生活中的優(yōu)選策略

宋揚(yáng)

[摘 要] 生活中處處有數(shù)學(xué)，優(yōu)化、優(yōu)選問題也時(shí)常可見. 本文主要通過實(shí)例，揭示了解決優(yōu)選問題的策略和各種具體方法，顯示出理論和實(shí)踐相結(jié)合所產(chǎn)生的神奇魅力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)活動(dòng)課；優(yōu)選；最低費(fèi)用；最大利潤；最佳方案；核心素養(yǎng)

課題生活中的優(yōu)選策略

事前準(zhǔn)備

1. 開展家庭用電情況的調(diào)查. 調(diào)查內(nèi)容：本市“峰電”價(jià)、“谷電”價(jià)、不使用“峰谷電”的電價(jià)；家中上個(gè)月（或前兩個(gè)月）的電費(fèi)支出，有否使用“峰谷電”？以及各自的用電度數(shù).

2. 了解應(yīng)聘旅游團(tuán)“團(tuán)長”的條件.

3. 初步學(xué)習(xí)營銷的常識(shí)和基本概念.

活動(dòng)內(nèi)容和實(shí)施過程

1. 是否使用“峰谷電”？居民怎樣選擇，才能得到實(shí)惠？

（1）公布本市供電公司關(guān)于使用“峰谷電”的信息：

為了高效使用電力資源，既有利國家，又惠及百姓，從2012年1月起，居民“峰谷電”試行：每天8 ∶ 00～21 ∶ 00用電每度（千瓦時(shí)）0.56元（峰時(shí)電價(jià)），21 ∶ 00～次日8 ∶ 00每度0.36元（谷時(shí)電價(jià)），而目前不使用“峰谷電”的居民用電每度0.53元.

請各位同學(xué)看一看，所調(diào)查（或了解）的情況與本市供電公司的規(guī)定是否相同？

（2）小亮家使用“峰谷電”后，某月實(shí)際支付電費(fèi)84元，已知“峰電”時(shí)的用量占用電總量的60%，請你幫助計(jì)算一下小亮家當(dāng)月使用了“峰電”和“谷電”各多少度，比不使用“峰谷電”少支出多少錢.

（3）請大家計(jì)算一下：當(dāng)“峰電”用電量不超過當(dāng)月用電總量的百分之幾時(shí)，使用“峰谷電”劃算？

（4）家庭已使用“峰谷電”的同學(xué)，各人計(jì)算一下，自家上個(gè)月（或前兩個(gè)月）“峰電”用量占用電總量的比值（百分?jǐn)?shù)），并看看是否合算；家庭尚未使用“峰谷電”的同學(xué)，根據(jù)家里日常用電的實(shí)際情況，試估計(jì)一下這個(gè)比值（百分?jǐn)?shù)），并建議家長是否要向供電公司申請使用“峰谷電”.

2. 請你當(dāng)一回旅游團(tuán)的“團(tuán)長”

小剛打出了一條招聘廣告：現(xiàn)有一個(gè)50人的旅游團(tuán)，開展“鄉(xiāng)村民俗”游. 旅游團(tuán)住村民家，住宿客房有三人間、兩人間、單人間共三種，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是三人間每人每晚30元，兩人間每人每晚50元，單人間每人每晚80元. 如果旅游團(tuán)一次包住20間（或以上）客房，旅游團(tuán)成員都可獲贈(zèng)一份土特產(chǎn)小禮品. 現(xiàn)招聘旅游團(tuán)“團(tuán)長”一名，其條件是：安排這次旅游住宿，使住宿費(fèi)用最低，還要讓旅游團(tuán)成員都獲得小禮品.

試一試，你能否應(yīng)聘這個(gè)旅游團(tuán)的“團(tuán)長”？

（1）試寫出住宿安排方案（列出相應(yīng)的三元一次不定方程組）；

（2）求這個(gè)不定方程組的非負(fù)整數(shù)解；

（3）確定最佳方案，即住宿費(fèi)用最低且獲優(yōu)惠的安排方案；

（4）旅游團(tuán)住一個(gè)晚上，最低費(fèi)用是多少？

3. 學(xué)習(xí)試當(dāng)營銷經(jīng)理

一手機(jī)專賣店計(jì)劃購進(jìn)某品牌A型、B型、C型三款手機(jī)共60部，每款手機(jī)至少要購進(jìn)8部，且恰好用完購機(jī)款61000元. 三款手機(jī)的進(jìn)價(jià)和預(yù)售價(jià)如下表：

由你來確定手機(jī)進(jìn)貨的最佳方案，使預(yù)估利潤達(dá)到最大.

（1）設(shè)購進(jìn)A型手機(jī)x部，B型手機(jī)y部，請寫出用含x，y的代數(shù)式來表示購進(jìn)C型手機(jī)的部數(shù)；

（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）假設(shè)所購進(jìn)的手機(jī)全部售出，綜合考慮各種因素，在購買、銷售這批手機(jī)過程中需另外支出各種費(fèi)用1500元.

①求出預(yù)估利潤P（元）與x（部）的函數(shù)關(guān)系式；

（注：預(yù)估利潤=預(yù)售總額-購機(jī)款-各種費(fèi)用）

②求出預(yù)估利潤的最大值；

③要獲得最大利潤，求出此時(shí)應(yīng)購進(jìn)A型、B型、C型手機(jī)各多少部，即求這批手機(jī)進(jìn)貨的最佳方案.

部分答案或解析

（3）設(shè)旅游團(tuán)一個(gè)晚上的住宿總費(fèi)用為F元，則F=90x+100y+80z=90（10+z）+100（10-2z）+80z，即得一次函數(shù)F=1900-30z. 因?yàn)橐淮雾?xiàng)系數(shù)k=-30<0，所以F是減函數(shù)，即F隨著z的增大而減少. 所以當(dāng)z=5時(shí)，F(xiàn)最小.

（4）旅游團(tuán)住一個(gè)晚上，最低費(fèi)用Fmin=1900-30×5=1750元.

3. （1）60-x-y.

（2）由題意得900x+1200y+1100·（60-x-y）=61000，整理得y=2x-50（*）.

（3）①由題意有P=1200x+1600y+1300（60-x-y）-61000-1500，將（*）式代入并整理得P=500x+500.

③要獲得最大利潤，應(yīng)購進(jìn)A型手機(jī)34部、B型手機(jī)18部、C型手機(jī)8部.

活動(dòng)創(chuàng)新素材

關(guān)于優(yōu)化、優(yōu)選問題的素材有很多，真可謂繁花似錦. 現(xiàn)精選一部分具有代表性的實(shí)例，并附解題提示和部分答案，以便于不同的教學(xué)階段使用.

1. 某超市對顧客實(shí)行優(yōu)惠購物，規(guī)定如下：若一次購物少于200元，不予優(yōu)惠；若一次購物滿200元，但不超過500元，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠；若一次購物超過500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折優(yōu)惠.

小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元. 現(xiàn)在小亮決定一次去購買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少元？

提示：第一次付款198元，可能是所購物品的實(shí)價(jià)，未享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款，故應(yīng)分兩種情況加以討論.

2. 某景點(diǎn)的門票價(jià)格如下表：

某校七年級一班和二班兩個(gè)班級計(jì)劃去游覽該景點(diǎn)，其中一班人數(shù)少于50人，二班人數(shù)多于50人且少于100人. 如果兩個(gè)班級分別以班為單位單獨(dú)購票，則一共需支付1118元；如果兩個(gè)班級聯(lián)合起來作為一個(gè)團(tuán)體購票，則只需花費(fèi)816元.

（1）兩個(gè)班各有多少名學(xué)生？

（2）聯(lián)合購票與單獨(dú)購票相比較，兩個(gè)班各節(jié)約了多少錢？

提示：結(jié)合表格信息，建立方程組.

3. 某學(xué)校要為七年級數(shù)學(xué)競賽獲獎(jiǎng)選手購買以下三種獎(jiǎng)品，其中小筆記本每本5元，大筆記本每本7元，鋼筆每支10元，購買的大筆記本的數(shù)量是鋼筆數(shù)量的2倍，三種獎(jiǎng)品共花費(fèi)346元. 若要使購買的獎(jiǎng)品總數(shù)最多，則這三種獎(jiǎng)品的購買數(shù)量各為多少？

提示：可建立三元一次不定方程組并求其正整數(shù)解.

4. 某工廠生產(chǎn)A，B兩種型號的產(chǎn)品共50件，其生產(chǎn)成本與利潤如下表：

若該廠計(jì)劃投入資金不超過40萬元，且希望獲利超過16萬元，問：該廠有哪幾種生產(chǎn)方案？哪種方案為最佳方案？最大利潤是多少？

提示：設(shè)生產(chǎn)A型產(chǎn)品x件，建立含x的不等式組，將問題轉(zhuǎn)化為求x的正整數(shù)解并討論.

本次活動(dòng)課教學(xué)要領(lǐng)

1. 認(rèn)真籌劃好活動(dòng)課事前準(zhǔn)備工作，可提前7～10天印發(fā)活動(dòng)課預(yù)習(xí)單，明確預(yù)習(xí)要求，讓全班普遍行動(dòng)起來，每個(gè)同學(xué)都有所準(zhǔn)備.

2. 發(fā)揮數(shù)學(xué)興趣小組的先行和引領(lǐng)作用，協(xié)助、配合活動(dòng)課的開展. 興趣小組成員可適當(dāng)分工，每3～5人領(lǐng)一個(gè)專題（一項(xiàng)活動(dòng)內(nèi)容），各自做好重點(diǎn)準(zhǔn)備.

3. 教學(xué)方式主要是引導(dǎo)式. 對每一項(xiàng)活動(dòng)都可進(jìn)行頂層設(shè)計(jì)、分步實(shí)施、逐步引導(dǎo)，最終到達(dá)目標(biāo). 對問題的討論可采用大組與（鄰近同學(xué)自由組合的）小組相結(jié)合的形式.

4. 老師指點(diǎn)精準(zhǔn)、適時(shí)，并充分運(yùn)用好多媒體教學(xué)手段，及時(shí)顯示當(dāng)前所要解決的問題、解決的過程和結(jié)果.

5. 與本次活動(dòng)課鏈接的課本基礎(chǔ)知識(shí)有：比值（含百分比）、代數(shù)式、方程（組）、不定方程（組）及非負(fù)整數(shù)解、不等式（組）、函數(shù)及增減性、最值等，聯(lián)系較為廣泛.

6. 活動(dòng)創(chuàng)新素材待課后完成，可發(fā)動(dòng)全班收集（每人1～2項(xiàng)），經(jīng)匯總、整理、去重、修訂，梳理出一些基本的和常見常用的類型，印發(fā)補(bǔ)充講義，實(shí)現(xiàn)成果共享，擴(kuò)大教學(xué)成效.

實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)活動(dòng)課的教學(xué)生機(jī)盎然、成效顯著、潛力巨大，是引導(dǎo)學(xué)生接觸社會(huì)、學(xué)以致用、理論聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要平臺(tái)，有助于學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和提升.

目前，核心素養(yǎng)的研討引起了教育界的高度關(guān)注，因?yàn)樗苯雨P(guān)系到創(chuàng)新型人才的培養(yǎng). 核心素養(yǎng)是素質(zhì)教育的一脈相承，是在素質(zhì)教育基礎(chǔ)上的提升與發(fā)展. 要著力解決并增強(qiáng)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)改革中的實(shí)際問題，培育學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的學(xué)習(xí)能力、綜合實(shí)踐能力、自主探究能力和創(chuàng)新能力.

雖然對核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和外延尚未確切界定，沒有嚴(yán)格的定義，但其主要內(nèi)容是明確的. 無疑，綜合實(shí)踐能力、探究創(chuàng)新能力是核心素養(yǎng)極為重要的組成部分，而數(shù)學(xué)活動(dòng)課，尤其是數(shù)學(xué)的綜合與實(shí)踐活動(dòng)課發(fā)揮著獨(dú)特的、無可替代的作用. 數(shù)學(xué)新課標(biāo)已經(jīng)給我們指明了教學(xué)改革的正確方向，堅(jiān)持不懈地努力，就一定能夠達(dá)到預(yù)期的目標(biāo).