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      對一道關(guān)聯(lián)速度競賽題的理解與探究

      2017-04-01 07:25:51許永為
      物理通報 2017年4期
      關(guān)鍵詞:桿子角速度原題

      許永為

      (德清縣高級中學(xué) 浙江 湖州 313200)

      對一道關(guān)聯(lián)速度競賽題的理解與探究

      許永為

      (德清縣高級中學(xué) 浙江 湖州 313200)

      對《新編高中物理奧賽指導(dǎo)》中一道關(guān)于關(guān)聯(lián)速度探尋的題目,經(jīng)過仔細研讀和解答后,發(fā)現(xiàn)這道題目有值得推敲與商榷部分.現(xiàn)將這道題目呈上,希望與各位老師和同學(xué)一起交流、探討.

      關(guān)聯(lián)速度 速度的分解 微元法 微分法

      1 原題及原題參考解析

      【原題】如圖1所示,AB桿的A端以勻速v沿水平地面向右運動,在運動時桿恒與一半圓周相切,半圓周的半徑為R,當(dāng)桿與水平線的交角為θ時,求桿的角速度ω及桿上與半圓周相切點C的速度.若將AB桿放在橫臥于水平地面的圓柱上,桿的A端以勻速v沿水平地面向右運動,則桿與圓柱接觸點C′的速度大小為多少[1]?

      圖1 題圖

      書上第一部分參考解析:由于半圓周靜止,桿上C點的速度的法向分量為零,故桿上C點的速度必在沿桿方向上.以C點為基點,將桿上A點速度v分解成沿桿方向的分量v1和垂直于桿方向的分量v2,如圖2所示,則v1是A點與桿上C點相同的沿桿方向平動的速度,v2是A點對C點的轉(zhuǎn)動速度.故桿上C點的速度為

      vC=v1=vcosθ

      v2=vsinθ=ω·AC

      AC=Rcotθ

      圖2 分析A點速度

      書上第二部分參考解析:桿與圓柱交點C′沿圓周運動,桿轉(zhuǎn)過的角度與半徑轉(zhuǎn)過的角度相同,所以桿的轉(zhuǎn)動角速度與C′點的角速度相同,如圖3所示,所以C′點的速度為

      圖3 角速度分析

      以上部分是書上的參考解析.從給出的兩部分參考解析中可以知道,點C是桿上的點,而點C′是圓柱上的點,它們同是桿與圓柱的切點.兩者雖為同一個點,但是兩者之間是有相對滑動的,因為兩者速度的大小不一樣.

      2 疑問

      在第一部分解析中,求解了桿的角速度ω及桿上與半圓周相切點C的速度.此部分解答準確無誤.

      但是在第二部分解析中,筆者產(chǎn)生了疑問.且看第二問的問法:若將AB桿放在橫臥于水平地面的圓柱上,桿的A端以勻速v沿水平地面向右運動,則桿與圓柱接觸點C′的速度大小為多少?

      如圖4所示,桿子在圓柱上轉(zhuǎn)動

      vC=v1=vcosθ

      v2=vsinθ=ω·AC

      所以C′點的速度為

      圖4 桿在圓柱上轉(zhuǎn)動分析

      可見桿子在圓柱和圓周上轉(zhuǎn)動的角速度大小不同,且C與C′點速度的大小也不同.

      如果此題的圓柱指的就是半圓周,那么書上第二部分參考解析則是正確的,但是第二部分參考解析給出的圖3卻畫成了一個圓,與半圓周矛盾.

      綜上,筆者認為可將題目中第二問中的圓柱改成半圓周或半圓柱,同時將圖3改成半圓周.這樣對讀者的指向性會更強烈,方便讀者理解.

      3 圓柱上C′點的速度的兩種其他解法

      方法1:采用微元法來討論極短時間內(nèi)位置的變化來求圓柱上C′點的速度.

      如圖5所示,嘗試讓桿轉(zhuǎn)動一個很小的角度Δθ,桿子由AB運動到A′B′,所用的時間為Δt,此時圓柱半徑對應(yīng)轉(zhuǎn)過的角度是Δθ.半徑運動的弧長為RΔθ,C′的速度為

      當(dāng)Δt→0時,Δθ→0.

      圖5 方法1分析圖

      由圖中的幾何關(guān)系可得

      AEsin Δθ=AD

      由于Δθ→0,故sinΔθ=Δθ,化簡得

      所以

      此法較為繁瑣,高中學(xué)生需要具備微元思想,是物理競賽中常用的一種方法.

      方法2:還可采用微分法求解

      化簡得

      負號代表逆時針.

      此法較為簡單,高中學(xué)生需要具備初等高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ),才能事半功倍.此法也是物理競賽中常用的一種方法.

      4 反思

      本道習(xí)題考查了接觸物系關(guān)聯(lián)速度問題,用了3種方法,使學(xué)生得到了良好的訓(xùn)練.本道題的問題集中在對橫臥圓柱體的不同理解,如果理解成圓柱的截面是個圓周,那么會出現(xiàn)不同的答案.所以,筆者認為可將題目第二問中的圓柱改成半圓周或半圓柱,同時將圖3改成半圓周,以方便讀者對本道題的解讀.當(dāng)然教師也可以利用這個機會,讓學(xué)生研究桿子在圓周上轉(zhuǎn)動的情況,這是培養(yǎng)學(xué)生探究精神,訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維的好機會.

      1 范小輝.新編高中物理奧賽指導(dǎo)(第6版).南京:南京師范大學(xué)出版社,2012.12~13

      2016-10-11)

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