淺談高中數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性

楊磊

摘要：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，我根據(jù)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)歸納總結(jié)了學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)會遇到的問題和難點(diǎn)，以及判斷函數(shù)的單調(diào)性的幾種可用的方法，而且也對每種方法的特點(diǎn)及適用范圍、注意事項(xiàng)作了一些介紹，這樣可以更好地理解函數(shù)，并掌握函數(shù)的單調(diào)性，讓我在解決數(shù)學(xué)中這類方面的問題時(shí)，更加得心應(yīng)手。

關(guān)鍵詞：高中；函數(shù)；單調(diào)性

G633.6

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的函數(shù)學(xué)習(xí)當(dāng)中的重點(diǎn)，所以在學(xué)習(xí)有關(guān)函數(shù)的知識時(shí)，我會從多個(gè)方面對函數(shù)進(jìn)行認(rèn)識與理解，包括函數(shù)的概念與定義、函數(shù)的性質(zhì)等。其中很重要的一條性質(zhì)便是函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)好函數(shù)的單調(diào)性對于學(xué)好函數(shù)是必不可少的一步。函數(shù)的單調(diào)性在函數(shù)中具有很廣泛的應(yīng)用。比如，可以利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，也可以轉(zhuǎn)化為比較自變量的大??；利用函數(shù)的單調(diào)性可以求函數(shù)的值域、最大值、最小值等等。

一、什么是函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，它反映了函數(shù)值的變化規(guī)律。學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的重點(diǎn)在于函數(shù)的單調(diào)性的有關(guān)概念。

1.增函數(shù)與減函數(shù)定義

對于函數(shù) 的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 ， ：若當(dāng) < 時(shí)，都有 < ，則說 在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；

若當(dāng) < 時(shí)，都有 > ，則說 在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)。

因而，判斷一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)還是減函數(shù)，是相對于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的。有的函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一個(gè)區(qū)間上可能變成減函數(shù)。有這樣特性的最典型的函數(shù)便是函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)為增函數(shù)，當(dāng) 時(shí)是減函數(shù)。

2.單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

若函數(shù) 在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù) 在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)。

在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。

需要注意的是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集，應(yīng)是該區(qū)間內(nèi)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，忽略需要任意取值這個(gè)條件，就不能保證函數(shù)是增函數(shù)（或減函數(shù)）。

二、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

函數(shù)的單調(diào)性在高考試卷上必不可少，而且對其的考查各式各樣，考查的深度也遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于課本。在考試中，對于函數(shù)單調(diào)性的考查難點(diǎn)往往在于證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性。在討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)必須在其定義域內(nèi)進(jìn)行，因此要研究函數(shù)的單調(diào)性就必須先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。接下來我想談?wù)労瘮?shù)單調(diào)性的應(yīng)用。

1.函數(shù)單調(diào)性的判別

2.定義法

在數(shù)學(xué)中，解題過程中最基本的方法就是依靠定義。萬變不離其宗，無論是什么解題方法，都是由最基本的定義衍生而來的。因此，函數(shù)單調(diào)性判別的定義法為，自變量增大函數(shù)值變小為減函數(shù)；反之，為增函數(shù)。

3.函數(shù)變換法

由上面的定義法我們可以得到單調(diào)函數(shù)運(yùn)算后的一些結(jié)論：在同一個(gè)區(qū)間上，若 、 都是單凋增（減）函數(shù)，則 + 也是單凋增（減）函數(shù)；若 單凋遞增， 單凋遞減，則 - 單調(diào)遞增；若 單凋遞減， 單凋遞增，則 - 單調(diào)遞減.

4.復(fù)合函數(shù)法

設(shè)函數(shù) 由兩個(gè)函數(shù) 與 復(fù)合而成，則 與 單調(diào)性相同時(shí)， 單調(diào)遞增； 與 單調(diào)性不同時(shí)， 單調(diào)遞減，這就是通常所說的同增異減。多層復(fù)合，依此類推。

4.作差比較法

根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性是判斷函數(shù)單調(diào)性的最重要的方法。其步驟為：（1）設(shè)值：即在單調(diào)區(qū)間上設(shè)出兩個(gè)不相等的自變量 、 ，且 < ；（2）比較：即比較 ）與 大小，通常采用作差或作商的方法；（3）判斷：即根據(jù)定義結(jié)合前兩個(gè)步驟得出結(jié)論。

5.等價(jià)變形法

三、函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)過程中的學(xué)習(xí)難點(diǎn)

了解了函數(shù)單調(diào)性的概念與定義，也知道了通過哪些方法可以判別函數(shù)的單調(diào)性，但是往往在應(yīng)用中無法將這些定義與判別方法融會貫通，函數(shù)單調(diào)性經(jīng)常是解題的關(guān)鍵點(diǎn)，如果無法將函數(shù)的這一性質(zhì)運(yùn)用得當(dāng)，就無法輕松快速地解題，這也是我曾經(jīng)在函數(shù)學(xué)習(xí)過程中遇到的一大困擾。我根據(jù)自己的理解，總結(jié)了一下這些問題的癥結(jié)所在。

1.沒有掌握數(shù)形結(jié)合的解題方法

華羅庚先生說過：“數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微?！睌?shù)形結(jié)合的方法就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來解決問題，數(shù)形結(jié)合可以有效地解決許多數(shù)學(xué)問題。以形助數(shù)，以數(shù)輔形，可以使許多數(shù)學(xué)問題變得簡易化，我覺得這也很關(guān)鍵。

因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)性只憑想象是不好理解的，所以需要依靠直觀的幾何圖形，把數(shù)與形一一結(jié)合起來，才能使得抽象問題具體化，優(yōu)化解題步驟，解出正確答案。而我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，尤其是學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，總是沒有數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣和意識，這給我們學(xué)習(xí)帶來不利的因素。培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的解題意識，掌握好數(shù)形結(jié)合的解題方法，不但可以使我們學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性時(shí)遇到的問題迎刃而解，更對我們在以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程有很大的幫助。

2.不能深刻理解定義域的內(nèi)涵

定義域也是函數(shù)中非常重要的一部分，而定義域與函數(shù)的單調(diào)性也是密不可分的，因?yàn)槎x域決定了函數(shù)的單調(diào)性。而在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，我們對定義域的理解往往太過于抽象，沒辦法深刻理解定義域的內(nèi)涵，就不能在解題過程中得到正確的答案。因此，深刻理解函數(shù)的定義域，對于我們更好得運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性有重要的意義。

若是在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的過程中遇到瓶頸，大家可以在這兩個(gè)方面找原因，找突破口，問題也就迎刃而解了。以上便是我自己對函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識與理解。

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