(gòu)流場幾乎不受一些小尺度旋渦的影響，很清晰地顯示了流場的主要結(jié)構(gòu)。隨著POD重構(gòu)維數(shù)的增大，小尺度旋渦結(jié)構(gòu)逐漸增多。前100階重構(gòu)流場幾乎與原始流場毫無差別。在實際的數(shù)據(jù)分析中，前4階重構(gòu)流場是最常用的。

由圖4可知，前4階重構(gòu)流場保留了鼓包分離剪切層失穩(wěn)產(chǎn)生主要渦結(jié)構(gòu)，剔除了其它一些非主要旋渦的干擾。雖然這些非主要旋渦與主渦結(jié)構(gòu)在原始流場中也較容易分辨，但在三維流動中，流場結(jié)構(gòu)變的非常復(fù)雜。這時如果在某些關(guān)鍵剖面對流場進行低階POD重構(gòu)，將很有助于研究者抓住主要旋渦結(jié)構(gòu)。

4 結(jié)論

本文介紹了POD的基本原理，并在此基礎(chǔ)上建立了風(fēng)洞試驗所得到的二維速度場通過snapshots POD分解與流場重構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。以鼓包背風(fēng)面PIV瞬時速度流場為例， 應(yīng)用POD分解與重構(gòu)模型對上述流場進行了分析，發(fā)現(xiàn)通過POD能對流場的信息進行分解后，高階模態(tài)包含著流場中的高頻、小尺度旋渦信息，低階模態(tài)包含著鼓包分離剪切層失穩(wěn)及分離后的主要旋渦信息。這些主要旋渦結(jié)構(gòu)是流場的本質(zhì)，為了在不受小尺度旋渦干擾的情況下研究流場的本質(zhì)，對鼓包背風(fēng)面流場進行POD低維重構(gòu)。對重構(gòu)后的流場研究表明前4階重構(gòu)流場保留了鼓包分離剪切層失穩(wěn)產(chǎn)生主要渦結(jié)構(gòu)，剔除了其它一些非主要旋渦的干擾，為鼓包分離流場的分析提供了便利?？梢姡琍OD重構(gòu)流場為流場分析提供了一種有效手段。

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[4] 李元齊, 沈祖炎.本征正交分解法在曲面模型風(fēng)場重構(gòu)中的應(yīng)用[J]．同濟大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2006，34(1)：22-26．

[5] 李璟，韓大建．本征正交分解法在屋蓋結(jié)構(gòu)風(fēng)場模擬中的應(yīng)用[J]．工程力學(xué)，2009，26(3)：64-72．

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Application of POD Method in 2D Velocity Flow Filed Analysis in Wind-tunnel Test

BA Yulong

(Shanghai Aircraft Design and Research Institute, Shanghai 201210, China)

A mathematical model is constructed to analyze velocity flow filed of wind-tunnel test using POD method. Based on this model, the instantaneous velocity field at the leeward side of a bump is analyzed. The results show that the first few POD modes occupying most of the energy represent the large-scale coherent structures that dominate the global flow field while higher POD modes occupying less energy represent the small-scale structures and background noise. The reconstructed velocity field by the first four POD modes can exclude small-scale flow structures, containing only large-scale structures, which researchers are interested in.

Proper orthogonal decomposition; POD; mode; wind tunnel test; reconstruction

10.19416/j.cnki.1674-9804.2017.01.014

V211.7

A