多視角下的高中數(shù)學(xué)課堂觀察研究

唐睿

【摘要】 怎樣上好數(shù)學(xué)課？什么樣的課才是好課？北京四中劉長銘校長認為一堂好課應(yīng)該具備“四有”：有知識、有方法、有生活、有境界，筆者稱之為“四有說”。在評價一堂課的優(yōu)劣好壞的標(biāo)準(zhǔn)上，筆者同樣贊賞重慶市數(shù)學(xué)教研室主任張曉斌先生的“三味說”，張先生認為一堂好的數(shù)學(xué)課應(yīng)該要有“三味”，第一味是要有數(shù)學(xué)味，第二味是要有文化味，第三味是要有藝術(shù)味。筆者認為不管是劉長銘校長的“四有說”，還是張曉斌先生的“三味說”，總而言之，一堂好的數(shù)學(xué)課取決于兩個因素，第一個因素是教師對教材的理解，推而廣之是對數(shù)學(xué)的理解，包含對數(shù)學(xué)真、善、美的認識，這種認識應(yīng)該上升到數(shù)學(xué)哲學(xué)以及數(shù)學(xué)文化的高度；第二個因素是教師對教學(xué)的理解，推而廣之是教師對學(xué)生的了解以及對人的認知心理的體察，這種體察應(yīng)該以科學(xué)的心理學(xué)做基礎(chǔ)。誠如19世紀(jì)德國哲學(xué)家、心理學(xué)家，科學(xué)教育學(xué)的奠基人赫爾巴特所說的那樣，“教育學(xué)作為一種科學(xué)，是以實踐哲學(xué)和心理學(xué)為基礎(chǔ)的。前者說明教育的目的；后者說明教育的途徑、手段與障礙?！边@應(yīng)該成為所有教育工作者的信念和追求！

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué) 課堂觀察

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）03-046-02

一、從美學(xué)視角觀察：一堂好的數(shù)學(xué)課應(yīng)該要有數(shù)學(xué)味

（一）數(shù)學(xué)是什么以及數(shù)學(xué)美在哪

首先，數(shù)學(xué)是研究空間形式及其數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科（這是恩格斯給數(shù)學(xué)下的一個經(jīng)典的定義），我把它簡稱為數(shù)和形，數(shù)學(xué)蘊含著宇宙中數(shù)和形的統(tǒng)一、和諧之美。在高中階段，不管是純數(shù)學(xué)模塊如分析學(xué)、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)還是應(yīng)用數(shù)學(xué)模塊如研究數(shù)據(jù)采集與數(shù)據(jù)分析的統(tǒng)計、概率之學(xué)，都不能脫離數(shù)和形這兩個范疇。見過鸚鵡螺的人，一定會被其優(yōu)美的外形以及神奇的構(gòu)造所震撼（如下圖所示）。大自然中，這種螺線無處不在，宏大如宇宙星云的形狀，微小如向日葵的花瓣、松樹的果實等等。為什么鸚鵡螺那么美？這里有所謂“形”的博大，也有“數(shù)”的精深，是一種極致之美?？梢赃@么說，數(shù)學(xué)和哲學(xué)一樣，蘊含著我們宇宙中之至真、至善、至美。從形的方面觀察，她與數(shù)學(xué)中的黃金螺線相近，從數(shù)的角度挖掘，她跟數(shù)學(xué)中的斐波那契數(shù)列、黃金分割、自然律e都有關(guān)。所以數(shù)學(xué)家伯努利臨死前囑咐要將這種螺線銘刻在其墓碑上。

其次，數(shù)學(xué)研究問題解決，蘊含著人們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題以及解決問題的精神、思想、方法，這是數(shù)學(xué)的思辨、理性之美，這也是我認為數(shù)學(xué)使人聰明的原因。就此意義上講，數(shù)學(xué)教學(xué)中，比教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識更重要的是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光、素養(yǎng)和頭腦。問題解決尤其離不開轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化和化歸無處不在，極端一點講，問題解決就是轉(zhuǎn)化和化歸，如美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞寫《怎樣解題》也是這個意思。轉(zhuǎn)化即變化，一個人如果能夠懂得變化，就能化腐朽為神奇。

（二）數(shù)學(xué)教什么以及怎樣學(xué)數(shù)學(xué)

首先，數(shù)學(xué)課堂的第一個任務(wù)就是數(shù)學(xué)知識的教學(xué)。數(shù)學(xué)知識可以分為兩類，即概念性的知識和原理性的知識，其中數(shù)學(xué)的公式、性質(zhì)、法則、定理、公理都可以稱為原理性的知識，而概念性的知識尤其重要，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心任務(wù)。數(shù)學(xué)知識的教學(xué)的一個總的原則應(yīng)該是“問題驅(qū)動”，充分挖掘數(shù)學(xué)知識的形成過程及其本質(zhì)。例如復(fù)數(shù)概念的教學(xué)，虛數(shù)是如何產(chǎn)生的，其中的來龍去脈是不能完全回避的，而不能和教材一樣地處理，給人以粗糙和牽強的感覺。又如橢圓定義的教學(xué)，如何抓住橢圓定義的本質(zhì)呢？橢圓上同一個點對應(yīng)的兩條焦半徑的長度是可變的，但變化中有不變，也就是兩條焦半徑的和是一個不變量，這個不變的東西才是橢圓定義的本質(zhì)。

其次，數(shù)學(xué)課堂的第二個任務(wù)就是數(shù)學(xué)解題的教學(xué)。數(shù)學(xué)的習(xí)題包括例題和練習(xí)，對數(shù)學(xué)解題的教學(xué)原則，我最欣賞汕頭金中盧鎮(zhèn)豪老師的一句話：一題多用，充分挖掘例題的教學(xué)功能。重視一題多用，包括一題多思、一題多變、一題多解。首先就是要重視解后思，其次就是要重視同一個問題的多種解法，再次就是要重視題的變化，即變化題目。只有這樣才能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新意識，舉一反三觸類旁通。

怎樣學(xué)數(shù)學(xué)？首先，是要學(xué)會數(shù)學(xué)地表達。我們知道表達是要靠語言為媒介的。什么是數(shù)學(xué)的語言？通常說的有三種，文字語言、圖形語言、符號語言，那么我認為圖形語言、符號語言才是真正的數(shù)學(xué)的語言。所以，尤其要重視圖形和符號在數(shù)學(xué)的教學(xué)中的作用。舉例來說，很多高一新生在剛?cè)雽W(xué)時，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會產(chǎn)生困難，我認為一個重要的原因就是對集合語言不能適應(yīng)，尤其是集合的符號語言，比如描述法，在我們數(shù)學(xué)中是有一定的規(guī)范的約定和要求的，如果不能清楚的認識集合的符號語言，就不能很好的理解集合中元素的構(gòu)成，對后續(xù)知識的學(xué)習(xí)甚至整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)將帶來不利的難以挽回的影響。這是我們不能不引起重視的。

怎樣學(xué)數(shù)學(xué)？其次，是要學(xué)會數(shù)學(xué)地思維。何謂數(shù)學(xué)地思維？學(xué)會數(shù)學(xué)地思維，就要體會數(shù)學(xué)的思想在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)以及數(shù)學(xué)解題的學(xué)習(xí)中的重要作用。什么是數(shù)學(xué)思想？所謂思想者，即方法論也。高中數(shù)學(xué)究竟有哪些數(shù)學(xué)思想？從這些數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)知識教學(xué)以及數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的地位和作用來說，我把它們分為以下幾種，即數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化化歸的思想、分類分步的思想以及歸納演繹的思想。為此我還專門總結(jié)過幾句話如下：第一句話就是“數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高境界”。第二句話就是“轉(zhuǎn)化化歸是數(shù)學(xué)解題的不二法門”。第三句話就是“分類與分步是數(shù)學(xué)攻難的慣用手段”。第四句話就是“歸納與演繹是數(shù)學(xué)推理的基本方法”。限于篇幅，這里不再詳細論述。

二、從哲學(xué)視角觀察：一堂好的數(shù)學(xué)課應(yīng)該要有文化味

（一）數(shù)學(xué)文化與我們對數(shù)學(xué)精神的認識

什么是數(shù)學(xué)文化？首先我把數(shù)學(xué)文化理解為人們對數(shù)學(xué)本身蘊含的一種真、善、美的東西的認識，這里有人類理性的光芒，也有數(shù)學(xué)應(yīng)用的價值。我所理解的數(shù)學(xué)精神的核心在于變化和不變。變化中蘊含這不變，對那個不變的東西的研究正是數(shù)學(xué)的永恒追求，也是數(shù)學(xué)的信仰。但對不變的那個東西的探究又需要懂得變化，變化是問題解決的必然途經(jīng)。所以說，不變是數(shù)學(xué)的追求，而變化是數(shù)學(xué)的智慧，全部的數(shù)學(xué)就是在研究變化與不變，全部的哲學(xué)不也是如此嗎。如斐波那契數(shù)列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……這跟《道德經(jīng)》的思想很吻合，《道德經(jīng)》中說：“道生一，一生二，二生三，三生萬物”。這個神奇的數(shù)列仍然可以印證萬事萬物變化中蘊含不變的道理，因為這個數(shù)列的每一項與后一項的比值的極限值即為黃金比例，這個值的三角形式為。如前所述，黃金比例代表了宇宙中一種極致的美。

（二）數(shù)學(xué)文化與我們對數(shù)學(xué)思想的了解

什么是數(shù)學(xué)文化？談到數(shù)學(xué)文化，往往會聯(lián)想到數(shù)學(xué)史。宏觀地觀察數(shù)學(xué)，從歷史上考察數(shù)學(xué)的進步，確實是揭示數(shù)學(xué)文化層面的重要途徑。講數(shù)學(xué)文化不能僅限于數(shù)學(xué)史，但是也絕不能脫離數(shù)學(xué)史。我理解的數(shù)學(xué)史，應(yīng)該包括數(shù)學(xué)的人物史、符號史、危機史、思想史等等。這里我想到了著名數(shù)學(xué)家柯朗在名著《數(shù)學(xué)是什么》的序言中這樣寫道：“今天，數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴重的危機。數(shù)學(xué)教學(xué)有時竟變成一種空洞的解題訓(xùn)練。數(shù)學(xué)研究已出現(xiàn)一種過分專門化和過于強調(diào)抽象的趨勢，而忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及與其他領(lǐng)域的聯(lián)系。”數(shù)學(xué)的過度形式化、功利化走了一個極端，到了該回歸的時候了。

三、從心理視角觀察：一堂好的數(shù)學(xué)課應(yīng)該要有藝術(shù)味

（一）教學(xué)設(shè)計的藝術(shù)性

課堂教學(xué)究竟該怎樣設(shè)計？很多學(xué)校提出了自己的教學(xué)模式！如四川省棠湖中學(xué)、廣州市真光中學(xué)、汕頭市金山中學(xué)、河北省衡水中學(xué)?，F(xiàn)在比較流行的是高效課堂、翻轉(zhuǎn)課堂以及微課程教學(xué)法。對于教學(xué)模式的革新，我十分贊同南京師范大學(xué)陶維林教授的觀點，即教學(xué)模式的改變第一個關(guān)鍵在于改變教師的教學(xué)行為，教學(xué)模式的改變第二個關(guān)鍵在于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，而關(guān)鍵的關(guān)鍵是改變教師的教學(xué)行為。

1.新的教學(xué)模式應(yīng)遵循的理念和原則

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)真正做到先學(xué)后教先做后講，先學(xué)后教是針對知識教學(xué)而言的，先做后講是針對解題教學(xué)而言的。具體來說，這種做法應(yīng)該落實到備課上。我的第一個觀點是：提前備好一周的課。我的第二個觀點是：上課的的材料要提前交給學(xué)生。學(xué)生先預(yù)習(xí)了，習(xí)題先做了，上課才能跟得上、效果好，這也是很多名校的經(jīng)驗，導(dǎo)學(xué)案不就是這個意思嗎？這種做法其實是對傳統(tǒng)課堂的顛覆：作業(yè)的目的改變了，布置作業(yè)由鞏固作業(yè)為主轉(zhuǎn)變?yōu)轭A(yù)習(xí)作業(yè)為主；此外課堂的目的也改變了，課堂教學(xué)由學(xué)習(xí)新知識轉(zhuǎn)變?yōu)榻獯鹨苫蟆⑾諡橹鳌?/p>

2.新的教學(xué)模式可操作的步驟和方法

第一階段可叫自主生疑，這是課前預(yù)習(xí)階段；第二階段可叫互動解疑，這是課堂消化階段；第三階段可叫內(nèi)化遷疑，這是課后復(fù)習(xí)階段。在此過程設(shè)計中，最有價值的東西在于一個“疑”字，“學(xué)始于疑”嘛！課堂階段又可分三步實施：第一步為創(chuàng)境設(shè)問，這是破題引入階段；第二步為探究發(fā)現(xiàn)，這是支架導(dǎo)學(xué)階段；第三步為拓展引申，我稱之為提煉得要階段?？梢赃@樣設(shè)計：第一步，先讀一讀、想一想；第二步，先試一試、議一議；第三步，先說一說、練一練。

3.新的教學(xué)模式下師生的角色和地位

改變教師的教學(xué)行為以把握教師角色的定位為根本，教師首先應(yīng)該是一個提問者，其次還是一個答疑者，而不是一個知識的講授者，更不是一個知識的灌輸者；改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式以提高學(xué)生的自學(xué)能力為根本，新的學(xué)習(xí)方式首先應(yīng)該是獨立的、自主的，其次還是合作的、分享的。南京師大陶維林教授認為，啟發(fā)式仍然是最好的教學(xué)方法，啟發(fā)的核心是問題，問題是數(shù)學(xué)的心臟，課堂上教師的主要任務(wù)之一是提問題，以及引導(dǎo)學(xué)生提出問題，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該從問題開始。我很認同陶先生這樣的觀點。沒有問題就沒有啟發(fā)，沒有問題就沒有互動，課堂就只能是滿堂灌，沒有高質(zhì)量的問題，學(xué)生的興趣和激情就不能被激發(fā)，教學(xué)活動就無法輕松自然的開展。

（二）教師講授的藝術(shù)性

藝術(shù)味即包括教學(xué)設(shè)計的藝術(shù)性也包括教師講授的藝術(shù)性，它追求一種藝術(shù)之審美，如音樂般和諧、繪畫般優(yōu)雅、建筑般嚴謹，講究節(jié)奏、韻律、停頓、取舍。講授的藝術(shù)性可以從表達及板書的規(guī)范性、情感性、優(yōu)美性方面做起。

結(jié)束語

以上就是我從課堂觀察的角度談對如何上好數(shù)學(xué)課的理解，或許這種探討過于膚淺，但確實是我很多年的思考，也是很多年的追求，希望閱讀到這篇文章的同行、專家給予批評、指正。值得憂慮的是，我們的教育已偏離其正常軌道，教學(xué)是為了考試，教是知識的灌輸，學(xué)是應(yīng)試的技能，完全背離了教育是為了培養(yǎng)何種人的根本，學(xué)生缺乏對數(shù)學(xué)中所蘊含之真、善、美的思索、探求、領(lǐng)略，學(xué)生對學(xué)科的興趣被扼殺，從而使數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)變得困難。記得美國哈佛大學(xué)有一句著名的校訓(xùn)，“與柏拉圖為友，與亞里士多德為友，更要與真理為友”。反觀應(yīng)試教育背景下現(xiàn)今我們的教育，還有多少人執(zhí)著于這樣的信念？

[ 參 考 文 獻 ]

[1]《數(shù)學(xué)是什么》（美）R·柯朗H·羅賓.

[2]《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》，張景中著.

[3]《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》，（日）米山國藏著.

[4]《怎樣解題》，（美）G.波利亞著，涂泓、馮承天譯.

[5]《數(shù)學(xué)大師：從芝諾到龐加萊》，（美）E·T·貝爾著，徐源譯.

[6]《聰明在于勤奮天才在于積累：數(shù)學(xué)大師華羅庚談怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)》，華羅根著.