以圖形分析法為基礎(chǔ)的初中幾何解題探究

盧勝容

【摘要】本文論述在引導(dǎo)學(xué)生解答初中數(shù)學(xué)幾何題時(shí)，教師要對(duì)學(xué)生的解題過(guò)程進(jìn)行指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生分析圖形，開(kāi)展變式訓(xùn)練，不斷提高學(xué)生解決幾何題型的能力。基本圖形分析法重在探索解題思路的形成過(guò)程，幫助學(xué)生掌握幾何原理，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，達(dá)到舉一反三、輕負(fù)高效的良好效果。

【關(guān)鍵詞】幾何題型 圖形分析法 分離圖形 構(gòu)造圖形 添加輔助線

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）02A-0079-02

很多初中生認(rèn)為幾何難學(xué)，他們?cè)诮獯饚缀晤}目時(shí)面對(duì)各種形狀的圖形、各式各樣的符號(hào)和條件，經(jīng)常會(huì)感到一頭霧水，找不到解決問(wèn)題的突破口，不但影響了考試成績(jī)，還打擊了學(xué)好數(shù)學(xué)的積極性和自信心。鑒于這種情況，教師要對(duì)學(xué)生解答幾何題的過(guò)程進(jìn)行指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生分析圖形，展開(kāi)變式訓(xùn)練，讓學(xué)生輕松應(yīng)對(duì)幾何圖形題目。下面結(jié)合具體例題來(lái)談一談以圖形分析為基礎(chǔ)的幾何解題策略。

一、根據(jù)已知條件分離圖形，結(jié)合圖形性質(zhì)解題

解答幾何題目需要具備良好的邏輯推理能力，只有對(duì)題目中的已知條件和求證問(wèn)題進(jìn)行靈活恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)換，才能快速地解答。角平分線是初中幾何中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，很多幾何題目都圍繞著這個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)，在中考試題中也不乏角平分線的影子。一些學(xué)生因?yàn)閷?duì)角平線的性質(zhì)等內(nèi)容掌握不夠扎實(shí)，導(dǎo)致在遇到這一類幾何題目時(shí)無(wú)從下手。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析題目的來(lái)龍去脈，通過(guò)分離圖形把題目轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的基本圖形，再結(jié)合圖形的性質(zhì)進(jìn)行解答。

例如，教師出示了一道典型的角平線的題目：如圖1所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，求證：AD=AB.學(xué)生看到這個(gè)題目之后，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)求證的問(wèn)題是AD、AB兩邊相等，而且兩條邊同屬于三角形ABD中，因此可以把求證結(jié)論轉(zhuǎn)化為求證∠ABD=∠ADB.通過(guò)這種求證命題的轉(zhuǎn)化，使看似沒(méi)有頭緒的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單了。學(xué)生根據(jù)角平線的定義，推理得到∠ABD=∠DBC，同時(shí)根據(jù)AD與BC平行的條件，推理得到了∠ADB=∠DBC，由此得到了∠ABD=∠ADB.在三角形ABD中，∠ABD=∠ADB，所以這個(gè)三角形是等腰三角形，即AD=AB.在學(xué)生完成了解答之后，教師再讓學(xué)生回顧解題過(guò)程，梳理解題思路：先看題目求證的問(wèn)題是三角形ABD中的兩條邊相等，這時(shí)就可以把這個(gè)三角形分離出來(lái)了，通過(guò)逆向推理，只需要證明三角形的AD、AB兩條邊所對(duì)應(yīng)的角相等，就可以根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)輕松解題。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：由這道題可以發(fā)現(xiàn)在解答一些含角平分線的題目時(shí)，可以根據(jù)已知條件把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，分離出一個(gè)圖形，再利用這個(gè)圖形的基本性質(zhì)解答問(wèn)題。

由上例分析可知，這種題目可根據(jù)已知和未知對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，分離出簡(jiǎn)單的圖形，使求證的問(wèn)題一目了然。學(xué)生在找到解題突破口之后，就自然而然地順利答題了。

二、添加輔助線構(gòu)造圖形，利用幾何知識(shí)解題

添加輔助線也是初中幾何題解答中常用的方法，對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)，添加輔助線的題目都屬于難度比較大的題目，因?yàn)樗麄儾⒉磺宄谀睦锾砑虞o助線是最合適的。因此，教師在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用添加輔助線的方法解答幾何題目時(shí)，不但要讓學(xué)生明白輔助線添在哪兒，還要使學(xué)生透徹地理解為什么要添在那，讓學(xué)生掌握添加輔助線的技巧。通常來(lái)說(shuō)，很多復(fù)雜的幾何題目在添加輔助線后，都會(huì)變得容易起來(lái)，因?yàn)橥ㄟ^(guò)添加輔助線構(gòu)造了一個(gè)新的圖形，使原來(lái)需要求解或證明的問(wèn)題發(fā)生了轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生找到了答題的方法。

例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)了梯形的相關(guān)知識(shí)之后，教師出示了一道典型的中考題。如圖2所示，梯形ABCD中，AD∥BC，一條腰AB長(zhǎng)為2.5厘米，長(zhǎng)底邊BC長(zhǎng)為4厘米，連結(jié)B、D兩個(gè)頂點(diǎn)，作∠BAD的平分線與線段BD相交于點(diǎn)E，連結(jié)AE，如果AE∥CD，那么AD長(zhǎng)多少？很多學(xué)生一看到這道題給出了這么多已知條件就不知所措了。此時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生再次讀題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)已知梯形的一腰、一底的長(zhǎng)度，求另一底的長(zhǎng)度，但學(xué)生還是找不到從哪里下手解題。此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)本上準(zhǔn)確地把這個(gè)圖畫出來(lái)，學(xué)生畫完圖之后，教師又讓學(xué)生把題目中的已知條件標(biāo)示在圖形中，讓學(xué)生嘗試看能不能把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)移。在教師的點(diǎn)撥下，有些學(xué)生已經(jīng)想到了通過(guò)延長(zhǎng)∠BAD的平分線AE到BC邊，與BC相交于F點(diǎn)，這時(shí)就可以把AD轉(zhuǎn)化成FC了。此時(shí)馬上有學(xué)生大膽推測(cè)：只要求出BF的長(zhǎng)度，問(wèn)題就迎刃而解了。可是，怎么求BF的長(zhǎng)度呢？學(xué)生繼續(xù)觀察發(fā)現(xiàn)在三角形AFB中，∠BAF=∠FAD，∠FAD=∠AFB，所以，∠BAF=∠AFB。根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，推導(dǎo)出AB=BF，則FC=BC-BF，即AD=BC-AB=4-2.5=1.5厘米。

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生一邊看圖一邊思考，通過(guò)合理地添加輔助線，找到了答題的關(guān)鍵點(diǎn)，然后把求解的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。在這個(gè)過(guò)程中，添加輔助線是最關(guān)鍵的一步，借助輔助線構(gòu)造了新圖形，讓原本需要求解的問(wèn)題變得清晰明了。

三、借助旋轉(zhuǎn)方法抽取圖形，借助圖形分析解題

旋轉(zhuǎn)作為物體位置移動(dòng)的一種常見(jiàn)方式，對(duì)發(fā)展學(xué)生的空間想象力具有重要的作用。在幾何題中，有些已知條件比較繁雜，要求的問(wèn)題看上去也與已知條件沒(méi)有關(guān)系，這時(shí)學(xué)生往往都會(huì)感覺(jué)到束手無(wú)策。要解決這一類型的幾何題目，需要學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有較強(qiáng)的靈活性，再根據(jù)題目的意思，借助自己的空間想象力，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，從中抽取圖形，并結(jié)合圖形的性質(zhì)把看似復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，提高解題效率。

例如，在九年級(jí)總復(fù)習(xí)中有這樣一道題：如圖3所示，在正方形ABCD中，E點(diǎn)在正方形內(nèi)部，分別把E點(diǎn)與A、B、C三個(gè)頂點(diǎn)相連，得到了△ABE，然后把這個(gè)三角形繞B點(diǎn)進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBE′。已知AE=1，BE=2，CE=3，求∠BE′C是多少度？學(xué)生根據(jù)題意先畫出了草圖，在畫圖的過(guò)程中，就有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了△ABE旋轉(zhuǎn)90°，其實(shí)就是AB邊旋轉(zhuǎn)到了BC的位置，BE旋轉(zhuǎn)到了BE′的位置。因此很多學(xué)生就想到了把EE′兩點(diǎn)連接起來(lái)，就得到了一個(gè)等腰三角形，再根據(jù)BE旋轉(zhuǎn)90°得到了BE′，所以∠EBE′=90°。此時(shí)，很多學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)∠BE′E=45°，只要再求出∠EE′C的度數(shù)就可以了。根據(jù)勾股定理EE′2=BE2+BE′2=8，而在△EE′C中，EC=3，E′C=1，EE′2=8，根據(jù)勾股定理可知，△EE′C是直角三角形，則∠EE′C=90°，從而推算出∠BE′C=45°+90°=135°。

在解答這類題目時(shí)，學(xué)生的大腦很容易受到題目信息的干擾，思路不清晰，找不到解題的突破口。通過(guò)旋轉(zhuǎn)圖形，結(jié)合想象，就可以發(fā)現(xiàn)已知條件與求解問(wèn)題之間的聯(lián)系，從而通過(guò)層層推導(dǎo)，得到求解的答案。

總的來(lái)說(shuō)，圖形是幾何學(xué)習(xí)和研究的核心內(nèi)容，幾何題的解答離不開(kāi)圖形性質(zhì)的分析和各種定理的應(yīng)用。教師在指導(dǎo)學(xué)生解答幾何題目時(shí)，需要有意識(shí)地教會(huì)學(xué)生思考的方法，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已知條件進(jìn)行分析，抓住要點(diǎn)，抽絲剝繭，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，把未知的內(nèi)容已知化，學(xué)會(huì)舉一反三，做到觸類旁通，不斷訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。