基于嶺回歸的壓力傳感器高精度測量模型研究*

龍 軍,關 威,汪旭東,陳 君

(北京控制工程研究所,北京 100094)

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基于嶺回歸的壓力傳感器高精度測量模型研究*

龍 軍*,關 威,汪旭東,陳 君

(北京控制工程研究所,北京 100094)

硅壓阻式壓力傳感器測量精度易受環(huán)境溫度影響,為提高壓力傳感器測量精度,提出基于嶺回歸方法的高精度壓力測量回歸模型,采用新的測量方式從壓力元件橋路提取壓力傳感器溫度、壓力變化的信息,建立了壓力傳感器橋路輸出、橋路電阻與被測壓力三者之間的回歸模型,并利用Bootstrap方法對模型參數進行顯著性檢驗,提高模型的穩(wěn)定性。實驗結果顯示該方法可大幅度消除溫度對壓力測量精度的影響,使壓力測量精度從±0.6% FS提高到±0.03% FS。

壓力傳感器;溫度補償;嶺回歸;Bootstrap;參數顯著性檢驗

硅壓阻式壓力傳感器具有靈敏度高、動態(tài)相應快、測量精度高的特點,并具有較好的介質相容性和長期穩(wěn)定性,因而在工業(yè)過程控制、生物制藥、航空航天等領域有著廣泛的應用。由于半導體材料本身對溫度非常敏感,使得傳感器的輸出不僅受壓力的影響,還會受環(huán)境溫度變化的影響,從而產生溫度漂移,加上傳感器本身存在的非線性,使傳感器的測量精度大大降低[1]。因而,為提高壓力傳感器的測量精度,就需要對壓力傳感器進行溫度補償,以滿足高精度壓力測量的需求。

針對硅壓阻式壓力傳感器存在的溫度漂移和非線性問題,常用的補償方法有硬件補償法和軟件補償法[2-6]。硬件補償法是指采用硬件電路的方法對壓阻橋路進行補償,比如在橋臂上或橋路外串、并聯(lián)固定電阻或熱敏電阻的方式對壓力傳感器進行溫度和非線性補償。硬件補償方法通常只能抵消溫度引起的失調和靈敏度漂移,而且補償過程復雜、調試困難、通用性差。軟件補償方法則是利用傳感器的溫度和壓力信息,運用相應的數學算法來構建回歸模型。軟件補償算法通常具有補償精度高,通用性強的特點,有利于壓力傳感器的實際工程應用[7-9]。

壓力傳感器的軟件補償通常可以轉化為多元回歸建模的問題,在進行多元回歸建模時,通常會遇到多重共線性問題,多重共線性指的是多元回歸模型自變量間存在一定程度的相關現象,當回歸方程的自變量之間出現多重共線性關系時,如果采用最小二乘法建立回歸模型,則模型的精確性和穩(wěn)定性都得不到保證,模型的預測精度會大大降低,所建立的回歸模型將沒有實用價值[10-13]。

為克服多重共線性在回歸建模中帶來的問題,以嶺回歸為代表的有偏估計方法得到了人們的重視。嶺回歸是在1962年由Heer等人提出的一種改進的最小二乘估計方法,它針對最小二乘回歸中自變量存在多重共線性時估計性能變差的缺陷而提出的一種方法,嶺回歸通過引入嶺參數改變最小二乘法中對回歸系數估計的不穩(wěn)定性,進而使得參數估計值更加更加穩(wěn)定,提高建模的準確性[10-11]。

Bootstrap法是美國斯坦福大學統(tǒng)計系教授Efron于1979年提出的一種再抽樣方法[10],該方法以原始數據為基礎的模擬抽樣統(tǒng)計推斷法,可用于研究數據的統(tǒng)計量分布特征,特別適用于那些難以用常規(guī)方法導出對參數的區(qū)間估計,假設檢驗等問題。由于嶺回歸模型參數的精確分布難以確定,因而無法用參數估計的方法對其模型參數進行統(tǒng)計學檢驗,但基于Bootstrap的非參數統(tǒng)計學方法卻不受總體分布的限制,可用來檢驗模型中每個自變量參數是否有統(tǒng)計學意義。

本文提出了基于嶺回歸方法的壓力傳感器高精度測量模型,首先從壓力元件橋路提取傳感器溫度、壓力變化信息,并采用嶺回歸方法進行建模,再結合Bootstrap方法對模型參數進行顯著性檢驗,最終建立了壓力傳感器橋路輸出、橋路電阻與被測壓力三者之間的多元非線性回歸模型。與傳統(tǒng)的高精度壓力傳感器溫度補償方法相比,本文提出的方法無需布置額外的溫度傳感器進行測溫,克服了傳感器之間存在溫度差的問題,能有效提高壓力傳感器的測量精度。

1 溫度補償原理

在實際進行溫度補償的過程中,溫度變化引起的輸出量變化和壓力變化引起的輸出量變化具有耦合性,很難區(qū)分輸出變化是由于溫度引起還是壓力變化引起的。因此,要對硅壓阻式壓力傳感器進行補償,首先要想辦法獲得能夠反映溫度以及壓力變化的特征參數,然后采用多元回歸方法對傳感器溫漂和非線性誤差進行補償。

如圖1所示為硅壓阻式壓力傳感器的測量電路,它是硅片上布置的4個應變電阻條組成的惠斯通電橋,電橋中的4個應變橋臂阻值不僅會隨壓力的變化而變化,還會隨溫度的變化而變化。

圖1 硅壓阻式壓力傳感器的橋式電路

圖1中,設R為在溫度為0 ℃,壓力為0 Pa時(絕壓傳感器)的橋臂阻值,R為恒定值;ΔRP為受壓力后的橋臂阻值變化量;ΔRT為受溫度影響的變化量;VS為橋路上施加的恒定電壓;VO為橋路輸出電壓信號。由此可以得到:

(1)

由式(1)可以看出,橋路輸出電壓信號會同時受到溫度、壓力的影響。因此需要找到能反映溫度變化的量。從橋式電路很容易可以知道,橋路并聯(lián)電阻RB可以表示為R+ΔRT,是一個與溫度相關的量?？梢钥闯?RB與壓力產生的應變沒有關系,僅與溫度引起的附加應變有關。因此,可以利用RB作為反映溫度變化的參數,也即采用壓力傳感器本身的進行溫度測量。這樣做的好處是:直接利用壓力傳感器橋路元件本身來反映溫度變化,避免由于外加溫度傳感器而導致測量溫度和壓阻傳感器應變膜片的實際溫度存在差異給補償帶來誤差,提高了補償的精度。由于省去了外加的溫度傳感器,這樣便簡化了溫度補償的壓力傳感器硬件電路。

上述分析是建立在假設四橋臂電阻初始阻值、溫度系數、壓阻系數一致基礎上的,而在實際應用中,被測壓力為零時,4個應變橋臂初始阻值以及電阻的溫度系數和壓阻系數不可能完全一致,電橋輸出電壓可表示為:

(2)

橋臂的并聯(lián)總電阻RB表示為:(R1+R2)∥(R3+R4),有

(3)

定義SB=VO/I,其中I為流過橋路的總電流,I=VRB/RB,結合式(1)可得,

(4)

則式(1)可寫成

(5)

由于R1、R2、R3、R4均會受到壓力P和溫度T的影響,是溫度和壓力的二元函數,因此RB和SB也可以表示為P、T的二元函數的形式。

(6)

式(6)消去變量T可得,

P=f(RB,SB)

(7)

式中:P為被測壓力,根據上述部分得出的結論可以知道,利用壓力傳感器敏感橋路本身對溫度和壓力敏感的特點,SB主要反映壓力的影響,而RB則主要反映溫度的變化,因此可以將SB和RB作為壓力傳感器溫度補償模型的特征參數,建立式(7)所示的溫度補償模型,下面將介紹如何從實際測量電路中獲得SB和RB。

為了利用橋路元件本身對溫度敏感的特性來進行溫度補償,需要在測量電路中引入高精密低溫漂參考電阻RREF。則流過參考電阻的電流與流過橋路的總電流相等,可表示為I=VREF/RREF。則SB、RB可以由下式確定:

(8)

(9)

因此,在實際應用中,通過測量電路中3個差分電壓信號VO、VRB、VREF,然后通過式(8)、式(9)計算得到SB和RB的值。通過建立SB、RB和壓力P之間的多元回歸模型,從而得到硅壓阻式壓力傳感器的溫度補償模型。

2 壓力傳感器溫度補償模型

由上述內容可知,式(7)所述的模型不再依賴外部溫度傳感器來測量溫度,而是利用測量橋路自身的參數SB和RB來進行溫度補償。

上述模型具有兩個自變量,本文采用最常用的多項式回歸模型來建立SB和RB與P的映射關系。設待求多項式中SB的最高次數為m-1,RB的最高次數為n-1,同時SB和RB之間有耦合關系,則具有如下形式:

(10)

式中:Cij為上述模型的系數矩陣。上式向量表達形式為:

(11)

式中:

(12)

(13)

(14)

為了求解上述線性方程的系數矩陣Cij,可將上述向量表達式轉化為線性回歸的正規(guī)方程表達式,可以寫成:

Y=XβT

(15)

2.1 嶺回歸模型建立

設x1,…,x2,…,xm是標準化變量,XTX為x1,x2,…,xm的相關系數矩陣?；貧w系數β的最小二乘估計為β=(XTX)-1XTY,定義嶺回歸估計:

β(k)=(XTX+kI)-1XTY

(16)

式中:β為嶺回歸估計,其中I為單位矩陣,k(0≤k≤∞)為嶺參數。

當自變量之間存在復共線關系時,|XTX|≈0,最小二乘估計求得的回歸系數會出現與實際情況很不符合的異?，F象,而XTX+kI接近異常的程度會比XTX接近異常的程度小得多,即最小二乘在復共線狀態(tài)下的偏差部分雖然為零,但它的方差部分卻很大,最終致使它的均方誤差很大,而嶺回歸是犧牲無偏性,換取方差部分的大幅度減少,最終降低其均方誤差。因而,嶺回歸估計可改變最小二乘對回歸參數估計的不穩(wěn)定性[4]。

2.2 模型階數確定

由于式(10)所示的多項式模型是對式(7)的近似,所以多項式模型階數應當在滿足擬合精度的前提下取最小,盡可能降低模型計算量。為此,選擇單點最大擬合誤差、誤差平方和作為約束條件來確定模型階數,式(17)所示為單點最大擬合誤差需小于給定允許誤差e,誤差平方和如式(18)所示。

(17)

(18)

上述多元多項式模型階數確定的具體步驟歸納如下:①在傳感器的工作范圍內選取足夠多足夠均勻的點,測量傳感器的靜態(tài)特性標定數據,獲得標定試驗數據集,所用標定儀器測量精度應高于待設計壓力測量系統(tǒng)精度;②估計m和n的初始范圍,對于每一個m、n組合,利用嶺回歸方法計算其系數矩陣C和滿足約束條件式(17)和式(18);③在滿足擬合精度滿足第1條的m、n組合中選m+n最小的一組作為最終多項式的次數,如果m+n取最小有兩種或兩種以上不同選擇方案,選擇使式(17)最小的一組。

2.3 基于Bootstrap的模型參數檢驗

本文所用方法為利用Bootstrap對嶺回歸模型參數進行顯著性檢驗[10]。其步驟如下:

①由原始數據集建立的嶺回歸模型

(19)

擬檢驗的H0假設為:

H0:=0

(20)

H1:≠0

(21)

②在原數據集S中隨機抽取1個樣本點(yi(1),xi1(1),xi2(1),…,xip(1)),觀察其值后,放回原數據集S。再從原數據集中抽取第2個樣本點,觀察其數值,重復n次,從而得到一個Bootstrap樣本

S(1)={(yi(1),xi1(1),xi2(1),…,xip(1)

(22)

式中:i=1,2,3,…,n。

③以Bootstrap樣本S(1)做嶺回歸,得到的嶺回歸模型為

y=β1(1)x1+β2(1)x2+…+βp(1)xp

(23)

④重復步驟(2)、(3)N次,得到N組回歸系數。本文取N=200。

{β1(b),β2(b),…,βp(b)} (b=1,2,…,N)

(24)

⑤記

(25)

式中:b=1,2,…,N;j=1,2,…,p。

⑥判別準則為:

如果

(26)

則拒絕H0假設,βi顯著不為0,這時稱自變量xj有統(tǒng)計學意義;否則不拒絕H0假設,自變量無統(tǒng)計學意義,xj未通過顯著性檢驗。

將所有有統(tǒng)計學意義的自變量在原數據集上重新建立嶺回歸方程,重復步驟①～步驟⑥,直到剩下所有的變量都通過假設檢驗。

2.4 實驗驗證

實驗中選用某型硅壓阻式壓力傳感器作實驗元件,其測量范圍為0～2.0 MPa,在-10 ℃～55 ℃范圍內元件本身測量精度為在±1% FS以內,采用補償算法后目標測量精度要求為優(yōu)于±0.05% FS。

按照圖2所示構成測量電路,橋路供電電壓為5 V,本實驗的壓力傳感器電橋橋臂電阻R=2.8 kΩ。為了盡量減小電橋的功耗和發(fā)熱,需要將流過電橋電阻的電流控制在1 mA左右,所以電橋參考電阻RREF取2.2 kΩ,精度為0.05%,溫漂5×10-6/℃。

圖2 硅壓阻式壓力傳感器溫度壓力提取電路示意圖

實驗中,將壓力傳感器放置于溫度箱中,在-10 ℃～55 ℃范圍內共設置7個溫度點(分別為-10 ℃、-5 ℃、5 ℃、15 ℃、25 ℃、35 ℃、55 ℃)。對于每個溫度點,選取6個壓力點(分別為0.12MPa、0.6MPa、1.0MPa、1.4MPa、1.6MPa、2.0MPa)加載壓力,進行傳感器的靜態(tài)特性標定。即在每個溫度下,當溫度變化率小于2 ℃/h時認為溫度穩(wěn)定,此時可對壓力傳感器進行加壓標定,采用16bitA/D數據采集卡對電壓信號VO、VRB、VREF壓進行采集。實驗中采用的壓力校驗儀是美國Paroscientific公司的Model745-500A,壓力校驗范圍0～3.45MPa,精度為0.008%FS。

實驗共獲得42個數據點,表1所示為不同溫度點下的實驗數據,其中SB為反映壓力變化的參數;RB為反映溫度變化的參數。數據處理過程中,首先對原始數據進行必要的預處理,如多次測量取平均值、剔除病態(tài)數據,之后選取合適的歸一化函數分別將計算獲得的參數SB、RB進行歸一化,有助于降低數值計算中的誤差。

表1 溫度標定數據

利用以上實驗數據,根據式(10)進行建立二元多項式回歸模型,估計m、n的范圍在2～8之間,對每一組m、n分別求取系數矩陣Cij、式(17)和式(18)。

在測量誤差小于0.05%FS的條件下,最終確定模型階數為m=5,n=4,結合Bootstrap方法對該模型參數進行檢驗,檢驗結果如圖3所示。圖3為檢驗水平a取0.05,k=5×10-7,k=5×10-8,k=5×10-9時的參數檢驗情況,根據式(26)判別式可知當k=5×10-8時,20個自變量系數全部通過顯著性檢驗,所得到的模型參數最穩(wěn)定,得到的系數矩陣Cij如表2所示。

圖3 基于Bootstrap方法的模型參數檢驗結果

多項式系數Cijj=0j=1j=2j=3i=0-8．24226．185-27．6289．703i=1-3．03812．849-10．1982．526i=2-2．2458．908-10．9734．186i=3-3．8429．990-8．2462．250i=4-2．1817．910-9．5223．734

為了驗證模型的有效性,選取-10 ℃～55 ℃范圍內的測試數據對補償前后的測量模型進行對比,誤差分布如圖4所示,圖中error表示擬合預測誤差。由圖4可看出,在-10 ℃～55 ℃范圍工作范圍內,補償前傳感器的測量誤差在±0.6% FS左右,采用本文方法補償后最大測量誤差在±0.03% FS左右。

圖4 壓力測量模型預測誤差分布

3 結束語

本文針對硅壓阻式壓力傳感器存在的溫度漂移和非線性問題,利用壓力傳感器元件橋路本身對溫度、壓力敏感的特點,采用從壓力元件橋路提取傳感器溫度、壓力變化信息的測量方式,結合嶺回歸方法和Bootstrap參數檢驗,建立了壓力傳感器橋路輸出、橋路電阻與被測壓力三者之間的嶺回歸模型,并有效解決了嶺回歸方法中參數選擇問題。最終獲得壓力測量模型大幅度消除了溫度對壓力測量精度的影響,壓力測量精度由±0.6% FS提升到±0.03% FS。該方法可以避免安裝額外的溫度傳感器,克服了傳感器之間存在溫度差的問題,同時補償算法所需的數據存儲量也遠少于多點插值法,具有很強的工程實用價值。

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龍 軍(1985-),男,湖北荊門人,2013年獲浙江大學控制科學與工程專業(yè)工學博士學位,現為北京控制工程研究所高級工程師,主要從事傳感器信號處理及高精度測量電路研究,longjun20811307@gmail.com。

Study on High Accuracy Measurement Model of Pressure Sensor Based on Ridge Regression*

LONGJun*,GUANWei,WANGXudong,CHENJun

(Beijing Institute of Control Engineering,Beijing 100094,China)

The measurement accuracy of silicon piezoresistive pressure sensor is easily affected by environment temperature. To improve the measurement accuracy of the pressure sensor,a regression model based on ridge regression was proposed,a novel measurement method was adopted to extract the pressure and temperature information from the pressure sensor,and then a regression model between the pressure sensor bridge output,bridge resistance and the measured pressure was built. To improve the stability of the regression model,the Bootstrap method was used for a statistical significance test of the model parameters. Experimental results show that the proposed method can greatly eliminate the effect of temperature on pressure measurement,so that the accuracy of pressure measurement can be improved from ±0.6% FS to ±0.03% FS.

pressure sensor;temperature compensation;ridge regression;bootstrap;parameter significance test

項目來源:十二五民用航天項目(E020415)

2016-08-01 修改日期:2016-11-13

TP212

A

1004-1699(2017)03-0391-06

C:7230

10.3969/j.issn.1004-1699.2017.03.010