高中階段平均值不等式的幾點(diǎn)應(yīng)用

賀安全

【摘要】均值不等式是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，在很多領(lǐng)域都有十分重要的應(yīng)用，是高考試題的一個(gè)熱點(diǎn)。筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，淺談了高中階段平均值不等式的幾點(diǎn)應(yīng)用，具有一定的參考意義。

【關(guān)鍵字】均值不等式；高中；應(yīng)用；最值

中圖分類號(hào)：G633.6

均值不等式是高中數(shù)學(xué)教材的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，在這部分的學(xué)習(xí)中，均值不等式的應(yīng)用主要有三個(gè)方面，用于求最值，用于比較式子大小和用來證明不等式的成立。應(yīng)用均值不等式解題時(shí)需要注意均值不等式的使用條件，掌握變形技巧，這樣才能得心應(yīng)手的應(yīng)用均值不等式。作為一名數(shù)學(xué)教育工作者，我在教學(xué)時(shí)不斷摸索和總結(jié)高效的教學(xué)方法，我發(fā)現(xiàn)通過開展總結(jié)性的教學(xué)專題，有利于取得更好的教學(xué)效果。例如，在教學(xué)均值不等式這部分時(shí)，我對(duì)均值不等式的各種應(yīng)用情況和應(yīng)用技巧進(jìn)行總結(jié)，使同學(xué)們形成一個(gè)系統(tǒng)的框架，有利于加深同學(xué)們的理解，熟練的進(jìn)行應(yīng)用。

一、靈活配湊，求出最值

應(yīng)用均值不等式求最值有直接求最值、巧妙變形求最值、結(jié)合待定系數(shù)法求最值三個(gè)層次。解題時(shí)的技巧是要學(xué)會(huì)靈活的配湊，配湊方法主要有拆項(xiàng)配湊法、加倍裂項(xiàng)配湊法、平方裂項(xiàng)配湊法、添項(xiàng)配湊法、換元配湊法和待定系數(shù)配湊法等。

我在對(duì)這一應(yīng)用類型進(jìn)行教學(xué)時(shí)，將每種配湊方法都用對(duì)應(yīng)的幾道典型例題進(jìn)行講解，讓同學(xué)們體會(huì)配湊方法的選取與應(yīng)用。例如，已知x>-1<-1，求函數(shù)y=（x+5）（x+2）/（x+1）的最小值。解題時(shí)，我們選取了拆項(xiàng)配湊法，在各因式中分別配湊出（x+1），借助于裂項(xiàng)解決問題。因?yàn)閤+1>0，所以y=[（x+1）+4][（x+1）+1]/（x+1），進(jìn)而化簡(jiǎn)為y=[4/（x+1）]（x+1）+5，化簡(jiǎn)到這一式子即可應(yīng)用均值不等式，y≥5+2√（x+1）[4/（x+1）=9，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)成立，y的最小值為9。通過對(duì)典型例題進(jìn)行分析與講解，同學(xué)們掌握了拆項(xiàng)配湊法求最值的解題方法。另外，對(duì)于不同的求最值題型，我也總結(jié)出相應(yīng)的求解技巧，以促進(jìn)同學(xué)們遇到時(shí)能快速的做出判斷。例如在求幾個(gè)正數(shù)和的最值時(shí)，解題關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其積為常熟，然后選用配湊的方法進(jìn)行變換。求幾個(gè)正數(shù)積的最大值時(shí)，首先需要?jiǎng)?chuàng)造條件使和為常數(shù)。通常是通過乘以或除以常熟或拆因式的方法創(chuàng)造。最后，我對(duì)同學(xué)們的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行了強(qiáng)調(diào)，同學(xué)們解題時(shí)常常忽略了定值的選取或是“=”號(hào)成立的條件，并對(duì)同學(xué)們的錯(cuò)題進(jìn)行舉例，以加深同學(xué)們的記憶，達(dá)到更好的教學(xué)效果。

在上述教學(xué)過程中，我通過習(xí)題講解的方法向同學(xué)們滲透各種求最值的方法，目的是讓同學(xué)們學(xué)會(huì)如何靈活的應(yīng)用均值不等式。利用均值不等式求最值的方法多種多樣，變化多端，只有掌握所有的變形技巧和求解方法，多做一些求最值的題型，加強(qiáng)訓(xùn)練，多多體會(huì)，在解題時(shí)靈活的配湊，才能達(dá)到舉一反三的目的。

二、注意條件，比較大小

均值定理可以用來比較式子的大小。掌握這一均值定理的應(yīng)用的方法是快速求最值，證明不等式和解決應(yīng)用題這些題型的基礎(chǔ)。同學(xué)們需要通過進(jìn)行靈活的變化，應(yīng)用均值不等式來比較式子大小。

對(duì)于這一應(yīng)用，同學(xué)們經(jīng)常會(huì)忽略均值定理的使用條件，致使解題思路雖然正確但因?yàn)橐恍┢疃e(cuò)誤。對(duì)于這部分進(jìn)行總結(jié)時(shí)，我將同學(xué)們出現(xiàn)過的典型錯(cuò)題進(jìn)行分析與講解，讓同學(xué)們既學(xué)會(huì)這一應(yīng)用的技巧和方法，同時(shí)把握住易錯(cuò)點(diǎn)，做題時(shí)謹(jǐn)慎注意。例如，a>b>1，Q=√（lga*lgb），W=（lga+lgb）/2，S=lg[（a+b）/2]，比較Q、W、S的大小。因?yàn)閍>b>1，所以我們可以判斷出lga>lgb>0，所有變?cè)獮檎龜?shù)，因此在解題時(shí)，可以通過均值定理來比較三個(gè)式子的大小。否則，如果題目中沒有給出a>b>1的條件，我們需要分a>1，b>1和a<1，b<1，和a>1，b<1，和a<1，b>1這四種情況進(jìn)行分類討論的。同學(xué)們?cè)诮忸}過程中，需要首先判斷是否可以應(yīng)用均值定理，在解答中明確的寫出判斷能夠應(yīng)用均值定理的條件，然后再進(jìn)行比較大小，這樣的解題過程才是最完整、最準(zhǔn)確的解答。

在應(yīng)用均值定理比較大小時(shí)，同學(xué)們一定要首先判斷是否滿足應(yīng)用均值定理一“正”，二“定”，三“相等”的條件，然后靈活的應(yīng)用均值不等式a^2+b^2≥2ab和a+b≥2√（a*b），進(jìn)行式子大小的比較。

三、巧妙代換，轉(zhuǎn)化證明

均值定理是證明不等式的有力工具，應(yīng)用技巧主要有巧用常熟、巧變項(xiàng)，通過巧添、巧拆、巧湊常數(shù)或者是項(xiàng)進(jìn)行巧妙的代換，然后應(yīng)用均值定理實(shí)現(xiàn)不等式的證明。

對(duì)于均值定理的這一應(yīng)用的教學(xué)中，我首先通過例題講解了巧用常數(shù)與巧變項(xiàng)的方法。例如，已知a>0，b>0，a+b=1，求證√（a+1/2）+√（b+1/2） ≤2。對(duì)于這道題的求解，是通過巧用常數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的。為了脫去左邊不等式的根號(hào)，可以通過條件a+b=1來實(shí)現(xiàn)，把a(bǔ)+1/2看作是（a+1/2）*1把， b+1/2看作是（b+1/2）*1，然后利用均值定理湊出常數(shù)因子，√[1*（a+1/2）] ≤（1+a+1/2）/2=a/2+3/4，√[1*（b+1/2）] ≤（1+b+1/2）/2=b/2+3/4，因此原不等式就轉(zhuǎn)化為√（a+1/2）+√（b+1/2） ≤a/2+3/4+ b/2+3/4=（a + b）/2+3/2=2，不等式得證。通過對(duì)于這一例題的講解，同學(xué)們理解了巧用常數(shù)這一技巧。同樣的其他常數(shù)的用法和項(xiàng)的用法也是通過例題向同學(xué)們滲透。對(duì)方法進(jìn)行完總結(jié)后，我對(duì)利用均值定理證明不等式的常見題型進(jìn)行了匯總。第一類是對(duì)稱性的不等式，這類不等式的證明技巧通常是分別應(yīng)有均值定理然后將所得不等式兩邊分別相加或相乘即可得證。第二類是需要整體替換的不等式，這類不等式通常是先觀察不等式的特征，然后結(jié)合題目中的條件進(jìn)行整體替換。第三類是在證明中需要利用題目中隱含條件的不等式。這類問題需要同學(xué)們善于充分挖掘題目中隱含條件，例如通過題目提供的條件a+b=1，可以挖掘出a* b≤1/4這一條件，在證明過程中進(jìn)行替換。

應(yīng)用均值定理證明不等式，需要同學(xué)們仔細(xì)觀察不等式和所給條件，分析所證不等式的結(jié)構(gòu)特征，靈活運(yùn)用各種技巧和方法進(jìn)行解題。同學(xué)們經(jīng)過不斷的練習(xí)，才能迅速的通過觀察分析找到解題思路，準(zhǔn)確迅速的求證。

均值不等式因其應(yīng)用的廣泛性與靈活性，是高中學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。本文對(duì)均值不等式的求最值、比大小、證不等式這三個(gè)應(yīng)用進(jìn)行了總結(jié)與探討，并對(duì)同學(xué)們的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行分析，旨在強(qiáng)化同學(xué)們對(duì)于均值不等式的應(yīng)用。同學(xué)們?cè)趹?yīng)用均值不等式時(shí)，一定要切記均值定理的使用條件和變形技巧，減少錯(cuò)誤的發(fā)生，提高解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

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