高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)銜接問(wèn)題的探究
——以對(duì)數(shù)函數(shù)為例

北京工業(yè)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)院(101101)

甘 艷●

高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)銜接問(wèn)題的探究
——以對(duì)數(shù)函數(shù)為例

北京工業(yè)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)院(101101)

甘 艷●

自19世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)的呈現(xiàn)方式日趨形式化.定義、定理、證明、推論等均以簡(jiǎn)潔而抽象的方式陳述.《高等數(shù)學(xué)》呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)過(guò)程，是一種嚴(yán)密的學(xué)術(shù)形態(tài)，呈現(xiàn)出來(lái)的是冰冷的美麗.大學(xué)新生在知識(shí)準(zhǔn)備、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)心理、自學(xué)能力等方面容易出現(xiàn)問(wèn)題.本文將以對(duì)數(shù)函數(shù)為例，以建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論和認(rèn)知結(jié)構(gòu)說(shuō)為指導(dǎo)依據(jù)，探究關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、運(yùn)算性質(zhì)、求導(dǎo)等方面的銜接問(wèn)題，建立高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使學(xué)生盡快順利地適應(yīng)從中學(xué)到大學(xué)的學(xué)習(xí).

初等數(shù)學(xué)；高等數(shù)學(xué)；銜接

2002年至今，北京市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)歷了多次改革.部分內(nèi)容進(jìn)行了刪減，如對(duì)數(shù)公式、三角函數(shù)公式、反三角函數(shù)、極坐標(biāo)等；增加了部分內(nèi)容，如極限、導(dǎo)數(shù)、定積分等內(nèi)容.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式和教學(xué)方法的改革必將直接影響高等數(shù)學(xué)的教學(xué).在近五年的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生高中已學(xué)內(nèi)容仍然存在過(guò)渡的困難.為了解決這部分的問(wèn)題，筆者將以對(duì)數(shù)函數(shù)為例，探究高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)銜接存在的問(wèn)題，并提出解決方案.

一、建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的基本思想是，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動(dòng)建構(gòu)內(nèi)部心理結(jié)構(gòu)的過(guò)程.美國(guó)心理學(xué)家維特羅克提出了學(xué)生學(xué)習(xí)的生成過(guò)程模式，他認(rèn)為學(xué)習(xí)的生成過(guò)程是學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)(即原有認(rèn)知結(jié)構(gòu))與從環(huán)境中主動(dòng)選擇和注意的信息相互作用、主動(dòng)建構(gòu)信息的意義的過(guò)程.這一模式說(shuō)明，學(xué)習(xí)總是要涉及學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并利用這些經(jīng)驗(yàn)來(lái)理解和建構(gòu)新的知識(shí).

二、學(xué)習(xí)遷移的理論——奧蘇伯爾的認(rèn)知結(jié)構(gòu)說(shuō)

奧蘇伯爾提出一切有意義的學(xué)習(xí)都是在原有學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，而過(guò)去經(jīng)驗(yàn)對(duì)當(dāng)前學(xué)習(xí)的影響不是直接發(fā)生的，而是通過(guò)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征發(fā)生影響的，這些特征是指學(xué)生在一定知識(shí)領(lǐng)域內(nèi)的認(rèn)知的組織特性，如清晰性、穩(wěn)定性、概括性和包容性等.如果學(xué)生在某一領(lǐng)域的認(rèn)知結(jié)構(gòu)清晰度、穩(wěn)定性、概括性和包容性高，遷移發(fā)生的可能性就大.

上面兩種關(guān)于學(xué)習(xí)的理論都提到了學(xué)生的已有知識(shí)結(jié)構(gòu)，提出了影響新舊知識(shí)建構(gòu)和遷移的諸多因素，教師在教學(xué)過(guò)程中要注意學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的認(rèn)知的清晰性、穩(wěn)定性、概括性和包容性.

三、學(xué)生目前的學(xué)習(xí)狀況

部分?jǐn)?shù)學(xué)優(yōu)秀的學(xué)生可以輕松地跨過(guò)“抽象”的門檻，嚴(yán)密地按形式化的敘述把握數(shù)學(xué)知識(shí).但是，多數(shù)學(xué)生不能很自然地接受數(shù)學(xué)，把數(shù)學(xué)思想和方法看成“天書(shū)”，無(wú)法和自己的思維掛鉤.下面將以對(duì)數(shù)函數(shù)為例，將新舊知識(shí)進(jìn)行羅列，給出教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的建議.

四、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的對(duì)數(shù)問(wèn)題

學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)：

(1)對(duì)數(shù)的定義；

(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；

(3)對(duì)數(shù)的換底公式；

(4)第二個(gè)重要極限公式.

學(xué)生要學(xué)習(xí)的新知識(shí)：

(1)極限的計(jì)算；

(2)等價(jià)無(wú)窮小.

教學(xué)建議：

(1)知識(shí)準(zhǔn)備:教師提前復(fù)習(xí)對(duì)數(shù)的定義、運(yùn)算性質(zhì)、換底公式；

(2)方法要總結(jié)：前面的計(jì)算部分是圍繞指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的轉(zhuǎn)換及第二個(gè)重要極限的應(yīng)用，所以這里是先變換再計(jì)算極限(這種方法經(jīng)常用在不能直接求函數(shù)的極限問(wèn)題上，有普遍性)；

(3)學(xué)生要主動(dòng)在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上與從題目的已知部分選擇對(duì)數(shù)部分的變換和極限計(jì)算的過(guò)程，這是能否解出該題的關(guān)鍵.

二、求y=logax的導(dǎo)數(shù).

分析 可以用導(dǎo)數(shù)定義，也可以用反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.這里，筆者建議兩種方法都用，進(jìn)行比較.

方法二 按反函數(shù)的求導(dǎo)方法，

設(shè)x=ay(a>0,a≠1)為直接函數(shù)，則y=logax是它的反函數(shù)，已知函數(shù)x=ay(a>0,a≠1)在區(qū)間Iy=(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且(ay)′=aylna≠0.

解x=ay(a>0,a≠1)在區(qū)間?Iy=(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，

學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)：(1)對(duì)數(shù)的定義；(2)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；(3)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；(4)第二個(gè)重要極限公式.

學(xué)生要學(xué)習(xí)的新知識(shí)：對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.

三、求y=xsinx(x>0)的導(dǎo)數(shù)

分析 這個(gè)函數(shù)是冪指函數(shù)，為了分離底數(shù)和指數(shù)，我們最先考慮的是對(duì)數(shù)公式，這里有兩個(gè)方法：

方法一 y=xsinx(x>0)，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，

學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)：(1)對(duì)數(shù)的定義；(2)導(dǎo)數(shù)的乘法法則；(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.學(xué)生要學(xué)習(xí)的新知識(shí)：對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.

教學(xué)建議：(1)引導(dǎo)學(xué)生思考分離底數(shù)和指數(shù)的方法，寫出對(duì)數(shù)公式；(2)教師要指出這里lny是y的函數(shù)，而y是x的函數(shù).所以，對(duì)于lny的求導(dǎo)，應(yīng)該用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；(3)冪指函數(shù)形式的計(jì)算問(wèn)題可以考慮用取對(duì)數(shù)的方法.

教學(xué)是一個(gè)復(fù)合詞，包括教和學(xué)兩個(gè)方面，是由教師的教和學(xué)生的學(xué)所組成的雙邊活動(dòng)過(guò)程.教學(xué)是一個(gè)非常復(fù)雜的過(guò)程，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極思考、學(xué)會(huì)提問(wèn)，學(xué)會(huì)總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生積極參與到教學(xué)活動(dòng)中來(lái).通過(guò)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，教師要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力.

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014.

師的指導(dǎo)下，重復(fù)專業(yè)研究人員的科學(xué)探究過(guò)程.這個(gè)活動(dòng)又叫做獲得間接經(jīng)驗(yàn)，但這間接經(jīng)驗(yàn)的獲得，卻因?yàn)榇竽X鏡像神經(jīng)元的“模仿”，形同“親歷”.

二、“直觀”教學(xué)情景創(chuàng)設(shè)的原則：直觀

依據(jù)“鏡像神經(jīng)元”的功能及相關(guān)教育教學(xué)理論，在化學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)“直觀”情境，重視學(xué)生的視覺(jué)的思維能力，把知識(shí)教學(xué)中遇到的重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)，盡可能轉(zhuǎn)化為符號(hào)、圖形、圖表等直觀方來(lái)呈現(xiàn)，再合適不過(guò).本文所指“直觀”教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)是基于“鏡像神經(jīng)元理論”啟示下的“直觀”教學(xué)情境創(chuàng)設(shè).(以下簡(jiǎn)稱“直觀”教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)).

筆者認(rèn)為在進(jìn)行相關(guān)教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)際教學(xué)應(yīng)用中，“直觀”是最重要的關(guān)鍵詞.因此直觀性原則應(yīng)該是“直觀”教學(xué)情景創(chuàng)設(shè)的總原則.直觀原則包括兩個(gè)方面，一是教師方面，教學(xué)過(guò)程的直觀、可視化，教學(xué)語(yǔ)言的直接，教學(xué)測(cè)試的可視化.二是學(xué)生方面，學(xué)習(xí)過(guò)程注意其“眼睛”的學(xué)習(xí)能力的發(fā)揮和發(fā)展，協(xié)調(diào)視覺(jué)對(duì)其感性與理性的共同影響.

三、“直觀”情景創(chuàng)設(shè)應(yīng)用之“物質(zhì)的量”教學(xué)設(shè)計(jì)

“物質(zhì)的量”是高中化學(xué)的核心概念之一，也是具有功能價(jià)值的工具性的概念.

1.教學(xué)策略選擇

教學(xué)策略分為三點(diǎn)，即：創(chuàng)設(shè)“直觀”教學(xué)情境凸顯學(xué)習(xí)意義(為何學(xué))→運(yùn)用一定思維方法(如何學(xué))→運(yùn)用新知識(shí)解決問(wèn)題(如何用)

(1)為何學(xué)：創(chuàng)設(shè)用微觀粒子數(shù)描述宏觀物質(zhì)很困難的情境；

(2)如何學(xué)：利用聯(lián)想、類比、歸納的方法學(xué)習(xí)物質(zhì)的量、阿伏加德羅常數(shù)和摩爾質(zhì)量.

(3)如何用：在如何用中，利用所學(xué)新知識(shí)思考他們之間的關(guān)系.

2.教學(xué)流程

環(huán)節(jié)一：為何學(xué)

舉一個(gè)例子：1滴水，10億人來(lái)數(shù)其中的水分子，每人每分鐘數(shù)100個(gè)，日夜不停，需要3萬(wàn)多年才能數(shù)完.來(lái)說(shuō)明如果我們用微觀的粒子數(shù)來(lái)描述宏觀物質(zhì)很不方便.那我們?cè)趺崔k呢？

教師提出在生活中我們也遇到過(guò)類似的問(wèn)題，但是問(wèn)題都不攻自破，比如，這么多啤酒，你一下子想到的一定是一箱啤酒，類似，一打鉛筆、一雙鞋子等，他們都是把微小物質(zhì)擴(kuò)大倍數(shù)形成一定數(shù)目的集體，以方便研究.物質(zhì)是由大量的分子、原子或離子構(gòu)成的.類比到微觀世界，我們也可以用這種打包的思想，把粒子打包成一堆兒，用多少堆兒來(lái)描述宏觀物質(zhì).這樣就順理成章的提出物質(zhì)的量的概念.

環(huán)節(jié)二：如何學(xué)

利用聯(lián)想、類比、歸納的學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)物質(zhì)的量、阿伏加德羅常數(shù)和摩爾質(zhì)量這三個(gè)概念.

任務(wù)一：提出物質(zhì)的量的定義

物質(zhì)的量表示的是一定數(shù)目粒子的集合體，物質(zhì)的量的定義過(guò)于抽象，當(dāng)定義不容易理解的時(shí)候，這種外延性的解釋就顯得尤為重要.

任務(wù)二：提出物質(zhì)的量的單位——摩爾

物質(zhì)的量是七大國(guó)際物理量之一.(簡(jiǎn)單介紹摩爾其人.)

任務(wù)三：解釋阿伏加德羅常數(shù)

教師提出：箱是24個(gè)，打是12個(gè)，那么1 mol有多少個(gè)呢？國(guó)際規(guī)定：1mol任何粒子所含的粒子數(shù)與0.012 kg12C中所含的碳原子數(shù)相同，約為6.02×1023.把1mol任何粒子的粒子數(shù)叫做阿伏加德羅常數(shù)，符號(hào)為NA.

任務(wù)四：提出摩爾質(zhì)量的概念

教師引導(dǎo)：0.012 kg12C跟初中學(xué)習(xí)的相對(duì)原子質(zhì)量的概念很類似，引出相對(duì)原子質(zhì)量的回顧.

教師再次提出為什么國(guó)際規(guī)定一摩爾任何粒子的粒子數(shù)約為6.02×1023呢？既然是人為規(guī)定，為什么會(huì)規(guī)定這么一個(gè)不容易記的常數(shù)，而不規(guī)定一個(gè)容易記的常數(shù)呢？

給出一個(gè)表格，進(jìn)行1mol物質(zhì)的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)，只有這么規(guī)定，1mol粒子的質(zhì)量在數(shù)值上恰好等于其相對(duì)原子質(zhì)量或者相對(duì)分子質(zhì)量.而規(guī)定別的容易的任何數(shù)字為1mol粒子的數(shù)量時(shí)，成百上千的宏觀物質(zhì)的摩爾質(zhì)量很不好記.表格最下面是一摩爾物質(zhì)的質(zhì)量，也是用微觀描述宏觀的另一個(gè)角度，從而引出摩爾質(zhì)量的學(xué)習(xí).

摩爾質(zhì)量：?jiǎn)挝晃镔|(zhì)的量的物質(zhì)所具有的的質(zhì)量叫做摩爾質(zhì)量，用M來(lái)表示.1mol任何粒子的質(zhì)量以克為單位時(shí)，其數(shù)值與該粒子的相對(duì)原子質(zhì)量或者相對(duì)分子質(zhì)量相等.教師再次說(shuō)明這并非一種巧合，在規(guī)定NA的時(shí)候就注定有這樣的結(jié)果.

環(huán)節(jié)三，如何用

我們利用m(物質(zhì))=粒子數(shù)×每一個(gè)粒子的質(zhì)量來(lái)計(jì)算，粒子數(shù)太大，每一個(gè)粒子的質(zhì)量太小，不利于計(jì)算.通過(guò)一個(gè)表格呈現(xiàn)，剛剛學(xué)習(xí)了的粒子數(shù)和物質(zhì)的量之間的關(guān)系，可以把粒子數(shù)轉(zhuǎn)化成物質(zhì)的量，然后為了讓等式兩邊相等，還必須得把每一個(gè)粒子的質(zhì)量乘以NA，這樣總結(jié)出物質(zhì)的量和宏觀質(zhì)量的關(guān)系.

3.教學(xué)設(shè)計(jì)分析

本節(jié)課注重學(xué)生思維能力的方法，面對(duì)特別抽象的概念的時(shí)候，運(yùn)用直觀的教學(xué)形式呈現(xiàn)，減輕學(xué)生思維壓力，同時(shí)，“看透”概念本質(zhì).也體現(xiàn)了“直觀”教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)的“直觀”性原則.主要解決物質(zhì)的量，阿伏加德羅常數(shù)，摩爾質(zhì)量三個(gè)抽象概念的抽象關(guān)系.并在宏觀的物質(zhì)和微觀的粒子之間建立起化學(xué)計(jì)量的橋梁.

課堂教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)特定的“直觀”情境，首先吸引住學(xué)生的注意力，再根據(jù)情境的意義，引發(fā)學(xué)生的興趣.學(xué)生只要“看到”就會(huì)有思考，這是有效教學(xué)的前提.總的來(lái)說(shuō)，“鏡像神經(jīng)元理論”告訴我們，人的視覺(jué)是有思考能力的，有著高級(jí)的智慧，所以一個(gè)合適的“直觀”情境會(huì)引發(fā)學(xué)生頓悟的思考，甚至可以讓學(xué)生一眼就看到知識(shí)的本質(zhì).

參考文獻(xiàn)

[1-4]陳建翔.“鏡像教育”:一個(gè)教育新主題的開(kāi)始——論鏡像神經(jīng)元的教育內(nèi)涵及對(duì)教育變革與創(chuàng)新的啟發(fā)[J]. 教育科學(xué). 2011(05)

[5]Giacomo Rizzolatti&Laila Craighero.The Mirror NeuronSystem [J].Annual Review of Neuroscience，2004 (27) ．

[6]魯?shù)婪颉ぐ⒍骱Ｄ?視覺(jué)思維[M].光明日?qǐng)?bào)出版社.1987.

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