基于μ-合成的直流電機魯棒控制器研究

陳章才，陳旭東，曹 慧，張騰達(dá)，付學(xué)敏

(安徽新聞出版職業(yè)技術(shù)學(xué)院 印刷包裝系，安徽 合肥 230601)

基于μ-合成的直流電機魯棒控制器研究

陳章才，陳旭東，曹 慧，張騰達(dá)，付學(xué)敏

(安徽新聞出版職業(yè)技術(shù)學(xué)院 印刷包裝系，安徽 合肥 230601)

針對電機負(fù)載參數(shù)變化引起的模型不確定性，該文基于μ-合成控制理論，嘗試設(shè)計具有較強魯棒性的直流電機速度控制系統(tǒng)。首先依據(jù)干擾抑制原理，通過引入虛擬不確定塊等將系統(tǒng)魯棒性能問題轉(zhuǎn)化為魯棒穩(wěn)定性問題，然后通過求解合適的權(quán)重矩陣使控制系統(tǒng)的性能滿足設(shè)計要求；最后分別運用復(fù)數(shù)及混合μ-合成控制算法求得兩種魯棒控制器，并運用Hankel奇異值及動態(tài)性能空間方法予以簡化。魯棒性能分析及擾動抑制結(jié)果表明：所設(shè)計的兩種控制器對電機負(fù)載的攝動均具有較強的魯棒性，且對于標(biāo)稱值僅為實數(shù)的不確定閉環(huán)系統(tǒng)，采用D-G-K迭代混合μ-合成控制算法設(shè)計的魯棒控制器對擾動具有明顯更強的抑制效果。

直流電機；不確定性系統(tǒng)；魯棒控制器；魯棒性能；擾動抑制

區(qū)別于H∞合成算法對標(biāo)度矩陣v和w的高度敏感性[1]，D-K迭代 μ-合成控制算法以結(jié)構(gòu)奇異值 μ·Δ(·)作為系統(tǒng)的魯棒性量度[2]，一方面兼顧了控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能要求[3]，另一方面降低了對其標(biāo)度矩陣D的依賴，可有效減少設(shè)計的保守性[4]。

但μ-合成控制算法在實際應(yīng)用中也表現(xiàn)出一定的局限性：

本文依據(jù)干擾抑制原理[8]，首先引入虛擬不確定塊Δ·Wdel，將直流電機速度控制系統(tǒng)的設(shè)計轉(zhuǎn)化為魯棒穩(wěn)定性問題，然后通過選擇適當(dāng)?shù)臋?quán)重矩陣使控制系統(tǒng)的魯棒性能滿足設(shè)計要求，最后在兼顧系統(tǒng)魯棒性能和魯棒穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，分別采用復(fù)數(shù)和混合μ-合成控制算法實現(xiàn)直流電機不確定性系統(tǒng)魯棒控制器的設(shè)計，并嘗試對兩種控制器的魯棒性能和干擾抑制效果進(jìn)行比較。

1 直流電機不確定性系統(tǒng)DCM

直流電機結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。電樞電壓Va、電樞電流I與反電動勢Vemf之間滿足關(guān)系式：

磁場φ與電樞電流相互作用產(chǎn)生使電樞旋轉(zhuǎn)的電磁轉(zhuǎn)矩為：

當(dāng)電樞轉(zhuǎn)動時，電樞繞組切割磁場線產(chǎn)生電動勢：

(1)、(2)和(3)式聯(lián)立，求得電機轉(zhuǎn)速n為：

式中，kb、km分別為電樞的反電動勢系數(shù)和轉(zhuǎn)矩系數(shù)，為電機理想空載轉(zhuǎn)速，為機械特性斜率。

其系數(shù)矩陣分別為：

考慮到負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量J的不確定性可能對電機轉(zhuǎn)速ω的動態(tài)性能產(chǎn)生影響，將圖1所示電機的電樞繞組與負(fù)載環(huán)節(jié)分離，且以反電動勢系數(shù)kb為正反饋矩陣，并增加擾動轉(zhuǎn)矩Td為輸入變量，則直流電機模型電路結(jié)構(gòu)示意圖如圖2，傳遞函數(shù)如式(7)。

實驗采用Faulhaber系列0615型直流電機，電機參數(shù)如表1[10]。表1中電樞繞組各參數(shù)及負(fù)載摩擦扭矩系數(shù)kf均為確定值，轉(zhuǎn)動慣量J則為不確定量，其標(biāo)稱值和不確定范圍分別為0.02 gcm2和±50%。

依據(jù)表1，可構(gòu)建直流電機不確定模型dcm (dc motor uncertainty model)，該模型具有一個不確定參數(shù)J。其標(biāo)稱值構(gòu)成2輸入單輸出二階穩(wěn)定系統(tǒng)，狀態(tài)空間方程如式(5)所示，系數(shù)矩陣為：

若進(jìn)一步計及從輸入驅(qū)動Va到輸出反應(yīng)ω的延遲時間t≈0.06 s，則dcm傳遞函數(shù)中應(yīng)加入延遲因子項e-t=e-0.06。由圖3(a)Bode圖我們發(fā)現(xiàn)，該e-0.06因子的Bode響應(yīng)上界恰與加權(quán)函數(shù)一致，故可采用如圖3(b)所示內(nèi)聯(lián)結(jié)構(gòu)，通過構(gòu)建一個單輸入單輸出虛擬不確定塊Δ·Wdel，將系統(tǒng)內(nèi)部延遲e-0.06以Δ·Wdel予以等效替換[11]，并據(jù)此得到直流電機DCM不確定動態(tài)模型(DC Motor uncertain dynamic model)：

對所構(gòu)建的不確定動態(tài)模型DCM隨機抽取20個樣品，做出從輸入Va到輸出ω的開環(huán)伯德圖并與其標(biāo)稱值比較，結(jié)果如圖4。圖4顯示，電機轉(zhuǎn)速ω確因負(fù)載參數(shù)的不確定性而隨輸入信號發(fā)生了較明顯的波動。

2 直流電機魯棒控制器研究

2.1 直流電機不確定性閉環(huán)系統(tǒng)CLP的構(gòu)建

直流電機不確定性系統(tǒng)魯棒控制器采用圖5所示CLP閉環(huán)結(jié)構(gòu)[12]，以μ-合成控制算法進(jìn)行設(shè)計。

μ-合成控制算法以結(jié)構(gòu)奇異值作為系統(tǒng)的魯棒性量度，借助各相關(guān)權(quán)重矩陣W的合理選取，通過多次迭代求解式(10)所示H∞合成優(yōu)化問題和式(11)所示凸優(yōu)化問題，使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)奇異值μ最終滿足最小化判定條件式(12)，從而實現(xiàn)魯棒控制器設(shè)計，達(dá)到提升系統(tǒng)魯棒性能的目的[12-13]。

圖5 CLP閉環(huán)系統(tǒng)構(gòu)建過程中，各權(quán)重函數(shù)Wu、Wd、Wp和Wn的選取分別如下：

2.2 混合μ-控制合成算法控制器設(shè)計

魯棒控制器設(shè)計可借助Matlab提供的mu工具箱。

因DCM模型中不確定參數(shù)J的標(biāo)稱值為實數(shù)，故除可采用復(fù)數(shù)μ-合成控制算法外，我們提出基于D-G-K迭代的混合μ-合成設(shè)計思想。

復(fù)數(shù) μ-合成控制算法具有如下特點[14]：

(a)迭代過程取復(fù)數(shù)形式的標(biāo)度矩陣D；

(b)動態(tài)不確定系統(tǒng)中所有不確定參數(shù)隨機樣品的取值范圍為復(fù)數(shù)。

與此相對應(yīng)，混合μ-合成控制算法除仍保留復(fù)數(shù)形式標(biāo)度矩陣D外，對被控模型中不確定參數(shù)隨機樣品均在實數(shù)范圍內(nèi)選取。

該算法對不確定實參數(shù)J(0.02,±50%)的取值結(jié)果如圖6所示。圖中“x”顯示實數(shù)J原有隨機值變化范圍，而“*”則為復(fù)數(shù) μ-合成算法的復(fù)平面取值結(jié)果。

設(shè)置初始標(biāo)度矩陣D0=I，經(jīng)5次迭代可求得符合設(shè)計要求的16階控制器，經(jīng)Hankel奇異值及動態(tài)性能空間方法[15]進(jìn)行降階處理，得到4階魯棒控制器Kc，傳遞函數(shù)如式(13)：

Kc降階前后Bode圖比較如圖7(a)。從中可見，控制器的幅頻特性及相頻特性曲線直到約10 rad/s的頻率范圍內(nèi)，在降解前后仍基本保持一致。

對于混合μ-合成控制算法，我們在原有D-K迭代的基礎(chǔ)上，嘗試通過計算與實數(shù)不確定參數(shù)取值相關(guān)的標(biāo)度矩陣G、復(fù)數(shù)標(biāo)度矩陣D及實正則量β，將不確定系統(tǒng)的不確定實參數(shù)引入迭代過程，借助D-G-K迭代的設(shè)計思想，實現(xiàn)μ-合成控制器K的設(shè)計。其中，β的計算滿足[15]：

在頻率各點上通過求解下式（15）所示最小化問題尋找(ω)和(ω)：

把所得到的新標(biāo)度矩陣(ω)、(ω)與前次估算的D(ω)和G(ω)比較，若接近則迭代過程停止，否則令(ω)=D(ω)，(ω)=G(ω)重復(fù)計算。

初始標(biāo)度矩陣、迭代次數(shù)和降階方法如表2所示。

借助Matlab求解并經(jīng)降階處理后，最終得到4階控制器Km，傳遞函數(shù)如式(16)。

圖7(b)顯示Km降階前(14階)與降階后的Bode圖比較。同樣發(fā)現(xiàn)，在約10 rad/s頻率范圍內(nèi)，控制器在降解前后的動態(tài)性能基本保持一致。

2.3 控制器魯棒性能及擾動抑制效果比較

以Kc和Km代入圖5，分別構(gòu)建兩種算法下的閉環(huán)系統(tǒng)CLPC和CLPM。求解各自魯棒性能，結(jié)果如表3所示。從表3可見，當(dāng)CLPC環(huán)的魯棒性能裕度達(dá)到1.09(≈1)時，不確定幅度(可近似認(rèn)為其最大不確定幅度)約為91.6%，對應(yīng)的頻率為0.659 rad/s；而對于CLPM環(huán)，當(dāng)不確定幅度達(dá)到109%時，魯棒性能裕度僅為0.92(仍小于1)，對應(yīng)的頻率值也僅為0.476 rad/s。表明兩種控制器對電機負(fù)載的攝動均具有較強的魯棒性。

CLPC和CLPM的閉環(huán)Bode響應(yīng)如圖8。我們發(fā)現(xiàn)，CLPM環(huán)的幅值裕度約為3 rad/s，小于CLPC環(huán)的約9 rad/s，表明：對于標(biāo)稱值僅為實數(shù)的不確定閉環(huán)系統(tǒng)，采用混合μ-合成控制算法所設(shè)計的控制器能夠在保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性基本相同的情況下，更好地提升系統(tǒng)動態(tài)性能，該結(jié)論與表3結(jié)果一致。

我們進(jìn)一步比較控制器的擾動抑制效果。

取DCM中的不確定參數(shù)J為其標(biāo)稱值，比較CLPC和CLPM環(huán)中的擾動信號Td、控制輸入信號Va和控制輸出信號ω的動態(tài)響應(yīng)，結(jié)果如圖9所示。圖9可見，在相同擾動輸入條件下(圖9(c))，CLPC和CLPM環(huán)的控制輸入信號(圖9(b))，及控制輸出信號(圖9(a))的動態(tài)響應(yīng)幾乎保持一致，表明采用兩種不同 μ-合成控制算法所設(shè)計的控制器對確定系統(tǒng)的擾動具有基本相同的抑制效果。

圖10比較當(dāng)DCM中的不確定參數(shù)J取其不確定范圍的最大值，即不確定系統(tǒng)達(dá)到最壞條件的情況下，CLPC和CLPM環(huán)中控制輸入信號和控制輸出信號的動態(tài)響應(yīng)。結(jié)果顯示：采用混合μ-合成控制算法所設(shè)計的控制器對擾動信號具有更強的追蹤和反映能力(圖10(b)所示：CLPM控制輸入信號的波動大于CLPC環(huán))，且對因參數(shù)不確定性而產(chǎn)生的擾動具有明顯更強的抑制效果(圖10 (a)顯示：CLPM控制輸出信號的波動明顯小于CLPC環(huán))。

3 小結(jié)

本文針對電機負(fù)載不確定參數(shù)僅在實數(shù)范圍內(nèi)變化導(dǎo)致的模型不確定性，分別運用復(fù)數(shù)及混合μ-合成控制算法，設(shè)計了兩種直流電機速度控制系統(tǒng)Kc和Km。性能分析及仿真結(jié)果表明：所設(shè)計的兩種魯棒控制器對電機負(fù)載的攝動均具有較強的魯棒性。

研究結(jié)果也顯示，對于標(biāo)稱值僅為實數(shù)的不確定閉環(huán)系統(tǒng)，比較于復(fù)數(shù)μ-合成算法，采用混合 μ-合成控制算法所設(shè)計的魯棒控制器能夠在保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性基本相同的情況下，更好地提升系統(tǒng)動態(tài)性能，且對擾動具有明顯更強的抑制效果。

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Robust controller research on DC motor based onμ-synthesis

CHEN Zhang-cai,CHEN Xu-dong,CAO Hui,ZHANG Teng-da,FU Xue-min
(Printing and Packaging Department,Anhui Press and Publication Vocational College,Hefei Anhui 230601,China)

Aiming at the problem of model uncertainty caused by the DC motor load variations,robust DC motor speed control system was designed using μ-synthesis control theory in this article.Firstly,by introducing fictive uncertainty,the robust performance problem was transformed into robust stability problem according to the principle of interference suppression.Secondly,the weighting functions were selected properly to have the control system to meet the design requirements.Lastly,the complex and mixedμ-synthesis D-K iteration algorithm were used to solve the controllers,and these two controllers were simplified using the Hankel singular values and dynamic performance space procedures.Robustness analysis and disturbance rejection results showed that:there are relatively strong robustness of the two controllers on the motor load perturbation,and for the closed-loop system with only real number nominal value,the controller designed by D-G-K Iteration mixedμ-synthesis algorithm has obviously stronger robust to the disturbance suppress.

DC motor;uncertainty system;robust controller;robust performance;disturbance suppression

TP273

A

1004-4329（2017）01-038-08

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-038-08

2016-10-20

安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)研究重點項目（KJ2014A103）資助。

陳章才(1970- )，男，高級工程師、講師，研究方向：電氣控制。