幾何直觀：提高學(xué)生思維能力的磨刀石

牛向華

借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要作用。幾何直觀是學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)的手段，它是一種意識、手段，也是一種思維方式。在小學(xué)階段，幾何直觀主要通過數(shù)形結(jié)合的思想來體現(xiàn)。

一、“玩”中感知

在一年級的《重疊問題》中有這樣的情境：你看，穿花衣服的大雁多漂亮呀！從前面數(shù)，它排在第6；從后面數(shù)，它排在第3。這一行大雁一共有多少只呢？

為了幫助學(xué)生理解問題情境，展現(xiàn)學(xué)生的思維，可以讓學(xué)生通過演一演、擺一擺、畫一畫等活動初步感知幾何直觀。

1.演一演：舉手的同學(xué)為“花大雁”。

2.擺一擺：通過具體實物的擺一擺，學(xué)生初步感知用直觀的信息呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題。

3.畫一畫：有的學(xué)生用△代替花大雁，用○代替其他大雁。

通過演一演、擺一擺、畫一畫，學(xué)生很容易看出，花大雁被數(shù)了兩次，即重疊了一次，因此可以這樣列式解決重疊問題5+3=8（只）或 6+3-1=8（只）。

通過畫一畫，把具體事物抽象成幾何圖形，擺脫了實物的束縛，讓學(xué)生體會畫圖的形象性、簡潔性和簡便性，并用“形”刻畫和解釋了問題，做到了數(shù)形結(jié)合，使幾何直觀在學(xué)生心中開始萌芽，學(xué)生聞到了幾何直觀的氣味。

二、“思”中成長

如：在《簡單的搭配問題》中，學(xué)生經(jīng)歷了幾何直觀輔助自己有序思考的全過程，體會到了幾何直觀的必要性。

師：2件上衣和3條裙子一共有多少種搭配方法呢？你能通過擺一擺找到答案嗎？

生：

師：每次用學(xué)具擺很麻煩，怎么辦？

生：連一連。

師：實物太麻煩了，能不能想個辦法再簡單些！

生：可以用符號或圖形代替！

學(xué)生在一步步的方法優(yōu)化中，經(jīng)歷了有序思考和符號化的過程，此間幾何直觀起到了非常重要的作用。學(xué)生通過擺一擺的實物直觀理順了2配3的順序，然后再去體會這種順序還可以用更簡單的方式表達(dá)出來，做到數(shù)形的完美結(jié)合，幾何直觀在學(xué)生心中逐漸成長。

三、“用”中提升

在《植樹問題》一課中，學(xué)生在用幾何直觀輔助理解題意的過程中，數(shù)學(xué)思想方法也悄然入心。

師：20米的小路，每5米栽一棵樹，一共可以栽多少棵樹？你能自己畫圖試試嗎？

生：

師：生活中還有沒有像這樣的植樹問題呢？

生：站隊的時候有植樹問題。

生：插彩旗的時候有植樹問題?！?/p>

師：我們來看看剛才大家提到的這些問題是不是植樹問題呢？

生：它們都是植樹問題，有“樹”也有“間隔”。

學(xué)生們通過幾何直觀把實物圖抽象成線段圖，較好地體會了一一對應(yīng)思想。并且很清楚地感受到“樹”與“間隔”，還能迅速地將它們歸為一類問題，很好地體會了模型思想。在用幾何直觀解決問題的過程中，學(xué)生的思維得到了訓(xùn)練，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了提升。

四、“練”中自覺

在有了初步感知、親歷體驗、素養(yǎng)提升的基礎(chǔ)上，學(xué)生還要在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中自覺去應(yīng)用，讓幾何直觀成為一種思維習(xí)慣，以便更好地幫助自己分析問題、解決問題。

例如文中一開始提到的案例，如果學(xué)生有用幾何直觀解決問題的習(xí)慣，哪怕在頭腦中想象出線段圖的樣子或記住植樹問題這種數(shù)學(xué)模型中段數(shù)與次數(shù)的關(guān)系，都會輕松準(zhǔn)確地解決問題。

再如，在一次練習(xí)中有這樣一道題：倉庫里有一批貨物，第一次運走這批貨物的，第二次運走9噸，此時運走的貨物與剩下的貨物噸數(shù)的比是7:5。這批貨物一共有多少噸？正在很多學(xué)生束手無策找不到解題思路時，已經(jīng)有部分同學(xué)做出來了。我讓其中一名學(xué)生板演時，他就用到了畫線段圖這種幾何直觀思想分析數(shù)量關(guān)系的方法，輕而易舉地解決了問題

當(dāng)然，學(xué)生有能力水平和思維風(fēng)格的差異，面對相同的問題，會出現(xiàn)不同的方法，表現(xiàn)出不同的思維特點，我們也不必強求所有學(xué)生用幾何直觀的方法來表征問題、探索思路。在日常的練習(xí)中，幾何直觀作為一種實踐經(jīng)驗，還要逐步內(nèi)化為思維經(jīng)驗，從而成為一種思維自覺。

幾何直觀能力的培養(yǎng)需要我們教師在讀懂教材、了解編者意圖的基礎(chǔ)上，在教學(xué)中長期關(guān)注，并有意識地滲透。首先我們要選好“點”，即幾何直觀在哪里用。幾何直觀作為一種手段或工具，我們要明確它用在什么地方最恰當(dāng)。我們要有效預(yù)設(shè)教學(xué)，選好幾何直觀能力培養(yǎng)的點，這樣會起到事半功倍的效果。其次我們更要把握好“度”，即用到什么程度停止。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是抽象與推理，所以直觀不是我們的目的，借助幾何直觀實現(xiàn)抽象的思維發(fā)展才是我們的最終目的。幾何直觀完成自己的任務(wù)就要迅速抽身讓位于抽象或者推理，否則將會限制學(xué)生的思維發(fā)展。我們還要讓學(xué)生感受幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，感受它的優(yōu)勢，逐漸將幾何直觀轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在需要。

總之，幾何直觀能力的培養(yǎng)是一個持續(xù)的過程，如果我們從一年級開始就堅持并適當(dāng)?shù)貪B透、引導(dǎo)，在數(shù)學(xué)思考過程中，學(xué)生的頭腦中就會逐步有一個看不見的“形”的支撐，逐漸形成幾何直觀的意識、能力和思維方式，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。