趙捷
導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容,導(dǎo)數(shù)的引入大大豐富了高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系,給許多常規(guī)問題的解法提供了新的視野. 在圓錐曲線問題的求解中引入導(dǎo)數(shù),可以在一定程度上開拓思路,尤其是求圓錐曲線中的切線、中點(diǎn)弦、最值問題. 本文通過舉例來說明導(dǎo)數(shù)在圓錐曲線中的一些應(yīng)用.
導(dǎo)數(shù)在切線問題中的應(yīng)用
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,把二次曲線看作“[y]是[x]的函數(shù)”,并利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,可以輕松求出切線的斜率.
例1 已知拋物線[C:x2=4y.]
(1)求過點(diǎn)[P(0,-4)]的拋物線[C]的切線方程;
(2)求點(diǎn)[Q(2,1)]處的切線方程.
解析 (1)設(shè)切點(diǎn)[Q(x0,x204)],由[y=x2]可知,拋物線在[P]點(diǎn)處的斜率[yx=x0=x02],
故所求的切線方程為[y-x204=x02(x-x0)].
因?yàn)辄c(diǎn)[P(0,-4)]在切線上,從而滿足切線方程,
代入化簡(jiǎn)可得,[x0=±4].
所求切線方程為:[y=±2x-4].
(2)由(1)知,點(diǎn)[Q]處的斜率[k=yx=2=1].
又點(diǎn)[Q]在切線上,
所以切線方程為:[x-y-1=0].
例2 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)[F(0,2)],且與直線[l:y=-2]相切,若[AB]是動(dòng)圓圓心的軌跡[C]上的動(dòng)弦,且[AB]過點(diǎn)[F(0,2)],分別以[AB]為切點(diǎn)作軌跡[C]的切線,設(shè)兩切線的交點(diǎn)為[Q]. 證明:[AQ⊥BQ].
證明 設(shè)圓心[C]的坐標(biāo)為[(x,y)],
依題意得,[CF=y+2],
代入坐標(biāo)得,[x2+(y-2)2=y+2],
化簡(jiǎn)得,圓心[C]的軌跡方程為[x2=8y].(也可以根據(jù)拋物線的定義直接得出標(biāo)準(zhǔn)方程.)
設(shè)[AB]所在直線方程為:[y=kx+2],[A,B]點(diǎn)的坐標(biāo)分別為[A(x1,y1),B(x2,y2)],
聯(lián)立方程組[y=kx+2,x2=8y]解得,[x2-8kx-16=0].
由根與系數(shù)關(guān)系可得,[x1x2=-16].
將[x2=8y]化為[y=18x2],求導(dǎo)得,[y=14x].
則[AQ]的斜率[kAQ=yx=x1=14x1],
[BQ]的斜率[kBQ=yx=x2=14x2].
所以[kAQ?kBQ=14x1.14x2=-1].
所以[AQ⊥BQ].
導(dǎo)數(shù)在中點(diǎn)弦問題中的應(yīng)用
對(duì)二次曲線方程兩邊求導(dǎo),解出[yx],令[k=yx],可求解中點(diǎn)弦相關(guān)問題.
例3 點(diǎn)[P(2,2)]是曲線[x2+4y2-2x-12y+6=0]的一條弦的中點(diǎn),求這條弦所在直線的方程.
解析 對(duì)方程[x2+4y2-2x-12y+6=0]兩邊求導(dǎo)得,
[x+4yyx-1-6yx=0].
化簡(jiǎn)得,斜率[k=yx=x-16-4y].
因?yàn)辄c(diǎn)[P(2,2)]在弦上,則[k=yx=-12].
代入直線方程的點(diǎn)斜式并化簡(jiǎn)可得,中點(diǎn)弦直線方程為:[x+2y-6=0].(也可以用點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦方程.)
例4 已知曲線[C:x2-y22=1],過點(diǎn)[P(2,1)]的直線[l]與曲線[C]交于點(diǎn)[P1,P2],求線段[P1,P2]的中點(diǎn)[M]的軌跡方程.
解析 設(shè)[l]的方程為[y-1=k(x-2)],[M(x0,y0)]是[P1,P2]的中點(diǎn),
則[y0-1=k(x0-2)(*)].
對(duì)方程[x2-y22=1]兩邊求導(dǎo)得,[2x-yyx=0].
于是[2x0-y0yx=x0=0].
從而[k=yx=x0=2x0y0].
代入[(*)]得,[2x20-y20-4x0+y0=0].
即所求的軌跡方程為[2x2-y2-4x+y=0].
導(dǎo)數(shù)在求最值問題中的應(yīng)用
利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系,可以求解相關(guān)弦長(zhǎng)、距離的最值以及離心率取值范圍等問題.
例5 已知點(diǎn)[P]是拋物線[y=12x22]上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),平面上定點(diǎn)[M(4,1)],求[PM]的最小值.
解析 設(shè)點(diǎn)[P]的坐標(biāo)為[(x,y)],
[PM=(x-4)2+(y-1)2=x2-8x+16+14x4-x2+1=14x4-8x+17.]
令[t=14x4-8x+17],
則[t=x3-8=(x-2)(x+1)2+3.]
當(dāng)[x=2]時(shí),[t=0].
當(dāng)[x∈(-∞,2)]時(shí),[t<0];當(dāng)[x∈(2,+∞)]時(shí),[t>0].
所以當(dāng)[x=2]時(shí),[t=14x4-8x+17]取得最小值為5.
所以[PM]的最小值為[5].
例6 已知[c]是雙曲線[x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)]的半焦距,求[b-ca]的取值范圍.
解析 由雙曲線的性質(zhì)可知,
[b-ca=c2-a2-ca=e2-1-e].
令[f(e)=e2-1-e],
則[f(e)=ee2-1-1].
因?yàn)殡x心率[e>1],所以[f(e)>0.]
所以函數(shù)[f(e)=e2-1-e]在[(1,+∞)]上單調(diào)遞增.
則[f(e)=e2-1-e>-1].
又[e2-1 所以[b-ca]的取值范圍為[(-1,0)].