具有交叉感染的2種菌株對逼近模型分析

秦文惠，張菊平

(中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原 030051)

具有交叉感染的2種菌株對逼近模型分析

秦文惠，張菊平

(中北大學(xué)理學(xué)院，山西太原 030051)

為了研究具有一般接觸率和用于治療的SIS對逼近模型及其動力學(xué)性質(zhì)，針對2種菌株是否可以獨立生存，建立了一個在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上2種菌株有交叉感染的SIS對逼近傳染病模型。根據(jù)二項分布，利用節(jié)點的狀態(tài)相關(guān)系數(shù)得到一個12維系統(tǒng)，計算出模型的基本再生數(shù)，得出無病平衡點的局部穩(wěn)定性，進而獲得了無病平衡點不穩(wěn)定的閥值。通過理論分析和數(shù)值模擬得出模型的無病平衡點無條件存在，即不穩(wěn)定。在研究了2種菌株獨立存在以及共同生存的條件后，可以看出2種菌株可以獨立生存，也可以相互感染。高維(12維)系統(tǒng)的引入，使得對逼近模型既能模擬疾病的傳播機制又能捕捉到疾病傳播所在種群的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，因此將對逼近模型應(yīng)用到多菌株疾病的傳播中具有一定價值。

穩(wěn)定性理論；交叉感染；對逼近；閾值；穩(wěn)定性

引起傳染病的病原體的表現(xiàn)形式有許多種，引起同一種傳染病的病原體的不同表現(xiàn)形式稱為不同的菌株，如已測得的引起細菌性肺炎的肺炎球菌有60多種形式[1]。然而在處理方程時，會出現(xiàn)不封閉的情況。因此，通常情況下對所出現(xiàn)的三元組方程用相應(yīng)的對逼近的方法進行封閉處理[2]，對逼近模型不僅考慮個體相關(guān)性和其差異，而且也體現(xiàn)個體特征。在過去的幾十年里，對逼近模型已經(jīng)得到了廣泛研究。例如：MATSUDA等[3-4]使用空間相關(guān)性對逼近計算的方法，研究了靜止狀態(tài)下關(guān)于出生、死亡和遷移率的晶格生態(tài)模型；BAUCH等[5-7]建立了susceptible-infected-susceptible(SIS)流行病的對逼近模型,而且根據(jù)此模型進一步給出了基本再生數(shù)。THOMSON等[8-9]在不考慮出生和死亡的情況下，在空間異構(gòu)晶格的網(wǎng)絡(luò)中建立了SIS傳染病模型的逼近有效性評估空間。然而，KEELING[10]建立的對逼近模型沒有考慮出生和死亡,而是考慮了相關(guān)的種群, 在研究群體水平的傳染病模型時，由于不同的個體往往處于不同的狀態(tài)，為了刻畫網(wǎng)絡(luò)節(jié)點狀態(tài)之間的相關(guān)性，KEELING在文獻[10]中提出了刻畫節(jié)點狀態(tài)相關(guān)性的相關(guān)系數(shù)以及同配系數(shù)CAB并獲得基本的繁殖數(shù)量。

本研究在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)下應(yīng)用穩(wěn)定性理論探討SIS傳染病的對逼近模型，基于假設(shè)感染鄰居個體的數(shù)量滿足二項分布[11]，并將這個理論引入到兩菌株對逼近模型中。目前已經(jīng)引用了大量的對逼近模型來分析像天花、風疹、乙型肝炎等由一種菌株引起的流行病問題?？v觀以上的傳染病動力學(xué)方面的研究工作[3,7-12]，還有許多傳染病的病原體是由多種菌株交叉感染共同作用引起的，如肺結(jié)核、艾滋病、登革熱、肺炎鏈球菌等。已測得的引起艾滋病HIV的病毒有很多種，而且每年還有新的病毒被發(fā)現(xiàn)。對具有多菌株的病原體所引起的傳染病來說，研究相應(yīng)的控制方法很困難，即使接種疫苗，效果也不見好轉(zhuǎn)[9-15]。因此，多菌株傳染病動力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究引起許多科研人員的興趣，但是這方面的研究

還相對較少。對上述假設(shè)，很好地獲得了一個12維系統(tǒng)的對逼近模型[2]，并進一步討論無病平衡點的穩(wěn)定性及邊界平衡點的存在性。

1 模型的建立

將總?cè)丝?N)分為4類: 易感者(S), 被第1種菌株感染的染病者(I1), 被第2種菌株感染的染病者(I2), 同時被第1種和第2種菌株交叉感染的染病者(I12), 其在t時刻的數(shù)量分別用[S],[I1],[I2],[I12] 表示。假設(shè)βi表示第i種菌株感染的染病者Ii與易感者接觸的傳染率(i=1,2)，γi表示每類染病者的恢復(fù)率(i=1,2,3)，τ1表示被第1種菌株感染的染病者I1與被第2種菌株感染的染病者I2接觸的傳染率，τ2表示被第2種菌株感染的染病者I2與被第1種菌株感染的染病者I1接觸的傳染率，建立具有交叉感染的兩菌株對逼近動力學(xué)模型，如圖1所示。

圖1 交叉感染的兩菌株對逼近模型流程圖Fig.1 Flow chart of approximation model of two strains of cross infection

(1)

由于N(t)=[S(t)]+[I1(t)]+[I2(t)]+[I12(t)]=0,所以總?cè)丝谑冀K保持一個常數(shù)，令[S(t)]+[I1(t)]+[I2(t)]+[I12(t)]=N,考慮無聚類節(jié)點的規(guī)則網(wǎng)絡(luò), 假設(shè)每個節(jié)點的鄰居數(shù)為n, 節(jié)點的染病者鄰居滿足二項分布, 參考文獻[11]可得：

A,B,C∈{S,I1,I2,I12}。

其他類似。

利用網(wǎng)絡(luò)的總規(guī)模不變及規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的平衡條件：

[I12I12]+[SS]+[I1I1]+[I2I2]+2[SI1]+2[SI2]+2[SI12]+2[I1I2]+2[I1I12]+2[I2I12]=nN,

將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(2):

(2)

為了研究模型(2)的性態(tài), 引入刻畫網(wǎng)絡(luò)節(jié)點狀態(tài)之間的相關(guān)性, 由文獻[12]可得：

則有：

因此, 系統(tǒng)(2)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(3):

(3)

顯然, 系統(tǒng)(3)的正向不變集為

0≤[I1]+[I2]+[I12]≤N,

2 平衡點的穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)(3)總存在無病平衡點E0=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0), 則在無病平衡點E0處的雅可比矩陣為

其中，a44=(n-2)β1,a55=(n-2)β2。

該矩陣對應(yīng)的特征方程為

(λ+γ1)(λ+γ2)(λ+γ3)(λ-a44)×

(λ-a55)(λ+γ3)(λ+(τ1+τ2))×

(λ+γ1)(λ+γ2)(λ+2γ3)(λ+γ3)=0。

假設(shè)n>2，則n-2>0，所以(n-2)β2>0，且(n-2)β1>0。故特征方程的特征根中具有2個非負實部的根, 從而無病平衡點E0不穩(wěn)定。

定理1 系統(tǒng)(3)的無病平衡點E0無條件存在，并且是不穩(wěn)定的。

下面討論邊界平衡點的存在性。

i)當a>0,b<0,c>0時，系統(tǒng)(3)存在第1種菌株的一個邊界平衡點；

ii)當a<0,b<0,c>0時，系統(tǒng)(3)存在第1種菌株的一個邊界平衡點。

證明 令[I2]=0,[I1]≠0,則[I12]=0?？傻茫?/p>

則系統(tǒng)(3)滿足：

(4)

解得：

(5)

(6)

將式(5)和式(6)代入式(4)中的第2個式子, 整理得：

a([I1])2+b[I1]+c=0。

其中：

下面對參數(shù)a,b和c的符號分別進行討論。

i)當a>0,b<0,c>0時，a，b，c的符號如下：

ii)當a<0,b<0,c>0時，a，b，c的符號如下：

綜上所述, 可概括為表1。

表1 根的情形

i)當a>0,b<0,c>0時，系統(tǒng)(3)存在第2種菌株的一個邊界平衡點；

ii)當a<0,b<0,c>0時，系統(tǒng)(3)存在第2種菌株的一個邊界平衡點。

該定理的證明類似于定理2, 即與第1種菌株邊界平衡點存在性的證明對稱，這里不再說明。

定理4 當R1>1,R2>1時，系統(tǒng)(3)存在正平衡點。

3 數(shù)值模擬

在理論上討論系統(tǒng)(3)的無病平衡點和邊界平衡點的存在性的基礎(chǔ)上，本節(jié)將分析系統(tǒng)(3)以β1,β2,γ1,γ2,n為參數(shù)時平衡點的個數(shù)及類型[16-17]。

例1 當R1>1時, 系統(tǒng)(3)的模擬結(jié)果如圖2所示，固定參數(shù)如下。

圖2 a)中：n=3,γ1=0.01,β1=0.05,N=700,β2=0.05,γ2=0.1,τ1=0.05,τ2=0.05,γ3=0.15。

圖2 b)中：n=3,N=700,γ1=1.167,β1=0.9,β2=0.5,γ2=1.167,τ1=0.05,τ2=0.05,γ3=0.08。

圖2 當R1>1時，系統(tǒng)(3)的仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of the system (3) when R1>1

例2 當R1>1且R2>1時，系統(tǒng)(3)存在正平衡點的模擬結(jié)果如圖3所示。固定參數(shù)如下。

圖3 a)中：n=3，γ1=0.01，β1=0.05，β2=0.2，γ2=0.1，N=700，τ1=0.5，τ2=0.05，γ3=0.15。

圖3 b)為圖3 a)的放大圖，表明地方病平衡點在R1>1且R2>1時是穩(wěn)定的。

圖3 當R1>1且R2>1時，系統(tǒng)(3)的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of system (3) when R1>,R2>1

4 結(jié) 語

本文建立了一個考慮2種菌株具有交叉感染的對逼近傳染病模型，模型中節(jié)點的染病者鄰居遵循二項分布。通過分析對逼近傳染病模型獲得了一個12維方程組，由該系統(tǒng)(3)得到了基本再生數(shù)R0及無病平衡點E0的存在性。模型的無病平衡點E0無條件存在，并且是不穩(wěn)定的，當R1>1,R2>1時，系統(tǒng)可能出現(xiàn)正平衡點。因此，基本再生數(shù)R0不再是模型的一個閾值。通過數(shù)值模擬證實了分析結(jié)果。從定理以及數(shù)值模擬的結(jié)果來看，兩種菌株可以獨立生存，且交叉感染后不會影響各自的性態(tài)。

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Analysis of pair approximation model of two strains with the cross infection

QIN Wenhui, ZHANG Juping

(School of Science, North University of China, Taiyuan, Shanxi 030051, China)

To study the dynamics of pair approximation SIS model with general comtact rate and treatment.The pair approximation SIS model with a cross infection two strains are established in this paper in view of the two strains could live independently. We got a 12d system using the node status correlation coefficient based on the binomial distribution. In addition, we concluded that the local stability of the disease-free equilibrium by calauating the model of the basic reproductive number, and then, the unstable threshold of disease-free equilibrium is found. Finally, model of the disease-free equilibrium existenced unconditionally and it namely is not stable through theoretical analysis and numerical simulation. The conditions of two strains exist independently and the common survival are studied in this paper, and then, we concluded that two strains can live independently, and also be infected with each other. The high dimensionality (12) system is studied. The approximation model not only simulate the spread of disease mechanism but also capture the spread of disease in populations of network structure. So it has a certain value that applying the approximation model to many strains of the spread of disease.

stability theory; cross infection; pair approximations; threshold; stability

1008-1534(2017)02-0103-07

2016-12-12;

2017-02-12；責任編輯：張 軍

國家自然科學(xué)基金(11301491)；山西省青年科學(xué)基金(2011021001-2)

秦文惠(1989—)，女，山西忻州人，碩士研究生，主要從事生物數(shù)學(xué)方面的研究。

張菊平副教授。E-mail:zhangjuping@nuc.edu.cn

O175.1

A

10.7535/hbgykj.2017yx02005

秦文惠，張菊平.具有交叉感染的2種菌株對逼近模型分析 [J].河北工業(yè)科技,2017,34(2):103-109. QIN Wenhui, ZHANG Juping.Analysis of pair approximation model of two strains with the cross infection[J].Hebei Journal of Industrial Science and Technology,2017,34(2):103-109.