多智能體系統(tǒng)在切換拓?fù)浜蜁r(shí)變時(shí)延下的H∞一致性

覃 茜, 李慶奎

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

多智能體系統(tǒng)在切換拓?fù)浜蜁r(shí)變時(shí)延下的H∞一致性

覃 茜, 李慶奎*

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030006)

研究了離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)在切換拓?fù)浜蜁r(shí)變時(shí)延下的H∞一致性問(wèn)題.考慮存在節(jié)點(diǎn)在一定時(shí)間內(nèi)失聯(lián)且通訊可以恢復(fù)的情形，利用切換拓?fù)涿枋鲋悄荏w間通訊鏈路的變化，并在有界時(shí)變時(shí)延和外部干擾下，將多智能體系統(tǒng)的H∞一致性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為切換H∞控制問(wèn)題.提出一個(gè)僅基于智能體與其鄰居狀態(tài)信息的分布式一致性協(xié)議.基于此協(xié)議，在平均駐留時(shí)間切換機(jī)制下給出使得多智能體系統(tǒng)達(dá)到H∞一致性的充分條件.最后利用一個(gè)仿真例子驗(yàn)證所提方法的有效性.

多智能體系統(tǒng)； 切換拓?fù)洌?平均駐留時(shí)間；H∞一致性

0 引言

近幾十年來(lái)，多智能體系統(tǒng)因其在諸多領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而吸引了來(lái)自國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，例如無(wú)人機(jī)的編隊(duì)飛行[1]，車輛編隊(duì)控制[2]，多機(jī)器人的協(xié)同控制[3]，分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)[4]等.一致性是多智能體系統(tǒng)中的一個(gè)典型問(wèn)題，其主要研究如何設(shè)計(jì)分布式協(xié)議，使得所有智能體僅通過(guò)交換局部的狀態(tài)信息，最終達(dá)到一共同的狀態(tài).一般地，將多智能體系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的誤差系統(tǒng)，其中誤差是每個(gè)智能體的狀態(tài)與最終一致?tīng)顟B(tài)間的偏差，從而多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題就轉(zhuǎn)變?yōu)檎`差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題[5].

在實(shí)際中，由于天氣，環(huán)境，自然災(zāi)害(比如地震，暴雨雪)等因素，可能會(huì)導(dǎo)致智能體間通信鏈路的中斷，使得在某段時(shí)間內(nèi)通信拓?fù)渲锌赡軙?huì)有孤立節(jié)點(diǎn)的存在，即某一智能體與其所有鄰居失去聯(lián)系.切換拓?fù)淇捎脕?lái)刻畫通信鏈路的中斷和恢復(fù)，并且?guī)в星袚Q拓?fù)涞亩嘀悄荏w一致性已取得一定的成果[6,7].文獻(xiàn)[6]研究了速度約束的多智能體系統(tǒng)一致性，其假設(shè)并圖在每個(gè)時(shí)間區(qū)間都包含有向生成樹，但子拓?fù)涞那闆r不明確.文獻(xiàn)[7]在分析帶有切換拓?fù)涞囊恢滦詴r(shí)則要求子拓?fù)涫菑?qiáng)連通的.雖然多智能體系統(tǒng)在切換拓?fù)湎碌囊恢滦詥?wèn)題已被研究，但是鮮有針對(duì)節(jié)點(diǎn)失聯(lián)情形的一致性問(wèn)題的探討，因此有必要對(duì)該問(wèn)題展開(kāi)討論.

通信拓?fù)涞倪B通性對(duì)多智能體系統(tǒng)能否達(dá)到一致性至關(guān)重要，拓?fù)浯嬖诠铝Ⅻc(diǎn)時(shí)是不連通的，這意味著多智能體系統(tǒng)在某些時(shí)間段內(nèi)不能達(dá)到一致性，相應(yīng)地，切換誤差系統(tǒng)包含有不可鎮(zhèn)定的子系統(tǒng)；由切換系統(tǒng)理論可知若不可鎮(zhèn)定子系統(tǒng)運(yùn)行的總時(shí)間足夠小的話，整個(gè)切換系統(tǒng)還可以是穩(wěn)定的[8].因此，設(shè)計(jì)合適的切換律使得系統(tǒng)在存在孤立點(diǎn)的情況下達(dá)到一致性是我們研究的另一個(gè)目的.

此外，智能體間的信息交換是以網(wǎng)絡(luò)為媒介的，在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下時(shí)延和外部干擾的存在不可避免，因此研究帶有時(shí)變時(shí)延和擾動(dòng)的多智能體系統(tǒng)的一致性更加符合實(shí)際.基于此，本文研究了在時(shí)延和外部干擾下，多智能體系統(tǒng)在某些時(shí)間段內(nèi)存在孤立節(jié)點(diǎn)的一致性，通過(guò)設(shè)計(jì)合適的一致性協(xié)議和切換律使其在包含不可一致子系統(tǒng)時(shí)依然能夠達(dá)到一致性；最后利用一個(gè)仿真例子驗(yàn)證所提方法的有效性.

1 預(yù)備知識(shí)和建模

1.1 圖論

將每個(gè)智能體看作一個(gè)節(jié)點(diǎn)，用圖G={V,E,A} 來(lái)建構(gòu)智能體間的通信拓?fù)?，其中V={1,…,N}是N個(gè)智能體的集合，可被視作圖G的頂點(diǎn)集,i表示第i個(gè)智能體.邊集E?V×V且(j,i)∈E當(dāng)且僅當(dāng)i可向j發(fā)送信息，此時(shí)稱j是i的鄰居.i的鄰居節(jié)點(diǎn)集用Ni={j|j∈V,(j,i)∈E} 表示.若一個(gè)節(jié)點(diǎn)既沒(méi)有鄰居,同時(shí)又不是任何節(jié)點(diǎn)的鄰居，就稱其為一個(gè)孤立點(diǎn).節(jié)點(diǎn)i1與ik間的一條有向路徑是一組以i1開(kāi)始，ik結(jié)束的首尾相接的邊(i1,i2),(i2,i3)，…,(ik-1,ik)∈E,若至少存在一個(gè)節(jié)點(diǎn)與其他任意節(jié)點(diǎn)間都有一條有向路徑，則稱該圖包含一個(gè)有向生成樹.用A=[αij]∈RN×N表示圖G的加權(quán)鄰接矩陣，且αij=1當(dāng)且僅當(dāng)(j,i)∈E，否則αij=0.在本文中我們假設(shè)沒(méi)有自環(huán)存在，即αii=0.圖G的拉普拉斯矩陣L=[lij]∈RN×N定義為

(1)

本文考慮了在某些時(shí)間段內(nèi)有且只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)失去聯(lián)系,并隨后恢復(fù)通信，換句話說(shuō)就是在短時(shí)間內(nèi)通信拓?fù)渲袝?huì)存在一個(gè)孤立點(diǎn).注意該孤立點(diǎn)不是固定的某一節(jié)點(diǎn)，會(huì)隨時(shí)間而變動(dòng)，這意味著通信拓?fù)涫请S時(shí)間變化的.用Gσ(k)表示時(shí)變的拓?fù)?，其中?[0,∞)→M={0,1,…,N} 是切換信號(hào)，且σ(k)=m(m=1,…,N) 表示第m個(gè)智能體是孤立點(diǎn)，而σ(k)=0 表示在k時(shí)刻拓?fù)渲袥](méi)有孤立點(diǎn)存在.圖集{Gσ(k):k∈[0,∞)}的并圖用Gun表示，其節(jié)點(diǎn)和邊分別是圖集中圖節(jié)點(diǎn)和邊的并.我們給出下面的假設(shè)以進(jìn)行下面的討論.

假設(shè)1 圖Gun包含一個(gè)生成樹.

1.2 建模

考慮由N個(gè)智能體組成的多智能體系統(tǒng)，第i個(gè)智能體的動(dòng)力學(xué)可描述為

xi(k+1)=Axi(k)+Bui(k)+ωi(k)

(2)

其中xi(k)∈Rn和ui(k)∈Rm分別是第i個(gè)智能體的狀態(tài)與控制輸入；ωi(k)=[0,…,0,ωin(k)]∈Rn是作用在i上的干擾；矩陣A和B為合適維數(shù)的常矩陣.

m

(3)

在切換拓?fù)湎?，?duì)σ(k)=h,h∈M={0,1,…,N}，分布式一致性協(xié)議給出如下

(4)

其中Kh是一個(gè)公共的分布式一致性增益；時(shí)變時(shí)延τ(k) 滿足0<τ1≤τ(k)≤τ2.

定義1[9]系統(tǒng)(2)在協(xié)議(3)下達(dá)到了一致性，若對(duì)任意的初始條件xi(0)∈Rn有下式成立：

(5)

(6)

且y(k)是被控輸出.顯然，誤差系統(tǒng)(6)的穩(wěn)定性意味著多智能體系統(tǒng)(2)的一致性.

2 一致性分析

本文的研究目的是設(shè)計(jì)合適的一致性協(xié)議和切換律使得多智能體系統(tǒng)(2)達(dá)到一致性.首先給出下面的定義.

定義2[10]稱多智能體系統(tǒng)(2)達(dá)到了H∞一致性,若誤差系統(tǒng)(6)滿足

(1)在ω(k)=0時(shí)是指數(shù)穩(wěn)定的，即

‖δ(k)‖≤ρe-λ(k-k0)‖δ(k0)‖；

(2)在零初始條件下，輸出y(k)對(duì)任意的ω(k)∈l2[0,∞)滿足

引理1[11]對(duì)任意的實(shí)矩陣W=WT>0和正標(biāo)量r2≥r1≥0，下面的不等式成立

對(duì)相應(yīng)于沒(méi)有孤立點(diǎn)和帶有一個(gè)孤立點(diǎn)情形的誤差系統(tǒng)，我們分別給出下面兩個(gè)重要的引理.

定義李雅普諾夫函數(shù)為

其中

η(s)=δ(s+1)-δ(s),τ12=τ2-τ1.

首先考慮沒(méi)有孤立點(diǎn)的情形，即當(dāng)σ(k)=0時(shí)，誤差系統(tǒng)(6)描述為

(7)

選取李雅普諾夫函數(shù)

(8)

然后我們有下面的引理.

(9)

那么沿系統(tǒng)(7)的軌跡有下式成立

其中Γ(s)=δT(s)δ(s)-γ2ωT(s)ω(s)

φ0=[IN?A,-L0?BK0,0,0,Bo]

證明：令ξ(k)=[δT(k),δT(k-τ(k)),δT(k-τ1) ,δT(k-τ2),ωT(k)]T,通過(guò)計(jì)算容易得到

V0(k+1)-e-αV0(k)=

(10)

Θ1=diag{-e-αP0,0,0,0,0} ；

(11)

結(jié)合引理1有

(12)

令γ=diag{I,0,0,0,-γ2I}，則Γ(s)可改寫為

Γ(s)=ξT(s)γξ(s)

(13)

聯(lián)合(10)～(12)以及(13)，并令Ξ0=Θ1+Θ2+Θ3+γ有

V0(k+1)-e-αV0(k)+Γ(k)≤

顯然，利用Schur補(bǔ)引理可知(9)保證了

V0(k+1)-e-αV0(k)+Γ(k)≤0

遞推可得

V0(k)≤e-αV0(k-1)-Γ(k-1)≤…≤

接下來(lái)考慮有節(jié)點(diǎn)失聯(lián)情形，即σ(k)=j(j=1,…,N)時(shí)，系統(tǒng)為

(14)

此時(shí)選取李雅普諾夫函數(shù)

(15)

然后給出下面的引理.

(16)

那么沿系統(tǒng)(14)有

其中Γ(s)=δT(s)δ(s)-γ2ωT(s)ω(s)

φj=[IN?A,-Lj?BKj,0,0,Bo]

證明：類似于引理2證明故而省略.

對(duì)一時(shí)間序列0=k0

定義3[12]對(duì)任意的T2>T1≥0,Nσ(T1,T2)表示在(T1,T2)內(nèi)的切換次數(shù)；若對(duì)Ta>0和N0≥0有Nσ(T1,T2)≤N0+(T2-T1)/Ta，那么Ta稱為平均駐留時(shí)間，N0稱為抖振界.不失一般性N0選為0.

(17)

(18)

就稱多智能體系統(tǒng)(2)達(dá)到了一致性且具有H∞性能水平γ，其中μ≥1且滿足

(19)

證明：當(dāng)ω(k)=0時(shí)，根據(jù)(19)有

V0(k)≤μVj(k),Vj(k)≤μμ′V0(k)(j=1,…,N)

由引理2-3可得

進(jìn)而遞推得到

V(k)≤Vj(k2l+1)eβ(k-k2l+1)≤

μμ′V0(k2l)e-α(k2l+1-k2l)eβ(k-k2l+1)≤…≤

μN(yùn)σ(k0,k)μ′N+(k0,k)V0(k0)e-α(k-k0-T+(k0,k))+βT+(k0,k)

注意N+(k0,k)≤(Nσ(k0,k)+1)/2并根據(jù)切換條件(17)和(18)可得

由(8)和(15)有下面的不等式成立

V(k)≥a‖δ(k)‖2,V0(k0)≤b‖δ(k0)‖2

其中

因此

當(dāng)ω(k)≠0時(shí)，由引理2～3可得

遞推得到

(20)

在零初始條件下，由(20)可得

不等式兩邊同時(shí)從0到∞作和可得

這意味著誤差系統(tǒng)(6)在切換條件(17)和(18)下是指數(shù)穩(wěn)定的并具有H∞性能水平γ，從而多智能體系統(tǒng)(2)達(dá)到了一致性.

3 仿真

考慮一個(gè)由3個(gè)智能體組成的多智能體系統(tǒng)，第i(i=1,2,3)個(gè)智能體的動(dòng)力學(xué)為

ui(k)+ωi(k).

圖1給出了3個(gè)智能體間可能的交互拓?fù)?，且相?yīng)的拉普拉斯矩陣如上式所示.其余系統(tǒng)參數(shù)給定如下：

基于上述參數(shù)，通過(guò)Schur補(bǔ)引理和合適的合同變換，利用MATLAB中的LMI和yalmip工具箱求解可得一致性增益

K0=[0.010 8 0.009 3]

K1=[-0.003 9 0.004 0]

K2=[-0.004 0 0.004 0]

K3=[-0.004 0 0.004 2]

圖1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

計(jì)算得到T*=8.82，因此選取Tα=13.0和f+=0.11，則滿足條件(17)和(18)的切換信號(hào)在圖2中給出.

圖2 切換信號(hào)

系統(tǒng)初始狀態(tài)為x1(0)=[5;6]T,x2(0)=[2;3]T,x3(0)=[-5;-3]T,圖3的(a)和(b)展示了誤差系統(tǒng)的狀態(tài)變化.顯然由圖3可看出,多智能體系統(tǒng)(2)達(dá)到了一致性，驗(yàn)證了所提方法的有效性.

(a)誤差δi1的狀態(tài)響應(yīng)

(b)誤差δi2的狀態(tài)響應(yīng)圖3 誤差系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

4 結(jié)論

本文研究了多智能體系統(tǒng)在時(shí)延和外部干擾下的H∞一致性.對(duì)于存在節(jié)點(diǎn)失聯(lián)的情形，利用切換拓?fù)涿枋鐾ㄓ嵉闹袛嗯c恢復(fù)，并設(shè)計(jì)合適的分布式一致性協(xié)議和基于平均駐留時(shí)間機(jī)制的切換律，使得整個(gè)多智能體系統(tǒng)在包含有不可一致的子系統(tǒng)時(shí)最終仍能達(dá)到一致性.隨機(jī)時(shí)延與隨機(jī)切換是更加貼近實(shí)際的，可作為未來(lái)的研究方向.

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【責(zé)任編輯：陳 佳】

H∞consensus for multi-agent systems with switching topologies and time-varying delays

TAN Xi， LI Qing-kui*

(School of Mathematical Sciences, Shanxi University, Taiyuan 030006, China)

We investigate the problem ofH∞consensus for the multi-agent systems with switching topologies and time-varying delays.Consider the case that there exists an unspecified node loses connection with others in some time periods and the communication links can be restored,switching topologies are used to construct the communication among agents,and in the presence of bounded time-varying delays and external disturbance,theH∞consensus problem can be transformed into a switchedH∞control problem.Then a distributed consensus protocol based on the state information of the agent and its neighbors is proposed to achieve theH∞consensus.Based on this protocol,sufficient conditions are proposed under an average dwell time switching scheme such that the whole multi-agent system reaches theH∞consensus.Lastly,a simulation example is presented to verify the effectiveness of the proposed methods.

multi-agent system； switching topologies； average dwell time；H∞consensus

2016-12-28 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(6157020879)； 山西省回國(guó)留學(xué)人員科研資助項(xiàng)目(2015-017)

覃 茜(1991-)，女，山西呂梁人，在讀碩士研究生，研究方向：切換時(shí)滯系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)

李慶奎(1971-)，男，山東郯城人，副教授，博士，研究方向：切換時(shí)滯系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，sdlqk01@sxu.edu.cn

1000-5811(2017)02-0183-06

TP13

A