兩類矩陣對(duì)角化問題的探討

張立華，趙琳琳，馬立新

(德州學(xué)院，山東 德州 253023)

兩類矩陣對(duì)角化問題的探討

張立華，趙琳琳，馬立新

(德州學(xué)院，山東 德州 253023)

矩陣對(duì)角化是高等代數(shù)中的重要內(nèi)容，涉及到特征值、矩陣相似等基本問題，更是求解許多問題的工具。因此，就高等代數(shù)中經(jīng)常遇到的一類單個(gè)矩陣對(duì)角化問題，給出一個(gè)一般結(jié)論，針對(duì)兩個(gè)矩陣同時(shí)對(duì)角化問題，給出幾個(gè)問題的證明，并且否定了一般結(jié)論的存在性，是有意義的。

高等代數(shù)；矩陣；對(duì)角化

0 引言

高等代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),同數(shù)學(xué)分析、解析幾何構(gòu)成現(xiàn)代數(shù)學(xué)的三大基石，是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生必修的核心基礎(chǔ)課。如果一個(gè)矩陣可以相似于一個(gè)對(duì)角陣，則稱該矩陣可以相似對(duì)角化，簡(jiǎn)稱對(duì)角化[1]。矩陣對(duì)角化是高等代數(shù)中的重要內(nèi)容，涉及到特征值、矩陣相似、二次型等基本問題，是高等代數(shù)教學(xué)重點(diǎn)之一，也是解決許多問題的必需工具[1-3]。實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以對(duì)角化，一般的數(shù)字矩陣不一定能對(duì)角化，兩個(gè)數(shù)字矩陣還有可能同時(shí)對(duì)角化。筆者多年講授高等代數(shù)，在對(duì)單個(gè)矩陣對(duì)角化問題總結(jié)歸納的基礎(chǔ)上，給出了一個(gè)一般結(jié)論；對(duì)于兩個(gè)矩陣的同時(shí)對(duì)角化問題，給出了幾個(gè)問題的證明，并對(duì)一般結(jié)論的存在性進(jìn)行了探討。

1 一個(gè)矩陣的對(duì)角化問題

關(guān)于一個(gè)矩陣的對(duì)角化問題，文獻(xiàn)[4]中給出了矩陣對(duì)角化的條件和應(yīng)用，下面首先給出一個(gè)一般結(jié)論，這是文獻(xiàn)[4]中例3的推廣，有很多應(yīng)用。

命題1 已知數(shù)域P上的n階方陣A滿足(A+mE)(A+bE)=0,其中m,b為不相等的實(shí)數(shù)，E是n階單位矩陣，證明：

(1)A的特征值只能是-m或者-b；

(2)秩(A+mE)+秩(A+bE)=n；

(3)A一定能相似對(duì)角化；

(4)若秩(A+mE)=r，則-m為A的n-r重特征值，-b為A的r重特征值；

(5)如果V1和V2分別是齊次線性方程組(A+mE)X=0和(A+bE)X=0的解空間，那么

Pn=V1⊕V2。

證 (1)設(shè)a為矩陣A的特征值，則(a+m)(a+b)為矩陣(A+mE)(A+bE)的特征值；又由于(A+mE)(A+bE)=0,而零矩陣的特征值只能為0，所以(a+m)(a+b)=0。所以a=-m或者a=-b，從而A的特征值只能是-m或者-b。

(2)由于(A+mE)(A+bE)=0,所以秩(A+mE)+秩(A+bE)≤n。又由于(A+mE)-(A+bE)=(m-b)E,而m-b≠0,從而，秩[(A+mE)-(A+bE)]=秩((m-b)E)=n≤秩(A+mE)+秩(A+bE)，所以秩(A+mE)+秩(A+bE)=n。

(3)設(shè)秩(A+mE)=r，則根據(jù)(2)，秩(A+bE)=n-r，所以齊次線性方程組(A+mE)X=0有n-r個(gè)線性無關(guān)的解，而齊次線性方程組(A+bE)X=0有r個(gè)線性無關(guān)的解；也即特征值-m有n-r個(gè)線性無關(guān)的特征向量，特征值-b有r個(gè)線性無關(guān)的特征向量；由于屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的，從而A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以A一定能相似對(duì)角化。

(4)根據(jù)(3)的證明知道，若秩(A+mE)=r,則齊次線性方程組(A+bE)X=0有n-r個(gè)線性無關(guān)的解；從而特征值-m的重?cái)?shù)≥n-r。同理，特征值-b的重?cái)?shù)≥r。而特征值-m的重?cái)?shù)+特征值-b的重?cái)?shù)=n，所以特征值-m的重?cái)?shù)為n-r，特征值-b的重?cái)?shù)為r。

注：命題1的結(jié)論可以用來求特征值，判定矩陣是否對(duì)角化，也可確定特征子空間的維數(shù)和跟秩有關(guān)的其他問題。

例1 設(shè)n階矩陣A是冪等矩陣，證明：Tr(A)=A的秩。

2 兩個(gè)矩陣同時(shí)對(duì)角化的問題

這類題目比較難解，我們給出幾個(gè)相關(guān)問題的證明。

例2 設(shè)A、B都是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，AB=BA，證明：存在正交矩陣Q，使Q-1AQ與Q-1BQ同時(shí)為對(duì)角矩陣。

這里Ei表示單位矩陣。因?yàn)锳B=BA，所以

則

即Q是正交矩陣，且

即Q-1AQ與Q-1BQ皆為對(duì)角矩陣。

例3 設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，B是n階方陣，滿足B2=B,且AB=BA，證明：存在可逆矩陣Q，使Q-1AQ與Q-1BQ同時(shí)為對(duì)角形矩陣。

這里Ei表示單位矩陣。因?yàn)锳B=BA，所以

則由于Q1可逆，Pi(i=1,2,…,s)也可逆，所以Q是可逆矩陣，且

即Q-1AQ與Q-1BQ皆為對(duì)角矩陣。

例4 設(shè)A、B是兩個(gè)n階方陣，滿足A2=4E,B2=B,且AB=BA，證明：存在可逆矩陣Q，使Q-1AQ與Q-1BQ同時(shí)為對(duì)角形矩陣。

這里Er,Es表示單位矩陣。因?yàn)锳B=BA，所以

則由于Q1可逆，Pi(i=1,2)也可逆，所以Q是可逆矩陣，且

即Q-1AQ與Q-1BQ皆為對(duì)角矩陣。

例5 設(shè)A、B是兩個(gè)n階方陣，滿足A2=E,B2=E,且AB=BA，證明：存在可逆矩陣Q，使Q-1AQ與Q-1BQ同時(shí)為對(duì)角形矩陣。

例5的證明跟例4基本一樣，這里略去。例2至例5中的兩個(gè)矩陣都是可交換的，不同的是：例2中是兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，例3中一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，一個(gè)可對(duì)角化的矩陣，例4和例5中是兩個(gè)可對(duì)角化的矩陣。受例4、例5的啟發(fā)，是不是兩個(gè)可交換、都可以對(duì)角化的矩陣就能同時(shí)對(duì)角化呢？設(shè)A、B是兩個(gè)n階方陣，A、B均可對(duì)角化，且AB=BA，則可逆矩陣Q，使Q-1AQ與Q-1BQ同時(shí)為對(duì)角形矩陣。我們經(jīng)過分析否定了這一點(diǎn)(實(shí)際上就是按照例2至例4的思路進(jìn)行證明)，或者說兩個(gè)可交換、都可以對(duì)角化的矩陣，再加上一定的條件才可以同時(shí)對(duì)角化。

3 結(jié)語

本文探討了一類單個(gè)矩陣的對(duì)角化問題，在原有工作的基礎(chǔ)上給出了一個(gè)一般結(jié)論。對(duì)于比較復(fù)雜的兩個(gè)矩陣同時(shí)對(duì)角化問題，我們給出了幾個(gè)問題的證明，并且得出結(jié)論：兩個(gè)可交換、都可以對(duì)角化的矩陣并不一定可以同時(shí)對(duì)角化。

[1] 王萼芳，石生明．高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 楊子胥．高等代數(shù)[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001.

[3] 周明旺．關(guān)于矩陣可對(duì)角化的一個(gè)充要條件[J].通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，28(4):10-11.

[4] 張立華.高等代數(shù)教學(xué)中關(guān)于“矩陣對(duì)角化”的一點(diǎn)注記[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，13(4)：8-11.

Study on Two Classes of Diagonalization of Matrix

ZHANGLi-hua，ZHAOLin-lin，MALi-xin

(DezhouUniversity,Dezhou253023，China)

Diagonalization of matrix, which has close connection with eigenvalue, similar matrix and so on, is important content in advanced algebra and is an essential tool to solve corresponding problems. A generalized conclusion on the diagonalization of a single matrix is given. Proofs on several problems of simultaneous diagonalization of two matrices are given, and the existence of generalized conclusion on these problems is negated, which proves to be of importance.

advanced algebra；matrix；diagonalization

2016-01-05

山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(ZR2013AQ005)

張立華(1981-),女，理學(xué)博士,德州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副教授，研究方向：孤立子與可積系統(tǒng)。

O151.21

A

1674-3229(2017)01-0005-04