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    復矩陣方程組的Hermite解

    2017-03-30 03:29:30胡志增楊春花
    關(guān)鍵詞:內(nèi)積湘潭方程組

    胡志增,楊春花

    (湘潭大學 數(shù)學與計算科學學院,湖南 湘潭 411105)

    復矩陣方程組的Hermite解

    胡志增,楊春花

    (湘潭大學 數(shù)學與計算科學學院,湖南 湘潭 411105)

    復矩陣方程;有限迭代算法;共軛;Hermite解

    線性系統(tǒng)理論中出現(xiàn)大量的矩陣方程,所以對于怎樣求解矩陣方程的研究是十分必要的,也是必須的。對矩陣方程的求解方法也已經(jīng)有了許多研究,其中Kronecker積是一個重要的方法。但是在求解大型矩陣時會對內(nèi)存有較高的要求,舍入誤差也可能更大,所以迭代求解法在求解矩陣方程中開始出現(xiàn)。很多工作者用迭代法求解矩陣方程[1-7],但是還有很多的問題需要進一步研究。

    對于矩陣A,B∈Cm×n,如果〈A,B〉=0,就說A和B正交。如果對于矩陣序列A1,A2,A3,…,Ak成立〈Ai,Aj〉=0 (i≠j),就稱這個矩陣序列是正交的。

    問題1:對于給定的矩陣A1,A2∈Cp×m,B1,B2∈Cm×q,C1,C2∈Cp×m,D1,D2∈Cm×q,M1,M2∈Cp×q,求矩陣X∈HCm×m,使得

    (1)

    下面,建立一種迭代算法,求解矩陣方程組(1)的Hermite解。

    1 預備知識

    首先給出一個從復數(shù)空間到實數(shù)域R的內(nèi)積,所定義的這個內(nèi)積在本文中是十分重要的。而實數(shù)域內(nèi)積的定義參看文獻[8]。

    定理1.1 定義從空間Cm×n到實數(shù)域R的內(nèi)積為〈A,B〉=Re[tr(AHB)],其中A,B∈Cm×n,則所定義的內(nèi)積是一個內(nèi)積空間。下面用(Cm×n,R,〈·,·〉)表示這個內(nèi)積空間。

    (2)對任意實數(shù)α,矩陣A,B,C∈Cm×n,很容易得到下列結(jié)果

    〈αA,B〉=Re[tr((αA)HB)]=Re[tr(αAHB)]=Re[αtr(AHB)]=αRe[tr(AHB)]=α〈A,B〉。

    〈A+B,C〉=Re[tr((A+B)HC)]=Re[tr(AH+BH)C)]=〈A,C〉+〈B,C〉。

    (3)顯然tr(AHA)>0,當A≠0時。所以〈A,A〉=Re[tr(AHA)]>0對所有A≠0均成立。

    上述定理中的證明說明從空間Cm×n到實數(shù)域R的所定義的內(nèi)積滿足內(nèi)積空間的條件,所以說(Cm×n,R,〈·,·〉)是一個內(nèi)積空間。

    2 求Hermite解方程組的迭代算法

    算法2.1

    第1步:輸入矩陣A1,A2∈Cp×m,B1,B2∈Cm×q,C1,C2∈Cp×m,D1,D2∈Cm×q,M1,M2∈Cp×q以及任意初始矩陣X1∈HCm×m

    第2步:計算

    第3步:計算

    第4步:計算

    如果Rk+1=0或者Rk+1≠0,Qk+1=0,則停止,否則,令k:=k+1,回到第2步繼續(xù)計算。

    為了證明算法2.1的收斂性,首先驗證以下一些基本的性質(zhì)。

    引理2.1 對于由算法2.1所產(chǎn)生的矩陣序列{Ri},{Pi},{Qi},有下列等式成立:

    (2)

    證明:由算法2.1可知

    (3)

    同理有

    (4)

    由此

    (5)

    (6)

    所以

    (7)

    因此結(jié)論成立。

    引理2.2 對于由算法2.1所產(chǎn)生的矩陣序列{Ri}、{Pi}、{Qi},當k≥2時有下列等式成立:

    〈Ri,Rj〉=0,〈Qi,Qj〉=0 (i,j=1,2,3,…,k)。

    (8)

    證明:當k=2時,而Q1H=Q1,由引理2.1以及迭代算法可知

    (9)

    即有〈R2,R1〉=0成立,同理可證〈Q2,Q1〉=0成立。

    假設(shè)式(8)對所有k=s成立,注意到QsH=Qs,〈Qs,Qs-1〉=0,由引理2.1可知

    =‖Rs‖2-‖Rs‖2=0。

    (10)

    同理可證

    〈Qs+1,Qs〉=0。

    (11)

    當j=1時,容易通過引理2.1驗證〈Rs+1,Rj〉=0。對于j=2,3,…,s-1,由假設(shè)〈Rs,Rj〉=0,〈Qs,Qj〉=0,〈Qs,Qj-1〉=0,由引理2.1和迭代算法,可以證得:

    (12)

    (13)

    (14)

    也就是說式(10)對k=s+1也成立,所以由歸納法可知引理3.2成立。

    引理3.3 假設(shè)方程組(1)是相容的,X*是方程組的任意一個解,則

    〈X*-Xk,Qk〉=‖Rk‖2,k=1,2,3,…

    (15)

    證明:當k=1時,注意到(X*-X1)H=X*-X1,所以

    (16)

    所以〈X*-X1,Q1〉=‖R1‖2,假設(shè)當k=s時成立〈X*-Xs,Qs〉=‖Rs‖2,

    易證

    (17)

    =〈Us+1,Us+1〉+〈Vs+1,Vs+1〉=‖Rs+1‖2。

    (18)

    由歸納法可知結(jié)論成立。

    定理1 假設(shè)方程組(1)相容,對任意初始矩陣X1∈HCm×m,則通過所建立的算法最多迭代2pq+1步即可求出方程組的解。

    證明:假設(shè)Ri≠0,i=1,2,…,2pq,通過引理2.3可知Qi≠0,i=1,2,…,2pq,所以可以通過所建立的算法得到X2pq+1,R2pq+1,且由引理2.2可知〈Ri,Rj〉=0i,j=1,2,…,2pqi≠j,也就是說{Ri}i=1,2,…,2pq對于定義在復數(shù)域上的內(nèi)積空間(Cm×n,R,〈·,·〉)是正交矩陣列。由引理2.3可知〈R2pq+1,Ri〉=0i=1,2,…,2pq,由所定義內(nèi)積空間的維數(shù)可知必有R2pq+1=0,所以X2pq+1就是方程組(1)的解。證畢。

    3 數(shù)值舉例

    在這一部分,將給出兩個例子來驗證所給算法的有效性,試驗中都采用MATLAB R2012a進行計算。由于計算誤差的影響,當‖T‖<ε=10-2時,就認為T=0。但是隨著問題計算規(guī)模的不同,可以適當取的更大或更小。

    例:對于問題1,給定矩陣A1,A2,B1,B2,C1,C2,D1,D2,M1,M2如下

    4 結(jié) 語

    [1]LiangK,LiuJ.Iterativealgorithmsfortheminimum-normsolutionandtheleast-squaressolutionofthelinearmatrixequationsA1XB1+C1XTD1=M1,A2XB2+C2XTD2= M2[J].AppliedMathematicsandComputation,2011,218:3166-3175.

    [2]WuAG,FengG,DuanGR,etal.Finiteiterativesolutionstoaclassofcomplexmatrixequationswithconjugateandtransposeoftheunknowns[J].MathematicalandComputerModelling,2010,52:1463-1478.

    [3]PengYX,HuXY,ZhangL.AniterativemethodforsymmetricsolutionsandoptimalapproximationsolutionofthesystemofmatrixequationsA1XB1=C1,A2XB2=C2[J].AppliedMathematicsandComputation,2006,183:1127-1137.

    [4]PengYX,HuXY,ZhangL.AniterationmethodforthesymmetricsolutionsandtheoptimalapproximationsolutionofthematrixequationAXB=C[J].AppliedMathematicsandComputation,2005,160:763-777.

    [5]WangMH,ChengXH,WeiMS.IterativealgorithmsforsolvingthematrixequationAXB+CXTD=E[J].AppliedMathematicsandComputation,2007,187:622-629.

    [6]PengZY.AniterativemethodfortheleastsquaressymmetricsolutionofthelinearmatrixequationAXB=C[J].AppliedMathematicsandComputation,2005,170:711-723.

    [7]WuAG,ZengXL,DuanGR,etal.IterativesolutionstotheextendedSylvester-conjugatematrixequations[J].AppliedMathematicsandComputation,2010,217:130-142.

    [8] 張賢達,矩陣分析與應用[M].北京:清華大學出版社,2004:23-35.

    HermiteSolutionstoClassofComplexMatrixEquations

    HUZhizeng,YANGChunhua

    (XiangtanUniversity,Xiangtan411105,China)

    complexmatrixequations;finiteiterativealgorithms;conjugate;hermitesolution.

    2016-09-14

    胡志增(1991-),男,河南安陽人,在讀碩士研究生,主要從事最優(yōu)控制理論與計算方面的研究.

    10.3969/i.issn.1674-5403.2017.01.022

    O151.24

    A

    1674-5403(2017)01-0084-05

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