第一類換元積分法的課堂講解

林冬梅

一、 引言

微積分是高等數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)內(nèi)容，第一類換元積分法（也叫湊微分法）是一種重要的基本積分方法。積分是微分的逆運(yùn)用，沒(méi)有固定的公式可以套用，所以我們需要對(duì)積分式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏蛽Q元才能解題，本文通過(guò)湊微分思想總結(jié)出幾種第一類換元積分的類型供大家學(xué)習(xí)參考。

二、 課前復(fù)習(xí)

前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算法則、不定積分的定義、不定積分的基本公式。根據(jù)本節(jié)課程內(nèi)容的要求，先復(fù)習(xí)以下幾個(gè)內(nèi)容：

1、 原函數(shù)的概念：設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 （有限區(qū)間或無(wú)限區(qū)間）內(nèi)有定義，若存在函數(shù) ，使得對(duì)該區(qū)間上任一點(diǎn) ，有 ，就稱 為 在區(qū)間 上的一個(gè)原函數(shù).

2、 13個(gè)不定積分的基本公式：

， ， ， ， ， ，

， ， ，

， ， ，

三、 課堂講授

1、 經(jīng)過(guò)前面的復(fù)習(xí)，給出練習(xí)，讓學(xué)生求下列函數(shù)的積分： 、 、

學(xué)生都能取得相對(duì)應(yīng)的結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納，積分關(guān)鍵看對(duì)哪個(gè)變量積分。

2、讓學(xué)生比較 與 的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生得出 與 的關(guān)系，通過(guò)微分的計(jì)算得出 ，即 。而這就是我們今天要研究的第一類換元積分，也就是湊微分法。通過(guò)等量代換可以得到 .

例題1：求不定積分

解：

例題2：求不定積分

解：

根據(jù)以上兩題總結(jié)出兩種類型：① ②

例題3：求微分 =

求不定積分

解：由 = ，知

所以：

總結(jié)類型：③

例題4：求不定積分

解：

總結(jié)類型：④

例題5：求不定積分

解：

總結(jié)類型：⑤ ⑥

例題6：求不定積分

解：

提示：

總結(jié)類型：⑦

例題7：求不定積分

解：提示：

總結(jié)類型：⑧

例題8：求不定積分

解：提示：

總結(jié)類型：⑨

例題9：求不定積分

解：提示：

總結(jié)類型：⑩

四、 結(jié)尾

利用基本積分公式與不定積分的性質(zhì)，只能計(jì)算部分函數(shù)的不定積分。本文總結(jié)幾種常見(jiàn)的第一類換元積分方法，通過(guò)換元，把一個(gè)形式復(fù)雜的不定積分轉(zhuǎn)化成一個(gè)形式簡(jiǎn)單的不定積分，其基本思想就是用換元對(duì)被及表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再求不定積分。

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