應(yīng)用偽譜法的運(yùn)載火箭在線制導(dǎo)方法研究

張志國，余夢倫，耿光有，宋 強(qiáng)

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076)

應(yīng)用偽譜法的運(yùn)載火箭在線制導(dǎo)方法研究

張志國，余夢倫，耿光有，宋 強(qiáng)

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076)

研究Gauss偽譜法(GPM)在液體運(yùn)載火箭拋罩結(jié)束到入軌飛行段制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中的應(yīng)用性。在每一個(gè)制導(dǎo)周期內(nèi)，采用高效高精度數(shù)值軌跡優(yōu)化方法計(jì)算當(dāng)前制導(dǎo)周期內(nèi)的制導(dǎo)律。通過合理選擇非線性規(guī)劃問題的基點(diǎn)數(shù)量和制導(dǎo)周期，節(jié)省制導(dǎo)方法計(jì)算時(shí)間。將基于偽譜法的制導(dǎo)方法與運(yùn)載火箭中使用的迭代制導(dǎo)方法進(jìn)行對比，在保證同等入軌精度的條件下，該方法對于復(fù)雜約束問題處理方法更為便捷，滿足在線制導(dǎo)的需求。同時(shí)仿真表明,該方法能夠有效應(yīng)對各種偏差，是比較接近工程應(yīng)用的一種方法。

偽譜法；實(shí)時(shí)在線制導(dǎo)；軌跡優(yōu)化；非線性規(guī)劃(NLP)

0 引 言

制導(dǎo)技術(shù)是影響飛行器性能的關(guān)鍵技術(shù)，從國內(nèi)外運(yùn)載火箭的發(fā)展歷程來看，制導(dǎo)方法經(jīng)歷了從開環(huán)制導(dǎo)到閉環(huán)制導(dǎo)，從攝動制導(dǎo)、迭代制導(dǎo)到實(shí)時(shí)在線預(yù)測制導(dǎo)的發(fā)展。制導(dǎo)方法的發(fā)展主要圍繞兩個(gè)關(guān)鍵問題，即制導(dǎo)精度和制導(dǎo)效率。傳統(tǒng)制導(dǎo)方法受硬件性能限制，為保證制導(dǎo)效率主要采用解析方法，犧牲了部分制導(dǎo)精度，如攝動制導(dǎo)，射前裝訂好制導(dǎo)參數(shù)，可以在線實(shí)時(shí)制導(dǎo)，但精度不高。隨后迭代制導(dǎo)方法的出現(xiàn)，提升了火箭的制導(dǎo)精度，但由于迭代制導(dǎo)在方法中對引力場采用了近似處理，方法誤差無法完全消除，同時(shí)迭代制導(dǎo)對末端程序角不加限制，無法控制火箭入軌的姿態(tài)，對于有姿態(tài)需求的任務(wù)需要單獨(dú)增加調(diào)姿段。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，使得高精度的制導(dǎo)數(shù)值計(jì)算方法成為可能，尤其是高效高精度軌跡優(yōu)化計(jì)算方法的發(fā)展，衍生出了一系列基于軌跡優(yōu)化方法的制導(dǎo)新方法。如基于數(shù)值間接法、直接法[1]、混合法[2]軌跡優(yōu)化的制導(dǎo)方法，本文采用的偽譜法即為直接法中的一種。

每一次制導(dǎo)運(yùn)算實(shí)際上是進(jìn)行一次軌跡優(yōu)化計(jì)算，只是不需要獲得全局優(yōu)化和控制參數(shù)，而只需要獲得當(dāng)前制導(dǎo)周期內(nèi)的控制變量?；跀?shù)值間接法的制導(dǎo)方法受到間接法初值敏感，計(jì)算時(shí)間長而在當(dāng)前計(jì)算機(jī)條件下實(shí)時(shí)制導(dǎo)應(yīng)用受到限制?；谥苯臃ǖ闹茖?dǎo)方法通過合理選擇問題的階數(shù)，一方面相對間接法能夠節(jié)省制導(dǎo)方法計(jì)算時(shí)間，另一方面針對復(fù)雜的約束條件仍能獲得較高的制導(dǎo)精度。是比較接近工程的一種方法。

偽譜法[3-4]將高度非線性微分方程的解用插值多項(xiàng)式表示出來，即通過有限個(gè)離散基點(diǎn)來近似狀態(tài)變量和控制變量，相應(yīng)基點(diǎn)處的微分方程、約束條件和系統(tǒng)積分指標(biāo)都可以表示成基點(diǎn)的代數(shù)方程。原微分問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)非線性規(guī)劃(Nonlinear programming, NLP)問題，對于大規(guī)模NLP問題的求解方法主要有序列二次規(guī)劃(Sequential quadratic programming, SQP)法和內(nèi)點(diǎn)法，基于這兩種方法已有一些成熟的軟件，如基于SQP方法的SNOPT[5]、NPSOL等軟件，基于內(nèi)點(diǎn)法的IPOPT軟件[6]，近年來，這些方法均得到了快速發(fā)展，使得偽譜法的應(yīng)用越來越廣泛。

偽譜法在應(yīng)用過程中，若在Matlab環(huán)境下編程(如：采用GPOPS工具箱)，計(jì)算精度高但效率偏低，適合用于離線計(jì)算，如文獻(xiàn)[7]中求解月球定點(diǎn)著陸問題和文獻(xiàn)[8]求解固體火箭上升段軌跡優(yōu)化問題，計(jì)算耗時(shí)為分鐘的量級。若要提高數(shù)值方法計(jì)算效率，從而滿足在線軌跡規(guī)劃和制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的實(shí)時(shí)性需求，解決思路包括采用更高效的編程環(huán)境、簡化問題模型、改進(jìn)NLP問題求解方法的效率等，如文獻(xiàn)[9]將軌跡跟蹤制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為線性時(shí)變系統(tǒng)調(diào)節(jié)器問題來進(jìn)行求解，文獻(xiàn)[10]中采用狀態(tài)量縮減的方法改進(jìn)閉環(huán)制導(dǎo)方法的計(jì)算效率。

本文采用C語言版本SNOPT求解器，通過選取不同配點(diǎn)和制導(dǎo)周期，比較得出合適的制導(dǎo)參數(shù)選取方案，在保證入軌精度的同時(shí)，進(jìn)一步提高制導(dǎo)律的求解效率，滿足在線設(shè)計(jì)需求。該方法能夠有效處理帶末端姿態(tài)約束火箭制導(dǎo)問題，處理過程簡便，并能很好地適應(yīng)一定范圍內(nèi)的雙向偏差。

1 偽譜法軌跡優(yōu)化方法

已知一般的非線性系統(tǒng)最優(yōu)控制問題，包括狀態(tài)方程、等式(不等式)約束、性能指標(biāo)三部分，整個(gè)最優(yōu)控制問題要求在滿足狀態(tài)方程和等式(不等式)約束的條件下，使得性能指標(biāo)達(dá)到極小值，統(tǒng)一形式可以寫為：

(1)

式中：x(t)、u(t)分別表示狀態(tài)變量和控制變量，t0、tf分別表示最優(yōu)控制問題的起始時(shí)間和末端時(shí)間，E和C分別表示等式約束和不等式約束。偽譜法插值多項(xiàng)式的選擇主要有Legendre多項(xiàng)式和Chebyshev多項(xiàng)式兩種，根據(jù)基點(diǎn)位置、插值多項(xiàng)式種類、積分形式的不同選取方法，偽譜法分為Legendre偽譜法、Gauss偽譜法、Radau偽譜法和Chebyshev偽譜法，幾種方法的計(jì)算效率和精度相當(dāng)[11]，其中Gauss偽譜法的解滿足庫恩-塔克(Karush-Kuhn-Tucker,KKT)條件，利用余向量映射定理，可以證明Gauss偽譜法的解同間接法的解具有一致完備性，因此在軌跡優(yōu)化問題中被廣泛采用[12]。本文采用Gauss偽譜法，配點(diǎn)選擇正交Legendre多項(xiàng)式的零點(diǎn)，積分采用Gauss積分公式，正交Legendre多項(xiàng)式的基點(diǎn)在(-1,1)之間取值，需要首先將時(shí)間變量[t0,tf]投影變換到[-1,1]內(nèi)。

(2)

將連續(xù)最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為以Legendre-Gauss基點(diǎn)處的狀態(tài)變量和控制變量為未知系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)NLP問題[4]。

(3)

式中：k為有限的離散基點(diǎn)，Xk、Uk分別為離散時(shí)刻τk處的狀態(tài)變量和控制變量。采用Lagrange插值，Dk,i為Lagrange插值多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)，用于計(jì)算狀態(tài)量微分方程的等式約束。wk為Gauss積分公式中的積分權(quán)重，當(dāng)基點(diǎn)數(shù)給定時(shí)為常值。其中Dk,i的表達(dá)式為

(4)

對于式(3)構(gòu)成的適當(dāng)規(guī)模的NLP問題，目前有多種數(shù)值方法可以高效地給出求解結(jié)果。

2 基于偽譜法的實(shí)時(shí)在線制導(dǎo)方法

火箭與導(dǎo)彈的制導(dǎo)目標(biāo)不同，火箭需要瞄準(zhǔn)目標(biāo)軌道根數(shù)。迭代制導(dǎo)開始作用在拋罩后飛行段[13]。本文基于偽譜法的實(shí)時(shí)制導(dǎo)方法選擇同樣飛行狀態(tài)作為初始狀態(tài)，制導(dǎo)開始時(shí)，火箭已經(jīng)拋掉整流罩，在真空飛行，沒有空氣動力，主要受到重力和發(fā)動機(jī)推力影響，發(fā)動機(jī)參數(shù)偏差，主要包括比沖、推進(jìn)劑秒耗量偏差，推力作用線橫移和偏斜等。飛行過程中做瞬時(shí)平衡假設(shè)，制導(dǎo)參數(shù)的選取僅包括俯仰角和偏航角兩個(gè)變量。因此火箭動力學(xué)微分方程可以寫為：

(5)

式中：狀態(tài)量x、y、z，Vx、Vy、Vz，m分別表示火箭的位置，速度和質(zhì)量。控制量φ、ψ分別表示火箭的俯仰程序角和偏航程序角。F(t) 表示火箭發(fā)動機(jī)的推力。性能指標(biāo)函數(shù)為：

(6)

對于推力大小不可調(diào)的火箭來說，時(shí)間最優(yōu)性能指標(biāo)等價(jià)于燃料最優(yōu)。考慮一級飛行結(jié)束時(shí)程序角已經(jīng)固定，因此制導(dǎo)開始時(shí)，程序角初值是問題的一個(gè)約束，如果考慮火箭末端姿態(tài)，過程中角加速度限制，最優(yōu)問題的約束方程可以寫為：

(7)

(8)

(9)

在每個(gè)制導(dǎo)周期內(nèi)，根據(jù)火箭當(dāng)前的狀態(tài)量，進(jìn)行一次偽譜法軌跡優(yōu)化計(jì)算，獲得剩余飛行時(shí)間內(nèi)的控制變量基點(diǎn)值，通過Lagrange插值得到當(dāng)前狀態(tài)下的控制量，僅取當(dāng)前控制量作為火箭制導(dǎo)控制參數(shù)

(10)

式中：U0(τ=-1)即為當(dāng)前時(shí)刻的制導(dǎo)律。飛行全過程按照此方法進(jìn)行滾動時(shí)域優(yōu)化控制，即可實(shí)現(xiàn)火箭實(shí)時(shí)在線制導(dǎo)，基于偽譜法的實(shí)時(shí)在線制導(dǎo)流程如圖1所示。

偽譜法最大的優(yōu)勢在于能夠用更少的參數(shù)得到較高的計(jì)算精度。從理論上講，插值點(diǎn)選取的越多，計(jì)算結(jié)果精度將越高，但是隨著基點(diǎn)的增多將帶來計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間的大大增加，這將使直接法計(jì)算效率的優(yōu)勢不再明顯。下面分別選擇基點(diǎn)數(shù)=4、8、12三種情況進(jìn)行單次偽譜法軌跡優(yōu)化方法計(jì)算，選擇同樣的收斂控制精度，統(tǒng)計(jì)單步偽譜法的計(jì)算時(shí)間，并獲得俯仰角和偏航角變化曲線圖2和圖3(數(shù)值仿真過程采用臺式機(jī)CPU3.19GHZ，內(nèi)存1.93GB)。

表1 不同基點(diǎn)數(shù)量條件下偽譜制導(dǎo)法計(jì)算效率

由表1可知，選擇同等要求的數(shù)值算法收斂精度，隨著離散基點(diǎn)數(shù)量的增加，單步偽譜法計(jì)算時(shí)間不斷增加，對于很少的基點(diǎn)，偽譜法仍然能夠得到較高的收斂精度，但注意該精度是插值意義下的收斂精度，即保證通過配點(diǎn)進(jìn)行Lagrange插值得到的末端狀態(tài)收斂精度。

實(shí)時(shí)制導(dǎo)周期的選擇至少要大于單步計(jì)算周期，考慮到選擇8～12個(gè)基點(diǎn)的單步偽譜法計(jì)算周期在100～200 ms的量級，本文分別采用10 s、5 s和1 s三種制導(dǎo)周期進(jìn)行實(shí)時(shí)制導(dǎo)方法計(jì)算，仿真結(jié)果如圖4和圖5所示?？疾觳煌茖?dǎo)周期對入軌精度的影響，同時(shí)用制導(dǎo)周期為1 s的迭代制導(dǎo)[15]入軌精度作對比。

從位置速度和軌道根數(shù)同標(biāo)稱入軌條件的偏差(見表2和表3)可以看出，偽譜制導(dǎo)法選取的制導(dǎo)周期越短，入軌精度越高，并且和迭代制導(dǎo)能夠獲得同樣量級的入軌精度。圖5的偏航程序角歷程和圖3有一定的差異，是由于圖3為單次全局軌跡優(yōu)化曲線；圖5為周期制導(dǎo)曲線，控制量通過偽譜法的有限個(gè)基點(diǎn)插值獲得，并且在每個(gè)制導(dǎo)周期內(nèi)才更新，導(dǎo)致積分獲得的狀態(tài)量和標(biāo)準(zhǔn)彈道略有差異，求解最優(yōu)控制問題進(jìn)而引起偏航程序角微小變化。偏航程序角設(shè)計(jì)是在0°附近，火箭基本在射面內(nèi)飛行，雖然圖上顯示趨勢不同，但是相對量級很小(在1°以內(nèi))，符合工程設(shè)計(jì)要求。而俯仰程序角由于基準(zhǔn)值較大，圖4和圖2曲線一致。

在制導(dǎo)末段，為了防止制導(dǎo)程序角出現(xiàn)不穩(wěn)定情況，在最后兩到三個(gè)制導(dǎo)周期內(nèi)不進(jìn)行偽譜法更新計(jì)算，而是采用前一個(gè)制導(dǎo)周期已經(jīng)求得的末端最優(yōu)制導(dǎo)程序角進(jìn)行插值。因此和末端近似的迭代制導(dǎo)方法獲得同等量級的入軌精度，如果想進(jìn)一步提升入軌精度并且工程上可用，無論何種方法都需要首先解決末端程序角跳變不穩(wěn)定問題。但其實(shí)當(dāng)前方法的入軌精度相對于導(dǎo)航精度已經(jīng)足夠。

表2 不同制導(dǎo)周期下位置速度入軌精度

表3 不同制導(dǎo)周期下軌道根數(shù)入軌精度

表4 不同末端條件下軌道根數(shù)的入軌精度

3 末端帶約束制導(dǎo)方法研究

迭代制導(dǎo)對末端程序角不加限制，無法控制火箭入軌的姿態(tài)，但對于基于偽譜法的制導(dǎo)方法不存在這一問題，因?yàn)閭巫V法的優(yōu)勢就在于處理約束復(fù)雜的問題，無論是過程約束還是末端約束，不需要解析推導(dǎo)新的一階必要條件，僅需通過將約束施加在原問題的離散點(diǎn)上，即可求得有約束問題的制導(dǎo)律控制?？紤]末端有姿態(tài)角約束的問題，分別選擇俯仰角-10°、-20°、-30°三種狀態(tài)，偏航角0°、-2°、+2°三種狀態(tài)，用偽譜制導(dǎo)法進(jìn)行制導(dǎo)控制得到軌道根數(shù)的入軌精度(見表4)。

從圖6和圖7可以看出，對于末端有姿態(tài)角約束的問題，基于偽譜法的制導(dǎo)算法能夠獲得與末端無約束問題同等量級入軌精度的制導(dǎo)率，入軌軌道根數(shù)中半長軸、偏心率、軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)均在1.0×10-4(°)量級以下，唯一變化的是影響入軌位置的真近點(diǎn)角，這是由于對于火箭來說，不考慮發(fā)動機(jī)搖擺，火箭的姿態(tài)決定了推力的方向，同時(shí)假設(shè)火箭一直滿推的情況，當(dāng)末端增加姿態(tài)約束時(shí)，如果目標(biāo)仍然瞄準(zhǔn)初始設(shè)計(jì)的全部六個(gè)軌道根數(shù)，新的最優(yōu)軌跡可能已不再是運(yùn)載能力最優(yōu)的軌跡[14]，因此需要放松一個(gè)瞄準(zhǔn)參數(shù)，即真近點(diǎn)角，調(diào)整合適的入軌位置，保證運(yùn)載能力最大，如果采用緯度幅角參數(shù)(u=ω+f)，則其入軌精度也可達(dá)到1.0×10-4(°)量級。

從不同末端約束條件下的控制程序角曲線(圖6和圖7)可以看出，俯仰和偏航程序角的斜率都發(fā)生了變化，也可以從另一個(gè)側(cè)面說明新的制導(dǎo)控制飛行路線已經(jīng)不再是原來的標(biāo)準(zhǔn)彈道，如果初始程序角沒有變化，真正決定施加末端約束條件下能否可控的條件是角加速度的控制能力，尤其是初始程序角能否快速過渡到最優(yōu)控制程序角曲線上來。另一方面，該方法在控制末端程序角雖然采用插值控制，但基本是線性變化，即無論前期程序角如何變化，末端程序角都表現(xiàn)為線性控制，這樣利于工程實(shí)施的可行性和制導(dǎo)控制的可靠性。

4 制導(dǎo)方法應(yīng)對偏差的收斂性

火箭實(shí)際飛行過程中會受到各種偏差干擾的影響，因此需要考察制導(dǎo)方法對于各種偏差的適應(yīng)性。理論上只要偏差沒有超出火箭能力所能到達(dá)的范圍時(shí)，制導(dǎo)方法應(yīng)該能夠應(yīng)對各種偏差并且控制火箭到達(dá)既定軌道。這里參考茹家欣[13]在迭代制導(dǎo)方法中加偏差測試的方法，將火箭各種狀態(tài)偏差折合到出發(fā)時(shí)刻的偏差。文中考慮火箭二級飛行段制導(dǎo)律設(shè)計(jì)，因?yàn)槎夛w行初始偏差主要來自于起飛和一級飛行段，火箭制導(dǎo)的誤差來源主要包括工具誤差和方法誤差：工具誤差的主要來源是慣性器件的測量偏差，根據(jù)現(xiàn)有一級飛行段工程中使用的慣性器件所能達(dá)到的測量精度進(jìn)行估算，如速度、位置的偏差；方法誤差包括質(zhì)量、發(fā)動機(jī)偏差、環(huán)境等因素，如文中考慮質(zhì)量約±1%的偏差。分別考慮正負(fù)極偏差的情況，選擇同樣的入軌條件，得到基于偽譜法的制導(dǎo)方法應(yīng)對偏差制導(dǎo)結(jié)果如表5所示。

表5 正負(fù)極初始偏差條件下軌道根數(shù)的入軌精度

對于含偏差問題，如果瞄準(zhǔn)初始設(shè)計(jì)的六個(gè)軌道根數(shù)，同樣有運(yùn)載能力變化的問題，因此仍然考慮瞄準(zhǔn)五個(gè)入軌軌道根數(shù)，調(diào)整入軌位置，將真近點(diǎn)角約束放松作為f0±10°的約束，通過施加幾組正負(fù)偏差，數(shù)值仿真表明，偽譜制導(dǎo)法都能夠很好的適應(yīng)，并且保證較高的入軌精度。

5 結(jié)束語

本文設(shè)計(jì)了基于偽譜法的運(yùn)載火箭在線制導(dǎo)方法，針對火箭拋罩結(jié)束到入軌動力飛行段制導(dǎo)律進(jìn)行數(shù)值仿真，結(jié)果表明基于偽譜法的制導(dǎo)方法應(yīng)用于實(shí)時(shí)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)時(shí)，確有較高的制導(dǎo)效率和制導(dǎo)精度，可以和迭代制導(dǎo)有同樣甚至更高的入軌精度。選擇合適的基點(diǎn)數(shù)量和制導(dǎo)周期可以平衡制導(dǎo)效率和制導(dǎo)精度的關(guān)系。該方法在處理多約束制導(dǎo)問題時(shí)處理簡單，效率高，并且能很好的適應(yīng)一定范圍內(nèi)的雙向偏差，為偽譜制導(dǎo)方法的工程應(yīng)用提供一定參考。

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通信地址：北京市豐臺區(qū)南大紅門路1號(100076)

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(編輯：牛苗苗)

Research on Application of Pseudo-Spectral Method in Online Guidance Method for a Launch Vehicle

ZHANG Zhi-guo, YU Meng-lun, GENG Guang-you, SONG Qiang

(Beijing Institute of Aerospace System Engineering, Beijing 100076, China)

The study conducts an application research on the guidance law design of the ascent trajectory for a launch vehicle based on the Gauss pseudo-spectral method (GPM). During each period, high efficiency and high precision trajectory optimization numerical methods are used to design the current guidance law. Through making appropriate choices about the number of nodes and the period of guidance, this method is not only to reduce the calculation time, but also to solve the constrained problem rapidly. Compared to the iterative guidance method, the GPM guidance method is much more easily to deal with the constrained problem under the same orbit injection precision. Simulations indicate that this method can also effectively deal with a variety of deviations, so it is very closer to the engineering application.

Pseudo-spectral method; Real-time online guidance; Trajectory optimization; Nonlinear programming (NLP)

2016-09-05;

2017-01-03

V448.13

A

1000-1328(2017)03-0262-08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.03.006

張志國(1991-)，男，博士生，主要從事飛行器軌跡優(yōu)化、制導(dǎo)與控制方法研究。