用好素材讓探究真正發(fā)生
——《平行四邊形的面積》探究環(huán)節(jié)問題分析與改進(jìn)策略

許冬兒

《平行四邊形的面積》是小學(xué)階段“圖形與幾何”教學(xué)中一個(gè)承上啟下的重要內(nèi)容，它上承長方形、正方形面積教學(xué)，下接三角形、梯形面積教學(xué)，一直被廣大一線教師所重視和研究。

一、問題與分析

關(guān)于平行四邊形面積計(jì)算方法探究環(huán)節(jié)的教學(xué)，常常存在以下幾個(gè)問題：

1.方格使用——機(jī)械單一。

在引入環(huán)節(jié)，教師往往會(huì)創(chuàng)設(shè)平行四邊形與長方形面積大小比較的情境，引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)方格”的方法去驗(yàn)證面積相等，并告知學(xué)生：不滿一格都按半格計(jì)算。由于長方形、正方形面積計(jì)算方法是用擺小方塊的方法進(jìn)行探究的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“度量思想”。將數(shù)方格的方法遷移到平行四邊形面積計(jì)算方法的探究過程中，自然是合理的。然而，平行四邊形卻不是一個(gè)方方正正的圖形，這是它和長方形最本質(zhì)的區(qū)別，占用的格子就不可能都是整格的。此時(shí)教師如果僅僅給出“不滿一格都按半格計(jì)算”的機(jī)械規(guī)定，數(shù)的過程就顯得十分被動(dòng)，學(xué)生更多關(guān)注的只是數(shù)的結(jié)果，缺乏方法與技巧。甚至還會(huì)質(zhì)疑：不滿一格為什么可以按半格計(jì)算？這樣數(shù)出來還準(zhǔn)確嗎？

這樣的數(shù)方格形式單一，又缺乏對學(xué)生整體性思維的培養(yǎng)，無疑是低效的。

2.操作探究——暗含指令。

在探究平行四邊形面積計(jì)算方法環(huán)節(jié)，教師常常會(huì)提供平行四邊形紙片、剪刀、水彩筆等學(xué)具，要求學(xué)生以小組活動(dòng)的形式進(jìn)行探究并出示活動(dòng)要求：通過剪一剪、拼一拼，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形；想一想：平行四邊形與拼成的長方形的面積有什么關(guān)系？平行四邊形的底、高分別與拼成的長方形的長、寬有什么關(guān)系？平行四邊形面積該怎樣計(jì)算？

試想，當(dāng)面對計(jì)算平行四邊形面積這一新問題時(shí)，學(xué)生是自覺想到把平行四邊形剪拼成長方形的嗎？這樣的操作活動(dòng)，學(xué)生更多是按照教師的指令去操作，看似很順利達(dá)成目標(biāo)，但學(xué)生的思維卻無法得到深入發(fā)展。

3.面積公式——不明所以。

在合作探究平行四邊形面積計(jì)算公式時(shí)，教師往往發(fā)給每個(gè)小組同樣的平行四邊形紙片，剪拼推導(dǎo)出這個(gè)平行四邊形面積用“底×高”來計(jì)算，然后歸納得出平行四邊形面積的計(jì)算公式就是“底×高”。這是一個(gè)不科學(xué)的推理過程，這個(gè)平行四邊形的面積可以用“底×高”來計(jì)算，就能斷定所有平行四邊形的面積都可以用“底×高”來計(jì)算了嗎？學(xué)生頭腦中是會(huì)有疑問的。即便教師能追問：“只要沿著其中的一條高剪，所有的平行四邊形一定能拼成長方形，大家說是嗎？”這也只是形式上的不完全歸納，沒有真正引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷不完全歸納的過程。

這樣的面積公式探究，學(xué)生只知其然，卻不知其所以然。

二、改進(jìn)的策略

1.利用顯性素材，為公式推導(dǎo)奠定基礎(chǔ)。

這里的顯性素材是指教師在課始為每位學(xué)生提供的畫有一個(gè)平行四邊形的方格紙。蘇教版教材中的例1從比較方格紙上每組中的兩個(gè)圖形面積是否相等入手，引導(dǎo)學(xué)生把稍復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化成簡單的、熟悉的圖形，讓學(xué)生感受轉(zhuǎn)化方法在圖形面積計(jì)算中的作用，并為進(jìn)一步的探索活動(dòng)提供基本思路。例2引導(dǎo)學(xué)生通過平移把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形。教材一方面突出了平移在轉(zhuǎn)化過程中的應(yīng)用，另一方面也鼓勵(lì)學(xué)生用不同方法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的目的。例3的重點(diǎn)則放在探索平行四邊形與轉(zhuǎn)化成的長方形之間的聯(lián)系上，從而推導(dǎo)出平行四邊形面積計(jì)算方法。值得一提的是，這里的例1、例2的教學(xué)都是以方格紙為載體，方格紙作用的發(fā)揮也僅僅是數(shù)一數(shù)驗(yàn)證一下，這樣就滲透了轉(zhuǎn)化思想及不同的轉(zhuǎn)化方法。通過例2的轉(zhuǎn)化，學(xué)生已能初步從方格圖上感悟轉(zhuǎn)化后平行四邊形與之前長方形之間各部分的關(guān)系，為后面進(jìn)一步探究平行四邊形面積奠定了基礎(chǔ)。

筆者摒棄了教材中“不滿一格按半格計(jì)算”的單純數(shù)格子的方式，而是引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)的過程中自發(fā)產(chǎn)生轉(zhuǎn)化的需要，為后續(xù)發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化前后的長方形和平行四邊形的關(guān)系埋下伏筆。

【教學(xué)片斷一】

師：看來對于這個(gè)平行四邊形的面積計(jì)算，同學(xué)們有兩種不同的方法：7×4=28（cm2）；7×5=35（cm2）。要知道哪一種是正確的，我們可以怎么辦？

生：數(shù)一數(shù)格子。

師：如果一個(gè)小方格的面積是1cm2，你能數(shù)出這個(gè)平行四邊形的面積是多少平方厘米嗎？并且一邊數(shù)一邊把自己是怎么數(shù)的表示在方格紙上。

（反饋不同數(shù)法）

師：這個(gè)平行四邊形的面積是多少？看一下同學(xué)們都是怎么數(shù)的，誰愿意到上面來介紹一下？

生 1：（如下圖1）我把左邊的三角形分開，移到右邊，這樣都是整格的了，就能一格一格數(shù)了，我數(shù)出來有28格，所以是28cm2。

生 2：（如下圖2）我也把左邊的三角形補(bǔ)到右邊變成整格的，數(shù)了數(shù)每行有7格，有4行，所以一共是 4×7=28（cm2）。

生 3：（如下圖3）我是把多出來的這塊直角三角形經(jīng)過平移直接拼到右邊，這樣平行四邊形就拼成了一個(gè)長方形。長方形的長是7cm，寬是4cm，所以面積也是 28（cm2）。

生 4：（如下圖4）我是沿著中間分開，把右邊的梯形平移到左邊，也正好拼成長方形，面積也是 7×4=28（cm2）。

圖1

圖2

圖3

圖4

師：這么多種數(shù)法，你更喜歡哪一種？說說你的理由。

生5：我更喜歡后面兩位同學(xué)的方法，他們其實(shí)都是把平行四邊形割補(bǔ)成了長方形，只要計(jì)算長方形的面積就可以了，這樣方便。

生6：不過同樣是數(shù)，生2的數(shù)法更“高級”。

師：你的“高級”是什么意思？

生：她沒有一格一格數(shù)，只數(shù)了每行的格數(shù)和行數(shù)，比生1方便些。

師：那同樣是算的方法，生3和生4有什么不一樣呢？

生7：生3是沿著頂點(diǎn)出發(fā)的高分開，而生4是沿著中間的高分開。

師：除了這兩種分法，還有其他的分法嗎？你是怎么想的？

生8：我覺得有無數(shù)種分法，因?yàn)槠叫兴倪呅斡袩o數(shù)條高。

“并且一邊數(shù)一邊把自己是怎么數(shù)的表示在方格紙上”的要求把單純的數(shù)格子上升為有不同方法的數(shù)格子，激發(fā)學(xué)生將目光從局部轉(zhuǎn)向整體，促使學(xué)生把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形后再數(shù)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)算一算就可以了，為后續(xù)推導(dǎo)面積公式打下重要的基礎(chǔ)。這樣使用方格紙無疑是有效的。

2.妙用生成素材，讓探究過程科學(xué)完整。

【教學(xué)片斷二】

師：我們已經(jīng)知道了這個(gè)平行四邊形面積的計(jì)算方法，那是不是所有的平行四邊形面積都可以用“底×高”來計(jì)算呢？

學(xué)生有的說可以，有的說不一定。

師：出現(xiàn)了不同的聲音，那接下去我們該怎么辦？

生：用形狀不同的平行四邊形進(jìn)行驗(yàn)證。

師：好，請你拿出另一張方格紙。

師：就請你自己在方格紙上畫一個(gè)和剛才完全不一樣的平行四邊形，也通過割一割、拼一拼來驗(yàn)證它的面積是不是也可以用“底×高”來計(jì)算。

學(xué)生興致盎然，畫著自己心目中的平行四邊形。畫完后組織同桌交流，再全班反饋。

這一環(huán)節(jié)，學(xué)生借助方格紙，創(chuàng)造出了各種形狀的平行四邊形，為進(jìn)一步理解面積計(jì)算公式提供了豐富的素材，并且通過割補(bǔ)都順利轉(zhuǎn)化成了長方形。從這些豐富的素材中，我們可以感受到，各種平行四邊形面積計(jì)算方法的推導(dǎo)已深入學(xué)生的心，學(xué)生已經(jīng)完全理解平行四邊形的面積為什么用“底×高”來計(jì)算了，而且引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了科學(xué)的探究過程。這比教師提供給學(xué)生不同的平行四邊形紙片進(jìn)行驗(yàn)證要有效、有趣得多。

3.補(bǔ)用變式素材，讓公式理解更加全面。

在得出面積計(jì)算公式后，筆者又補(bǔ)充了如下兩個(gè)平行四邊形素材。其目的有三：其一，由于前面都是以方格圖為載體，但其實(shí)練習(xí)中、生活中平行四邊形的出現(xiàn)一般并不帶方格。因此，在借助方格探究出面積計(jì)算方法后，引導(dǎo)學(xué)生想象這兩個(gè)平行四邊形沿高剪開后將會(huì)轉(zhuǎn)化成怎樣的長方形是十分必要的。其二，是因?yàn)樵诜礁窦埳咸峁┗騽?chuàng)造的平行四邊形，學(xué)生習(xí)慣沿著格子線畫高，因此高都是縱向的。這里提出如圖1左右底邊上的高有利于打破學(xué)生的思維定勢，況且尋找左右底邊對應(yīng)的高也是學(xué)生面積公式應(yīng)用的難點(diǎn)。其三，又因?yàn)楦褡訄D上畫出的都是水平放置的平行四邊形，割補(bǔ)時(shí)只是水平平移，這里給學(xué)生提供如圖2可以上下平移轉(zhuǎn)化的平行四邊形，有助于學(xué)生從不同的角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

圖1

圖2

這一組素材的補(bǔ)用，不僅使學(xué)生充分理解了面積推導(dǎo)的過程，而且從多角度、多維度的變式中，對計(jì)算公式的理解更加完整、全面。

4.活用感悟素材，讓探究難點(diǎn)有效突破。

【教學(xué)片斷三】

師：我們已經(jīng)知道平行四邊形的面積是用“底×高”來計(jì)算的，那用“底×鄰邊”的方法為什么就不對了呢？問題究竟在哪兒呢？

（以底12高7鄰邊11的平行四邊形為例）版貼平行四邊形紙片及邊框（如下圖1：分別標(biāo)出底、鄰邊、高的長度）

師：剛才你們都是把平行四邊形轉(zhuǎn)化成了長方形，瞧！我也可以把這個(gè)平行四邊形拉成長方形（拉成如下圖2），這個(gè)長方形的面積不就是長乘寬，也就是底12×鄰邊11嗎？

生1：這個(gè)長方形的面積和原來平行四邊形的面積不一樣了？

師：怎么不一樣了？誰愿意到黑板上邊演示邊解釋？

生2：我們可以把這塊多出的三角形拼到左邊，這個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化成的是這個(gè)長方形，而不是老師拉成的長方形（如下圖3）。

生3：這個(gè)長方形的面積是用12×7來計(jì)算的，老師拉成的長方形面積是12×11。

圖1

圖2

圖3

師：這多出的空白部分面積有多大呢？

生 4：12×（11-7）=48（cm2）。

師：現(xiàn)在你知道平行四邊形面積為什么不能用“底×鄰邊”來計(jì)算了嗎？

生5：知道了，底×鄰邊算出來的是拉成的大長方形的面積，而平行四邊形轉(zhuǎn)化成的是小長方形的面積。

師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察，要是我繼續(xù)拉動(dòng)這個(gè)框架（從圖3—圖4—圖5），你又有什么新的發(fā)現(xiàn)？（同桌討論）

生6：長方形的框架又變成了平行四邊形，而且面積越來越小了。

師：知道面積為什么會(huì)越來越小嗎？

生7：平行四邊形的高越來越短了，所以面積越來越小了。

生8：我發(fā)現(xiàn)不管怎么拉，這個(gè)框架的周長一直都沒有變。

師：誰聽明白他的意思了？

生9：他的意思是不管面積怎么變，平行四邊形框架四條邊的長度始終是兩條12厘米，兩條11厘米，所以周長一直都沒變。

師：看來拉動(dòng)平行四邊形框架，面積變了，周長不變。

圖4

圖5

其實(shí)，澄清錯(cuò)誤比建立正確認(rèn)識(shí)更重要。在上述教學(xué)中，筆者通過自制學(xué)具的動(dòng)態(tài)演示，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)拉動(dòng)后的平行四邊形框架面積變了、周長不變。學(xué)生在觀察、比較、分析等充滿挑戰(zhàn)性的過程中，獲得了真正的數(shù)學(xué)理解，發(fā)展了推理能力，有效突破了本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。