基于幾何方法對(duì)太陽(yáng)影子定位的研究

沈曙昀，王 立，郭三敏，閆旭旭，朱家明

(1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)外國(guó)語(yǔ)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；3.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

基于幾何方法對(duì)太陽(yáng)影子定位的研究

沈曙昀1，王 立2，郭三敏3，閆旭旭3，朱家明1

(1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)外國(guó)語(yǔ)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；3.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

目的 針對(duì)視頻中物體的太陽(yáng)影子與軌跡變化數(shù)據(jù)，分析太陽(yáng)影子變化規(guī)律并建立數(shù)學(xué)模型，確定拍攝的地點(diǎn)和日期。方法 (1)對(duì)已知地點(diǎn)、時(shí)間與影子坐標(biāo)情況下的投影問(wèn)題，利用相似三角形原理建立影子長(zhǎng)度變化模型，分析影子長(zhǎng)度的變化規(guī)律，使用壽星天文歷軟件采集數(shù)據(jù)，得到模型結(jié)果。(2)對(duì)已知時(shí)間與影子坐標(biāo)情況下的投影問(wèn)題，對(duì)經(jīng)度與緯度進(jìn)行估計(jì)分析，建立模擬Analemmatic日晷模型。利用二次擬合和太陽(yáng)影子長(zhǎng)度變化規(guī)律，使用MATLAB求解，給出太陽(yáng)影子定位。(3)對(duì)未知地點(diǎn)、時(shí)間情況下的投影問(wèn)題，使用坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換和空間向量建立地平系幾何模型，結(jié)合模擬Analemmatic日晷模型和二次擬合方法，利用MATLAB求解，得到時(shí)間與太陽(yáng)影子定位的經(jīng)緯度值。結(jié)果 (1)2015年10月22日北京時(shí)間9∶00～15∶00時(shí)之間天安門(mén)廣場(chǎng)3 m高的直桿的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度變化曲線圖，曲線端點(diǎn)：9∶00，影子長(zhǎng)度為6.59 m；15∶00，影子長(zhǎng)度為6.70 m。曲線最低影子長(zhǎng)度為3.58 m，此時(shí)時(shí)間為12∶13。(2)文獻(xiàn)[1]中直桿所在的地區(qū)為111.04 °E與4 °N以及111.04 °E 與29～35 °N范圍內(nèi)，直桿可能處在中國(guó)南海、常德市、十堰市、商洛市和宜昌市。(3)文獻(xiàn)[1]日期為9月26日，直桿位于塔吉克斯坦；日期為1月1日，直桿位于中國(guó)南海。結(jié)論 通過(guò)分析視頻中太陽(yáng)陰影軌跡的幾何屬性來(lái)進(jìn)行地理位置估計(jì)計(jì)算，利用幾何關(guān)系建立3種模型，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行由淺入深的分析。在3D角度和測(cè)量條件未知的情況下也可以使用上述研究方法，這使得該方法具有廣泛的應(yīng)用和更大的靈活性。

太陽(yáng)影子定位；模擬Analemmatic日晷模型；二次擬合；MATLAB

隨著網(wǎng)絡(luò)的進(jìn)步，越來(lái)越多的人將自己生活的所見(jiàn)拍攝成視頻發(fā)布到網(wǎng)絡(luò)上，但多數(shù)視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期無(wú)法確定。于是如何確定視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期成為視頻數(shù)據(jù)分析的一個(gè)新的研究課題。太陽(yáng)影子定位技術(shù)就是通過(guò)分析視頻中物體的太陽(yáng)影子變化，確定視頻拍攝地點(diǎn)和日期的一種方法[1]。目前,國(guó)內(nèi)對(duì)于太陽(yáng)影子定位問(wèn)題的研究相對(duì)較少，而國(guó)外的研究成果較為豐富。Van Gool等人研究了陰影機(jī)型物體的模式識(shí)別[2]；Kriegman和Belhumeur[3]提出了投影物體結(jié)構(gòu)與陰影之間的幾何關(guān)系；除此之外,還有對(duì)戶外相機(jī)進(jìn)行校準(zhǔn)的研究方法，例如文獻(xiàn)[4]和[5]陰影對(duì)于視頻理解是很重要的對(duì)象,這是因?yàn)樗芴峁┲匾膸缀尉€索,但是在3D 視覺(jué)應(yīng)用中陰影問(wèn)題沒(méi)有得到廣泛的關(guān)注。目前為止，經(jīng)緯度估計(jì)的方法主要有3種類(lèi)型:基于特征匹配的方法；光度測(cè)量方法；幾何測(cè)量方法。本文根據(jù)文獻(xiàn)[1]中所提供的數(shù)據(jù)，利用幾何方法與Analemmatic日晷投影原理來(lái)分析影子長(zhǎng)度變化與時(shí)間和地點(diǎn)之間的關(guān)系，建立相關(guān)模型以實(shí)現(xiàn)太陽(yáng)影子定位。

1 分析太陽(yáng)影子長(zhǎng)度變化的規(guī)律

1.1 研究思路

為了便于研究視頻中太陽(yáng)影子的變化，首先給定假設(shè)： 太陽(yáng)光線不受云層、地形等因素的影響，直桿延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)地心，假設(shè)所有數(shù)據(jù)來(lái)源科學(xué)、準(zhǔn)確；其次，就相關(guān)知識(shí)構(gòu)建空間坐標(biāo)系；最后結(jié)合全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，可求得太陽(yáng)影子長(zhǎng)度的變化規(guī)律。

圖1 太陽(yáng)光平面投影坐標(biāo)圖

1.2 研究方法

在地平坐標(biāo)系中(見(jiàn)圖1)，h為地平緯度(也稱(chēng)太陽(yáng)高度角)，地平線以上為正，地平線以下為負(fù)。α為地平經(jīng)度(也稱(chēng)方位角)。

太陽(yáng)赤緯角以年為周期，用δ表示，范圍為[+23 °26′, -23 °26′]。太陽(yáng)時(shí)角用ω表示，規(guī)定中天(經(jīng)過(guò)當(dāng)?shù)刈游缛Φ臅r(shí)間)時(shí)角為0 °，上午時(shí)角為負(fù)值，下午時(shí)角為正值，每小時(shí)時(shí)角變動(dòng)為15 °[6]。

研究太陽(yáng)和地球的運(yùn)動(dòng)一般采用地平坐標(biāo)系和赤道坐標(biāo)系，根據(jù)《天文算法》中坐標(biāo)變換的描述[7]，計(jì)算本地地平坐標(biāo)公式：

tan(a)=sin(ω)/(cos(ω)sin(φ)-tan(δ)cos(φ))

sin(h)=sin(δ)sin(φ)+cos(δ)cos(φ)cos(ω)

(1)

根據(jù)三角形邊角關(guān)系和太陽(yáng)高度角的計(jì)算公式[8]，影子長(zhǎng)度變化模型有：

(2)

其中影子長(zhǎng)度L′=A′，φ為測(cè)量點(diǎn)O的緯度。

根據(jù)天文學(xué)中固定指標(biāo)計(jì)算公式[9]，則有公式(3)和(4)：

(3)

ω=15(ST-12)

(4)

其中n為日期天數(shù)，ST為真太陽(yáng)時(shí)，即為測(cè)量點(diǎn)的當(dāng)?shù)貢r(shí)間。

1.3 結(jié)果分析

結(jié)合公式(2)、(3)、(4)得：太陽(yáng)高度角直接決定影子的長(zhǎng)度，當(dāng)太陽(yáng)高度角h越大，影子長(zhǎng)度越短；反之影子長(zhǎng)度越長(zhǎng)。當(dāng)δ與ω固定，φ越接近太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度，影子長(zhǎng)度越短。當(dāng)φ與ω固定，δ不斷增大，影子長(zhǎng)度減小至最短；δ不斷減小，影子長(zhǎng)度不斷增加到最長(zhǎng)長(zhǎng)度。當(dāng)φ與δ固定時(shí)，ω不斷增大，影子長(zhǎng)度增加；反之影子長(zhǎng)度減少。

根據(jù)模型求解2015年10月22日北京時(shí)間9∶00～15∶00時(shí)天安門(mén)廣場(chǎng)(39 °54′26′′N(xiāo),116 °23′29′′E)3米高的直桿的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度。使用壽星天文歷軟件采集北京時(shí)間9∶00～15∶00時(shí)之間對(duì)應(yīng)時(shí)間點(diǎn)的δ、ω?cái)?shù)值，取步長(zhǎng)為900 s。10月22日時(shí)，n=295。已知L=3，使用Excel計(jì)算得表1：

表1 時(shí)間與影子長(zhǎng)度變化表

使用Excel作圖，得到太陽(yáng)影子長(zhǎng)度變化曲線圖,如圖2。

圖2 太陽(yáng)影子長(zhǎng)度變化曲線圖

由圖2知，9∶00時(shí)，影子長(zhǎng)度為6.59 m，15∶00時(shí)，影子長(zhǎng)度為6.70 m；曲線最低影子長(zhǎng)度為3.58 m，此時(shí)時(shí)間為12時(shí)13分。

2 基于模擬Anemmatic日晷模型太陽(yáng)影子定位中經(jīng)緯度的確定

2.1 研究思路

首先分別對(duì)經(jīng)度與緯度進(jìn)行分析，得到相關(guān)的計(jì)算公式；其次，對(duì)文獻(xiàn)[1]中數(shù)據(jù)進(jìn)行二次擬合，利用太陽(yáng)影子長(zhǎng)度變化規(guī)律，得到最小影子長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的測(cè)量點(diǎn)時(shí)間；最后，將最小影子長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的測(cè)量點(diǎn)時(shí)間帶入公式中，利用MATLAB求解，可以給出太陽(yáng)影子定位。

2.2 研究方法

1)經(jīng)度計(jì)算

測(cè)量點(diǎn)的經(jīng)度=最高太陽(yáng)高度角下時(shí)間對(duì)應(yīng)的時(shí)角+標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間所對(duì)應(yīng)時(shí)區(qū)的中央子午線經(jīng)度。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行二次擬合可以得到最小影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的測(cè)量點(diǎn)時(shí)間。測(cè)量點(diǎn)的經(jīng)度計(jì)算公式：

γ=γ′-15(ST-T)

(5)

其中γ′為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間所在區(qū)間的中央子午線經(jīng)度，為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，此處為北京時(shí)間。

2)緯度計(jì)算

圖3 指示立桿投影

如圖3所示，建立投影日晷方位圖，指示立桿位于A點(diǎn)，影長(zhǎng)為AB，交于投影日晷得時(shí)間線為AC。有OD=AG=sinω，CD=sinφcosω，指示立桿A點(diǎn)距O點(diǎn)的距離OA=DG=tanδcosφ。根據(jù)平行線等分線段定理得：

(6)

已知影子在地平坐標(biāo)系上的x、y坐標(biāo)，求得不同時(shí)間段影子的長(zhǎng)度。將時(shí)間數(shù)值化，利用Excel對(duì)時(shí)間與影子長(zhǎng)度的數(shù)值進(jìn)行二次擬合，得到圖4。

圖4 時(shí)間與影子長(zhǎng)度擬合圖

由圖4知，時(shí)間(t)與影子長(zhǎng)度(L′)的函數(shù)式：

L′=0.1489t2-3.7519t+24.128

當(dāng)L取最小值時(shí)，ST=t=12.598 7。以北京時(shí)間作為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，其中央子午線位于東經(jīng)120 °，4月18日正午時(shí)間T=12。由公式(4)換算后的時(shí)角公式為ω=15 °(MT-12.598 7)。利用壽星天文歷軟件取得數(shù)據(jù)，其中步長(zhǎng)取180s。根據(jù)公式(6)，設(shè)sinφ=Z,則：

2.3 結(jié)果分析

考慮到一元二次方程aZ2+bZ+c=0的系數(shù)在變化，利用MATLAB進(jìn)行編程求解，求出sinφ與φ。

結(jié)合所求的經(jīng)緯度，在地圖上對(duì)求得的經(jīng)緯范圍進(jìn)行劃分。根據(jù)谷歌地圖定位的范圍圈定，得到1個(gè)區(qū)域和4個(gè)可能區(qū)域，分別為中國(guó)南海、常德市、十堰市、商洛市和宜昌市。

3 基于地平系幾何模型對(duì)未知時(shí)間情況下的影子定位

3.1 研究思路

首先，結(jié)合空間向量與地平系幾何模型，利用幾何分析方法對(duì)未知時(shí)間下的太陽(yáng)影子變化問(wèn)題建立影子定位模型；其次，對(duì)文獻(xiàn)[1]中相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行二次擬合，得到最小影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的測(cè)量點(diǎn)時(shí)間；最后，結(jié)合模擬Anemmatic日晷模型，利用MATLAB求解[10]，可以給出時(shí)間與太陽(yáng)影子定位的經(jīng)緯度值。

3.2 研究方法

表2 z值及對(duì)其應(yīng)的地理緯度φ數(shù)值表

圖5 地平坐標(biāo)系幾何模型圖

地平坐標(biāo)系幾何模型：地平坐標(biāo)系的地平面原點(diǎn)是觀察者所處的位置，指示立桿和太陽(yáng)的坐標(biāo)都轉(zhuǎn)換為地平坐標(biāo)系，進(jìn)而利用日晷投影的原理求出指示立桿的經(jīng)緯度和測(cè)量日期。

(7)

(8)

由附件2和附件3的影子在地平坐標(biāo)系上的x、y坐標(biāo)，利用勾股定理求得不同時(shí)間段影子的長(zhǎng)度。將時(shí)間數(shù)值化，利用Excel對(duì)時(shí)間與影子長(zhǎng)度的數(shù)值進(jìn)行二次趨勢(shì)擬合，得到圖6。

由圖6知，時(shí)間(t)與影子長(zhǎng)度(L′)的函數(shù)式為：

L′=0.0981t2-2.985t+23.319

圖6 擬合曲線

當(dāng)L′取最小值時(shí),t=15.2141，L′=0.6120。以北京時(shí)間作為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，其中央子午線位于東經(jīng)120 °，即T=12。利用公式(5)計(jì)算得γ′=71.79E。根據(jù)時(shí)角公式，可得測(cè)量地時(shí)角公式為：

ω=15°(ST-15.2141)

利用Excel求得原數(shù)據(jù)中每個(gè)時(shí)刻的時(shí)角ω，cosω都趨近于1，所以把公式(7)簡(jiǎn)化：

3.3 結(jié)果分析

同理，對(duì)附件3中數(shù)據(jù)進(jìn)行二次擬合，得到時(shí)間(t)與影子長(zhǎng)度(L′)的函數(shù)式：

L′=0.2964t2-7.5507t+51.564

當(dāng)L′取最小值時(shí)，ST=t=12.7373，L′=3.4760。L=12，γ=108.94E。當(dāng)L取4 m，日期為1月1日，利用谷歌地圖可查(1 °N，108.94E)，處于中國(guó)南海區(qū)域。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文的主要研究工作是通過(guò)分析視頻中太陽(yáng)陰影軌跡的幾何屬性來(lái)進(jìn)行地理位置估計(jì)計(jì)算，利用幾何關(guān)系建立3種模型，分別對(duì)已知時(shí)間與地區(qū)條件下影子長(zhǎng)度變化問(wèn)題、已知時(shí)間與影子長(zhǎng)度變化條件下地區(qū)分布問(wèn)題和已知影子長(zhǎng)度變化下地區(qū)與時(shí)間確認(rèn)問(wèn)題，進(jìn)行了由淺入深的分析，得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果。在3D角度和測(cè)量條件未知的情況下也可以使用本文的研究方法，這使得本文的方法具有廣泛的應(yīng)用和更大的靈活性。但是由于較多涉及到幾何處理與公式轉(zhuǎn)化，模型計(jì)算量較大，若處理不當(dāng)，會(huì)使得計(jì)算誤差較大。同時(shí)需注意，北京時(shí)間與北京本地時(shí)間是不同的兩個(gè)概念。上述研究方法經(jīng)過(guò)適當(dāng)修改，可以運(yùn)用到天文、地理方面的定位問(wèn)題。為實(shí)際測(cè)量太陽(yáng)影子(不僅局限于桿的影子)的問(wèn)題提供了一個(gè)較為科學(xué)的方法，在地理測(cè)繪中可以發(fā)揮了一定的作用。參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：劉守義 英文編輯：劉彥哲]

Solar Shadow Positioning Based on Geometric Techniques

SHEN Shu-yun1,WANG Li2,GUO San-min3,YAN Xu-xu3,ZHU Jia-min1

(1.School of Statistics and Applied Mathematics, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu,Anhui 233030, China；2.School of Foreign Languages,Anhui University of Finance and Economics,Bengbu,Anhui 233030,China； 3.School of Accountancy,Anhui University of Finance and Economics,Bengbu,Anhui 233030,China)

Objective In view of the sun’s shadow and track changing of data of the object in the video,the changing rule of the sun’s shadow was analyzed and the mathematical model was established to determine the filming location and date.Methods (1)For a projection problem with known location,time and shadow coordinates,by using similar triangle principle to establish a change model of shadow length,the variation of the shadow length was analyzed,and the model results were obtained from data acquired by using the software-the longevity of the astronomy and calendar;(2)For the projection problem with known time and shadow coordinates,by evaluating the longitude and latitude,the sundial model of simulated Analemmatic was establish.By using the quadratic fitting,variation of sun shadow length and the MATLAB,the positioning coordinates of sun shadow were obtained.(3)For the projection problem with unknown location and time,by using coordinate transformation and space vector to establish horizon line geometric model,combining analog of Analemmatic sundials model with quadratic curve fitting method,and using MATLAB,the time and longitude and latitude values of the sun shadow position were obtained.Results (1)Between 9∶00-15∶00 of October 22,2015 Beijing time,the sun’s shadow length variation curve,and the curve ends of the 3-meter-high straight rod on Tiananmen Square were:on 9∶00,the shadow length was 6.59 m; on 15∶00,shadow lengths 6.70 m; on 12∶13 the curve for the lowest shadow lengths was 3.58 m. (2) In literature [1] the straight rod was located in the area between 111.04°E,4°N and 111.04°E,29°-35°N,and the straight rod might be in the South China Sea,Changde city,Shiyan city,Shangluo city and Yichang city.(3)In literature [1],on September 26,the straight rod was located in Tajikistan;on January 1,the straight rod was located in the South China Sea.Conclusions By analyzing the geometric properties of the sun shadow track in video to estimate location,three models were established by using the geometric relationship,and the problem was gradually analyzed.The research method of this paper applies to the condition with unknown 3D angle and measurement,which allows the method to have wide application and greater flexibility.

solar shadow positioning;sundial model of simulated Analemmatic;quadratic fitting;MATLAB

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11301001)；安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)教研項(xiàng)目(acjyzd201429)

沈曙昀(1996-)，女,安徽合肥人，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院在讀學(xué)生，研究方向:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)。

朱家明(1973-)，安徽泗縣人，副教授，碩士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)與建模。

O 242

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.01.005

來(lái)稿日期：2016.05.11