關(guān)注導(dǎo)數(shù)與其他知識(shí)的交匯

陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué)(710609)

童永奇●

關(guān)注導(dǎo)數(shù)與其他知識(shí)的交匯

陜西省西安市臨潼區(qū)馬額中學(xué)(710609)

童永奇●

類型一、導(dǎo)數(shù)與“函數(shù)奇偶性”的交匯

評(píng)注 為了實(shí)現(xiàn)函數(shù)奇偶性的相互轉(zhuǎn)化，靈活運(yùn)用可導(dǎo)奇偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)特征性質(zhì)：(1)可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)；(2)可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).

類型二、導(dǎo)數(shù)與“三角函數(shù)最值”的交匯

例2 設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=____．

評(píng)注 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)，則結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象易知：若x=x0時(shí)函數(shù)f(x)取得最值，則函數(shù)f(x)在x=x0處的切線斜率為零，即f′(x0)=0.這個(gè)結(jié)論充分揭示了三角函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的緊密聯(lián)系.

類型三、導(dǎo)數(shù)與“函數(shù)零點(diǎn)”的交匯

A.0 B.1 C.2 D.3

解析 求導(dǎo)得f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2016，可知：當(dāng)x=-1時(shí)，f′(x)>0；

評(píng)注 本題具有一定的綜合性，對(duì)能力的考查較強(qiáng)，解題關(guān)鍵是靈活利用“分類與整合思想”準(zhǔn)確分析導(dǎo)數(shù)與零的大小關(guān)系.

類型四、導(dǎo)數(shù)與“數(shù)列最值項(xiàng)”的交匯

評(píng)注 當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)公式所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性復(fù)雜而較難判定時(shí)，需要借助導(dǎo)數(shù)來(lái)判定．本題中函數(shù)f(x)=x1/x的求導(dǎo)公式未知，只不過(guò)知道(xα)′=αxα-1(α為常數(shù))，(ax)′=axlna(a>0且a≠1)，于是需要先對(duì)函數(shù)解析式做適當(dāng)變形，再求導(dǎo)．

類型五、導(dǎo)數(shù)與“圓錐曲線最值問題”的交匯

解析 設(shè)點(diǎn)M(x,y)，則因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為x=-1，所以結(jié)合拋物線的定義即得

評(píng)注 本題設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，有利于將目標(biāo)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值——可利用“導(dǎo)數(shù)法”(已給出)，還可利用“換元、配方法”

(提示：令t=x+1).

類型六、導(dǎo)數(shù)與“二項(xiàng)式求和問題”的交匯

例6(2016·天星預(yù)測(cè)卷)已知(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a99x99+a100x100(x∈R)，則a1+22a2+32a3+…+992a99+1002a100=( ).

A.10000 B.-10000 C.9800 D.-9800

解析 設(shè)函數(shù)f(x)=(2-x)100，則f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a99x99+a100x100，求導(dǎo)得f′(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+99a99x98+100a100x99，

兩邊乘以x得xf′(x)=a1x+2a2x2+3a3x3+…+99a99x99+100a100x100，

兩邊求導(dǎo)得f′(x)+xf″(x)=a1+22a2x+32a3x2+…+992a99x98+1002a100x99.

又注意到f′(x)=-100(2-x)99，f″(x)=100×99×(2-x)98.

故取x=1，即得a1+22a2+32a3+…+992a99+1002a100=f′(1)+f″(1)=-100+100×99=9800.

評(píng)注 本題較難，對(duì)考生分析、解決問題的能力提出了較高的要求.解題關(guān)鍵：先構(gòu)造函數(shù)，再充分利用“求導(dǎo)”思想及“賦值”技巧加以靈活處理.

類型七、導(dǎo)數(shù)與“不等式中比較大小”的交匯

作差得：

構(gòu)造函數(shù)g(a)=ea(b-a+2)+eb(b-a-2)，則g′(a)=ea(b-a+1)-eb.

因?yàn)間″(a)=ea(b-a)>0，所以函數(shù)g'(a)在R上單調(diào)遞增.

于是，由a

從而，由ag(b)=0，即ea(b-a+2)+eb(b-a-2)>0.

評(píng)注 上述求解的關(guān)鍵是將b看作“常量”，靈活地構(gòu)造以a為變量的函數(shù)，充分利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

綜上，關(guān)注導(dǎo)數(shù)與其他知識(shí)的交匯，有利于從導(dǎo)數(shù)角度看透問題的本質(zhì)，進(jìn)一步加深理解與認(rèn)識(shí)，且學(xué)且悟！

G632

B

1008-0333(2017)07-0009-02