概率密度函數(shù)構(gòu)造權(quán)重的可靠性靈敏度分析

陳利艷，陳秀琴，李鈞濤

(1.安陽幼兒師范高等?？茖W(xué)校,河南 安陽 456150;2.信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,河南 信陽 464000; 3.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453007)

概率密度函數(shù)構(gòu)造權(quán)重的可靠性靈敏度分析

陳利艷1，陳秀琴2，李鈞濤3

(1.安陽幼兒師范高等專科學(xué)校,河南 安陽 456150;2.信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,河南 信陽 464000; 3.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453007)

目的 分析概率密度函數(shù)構(gòu)造權(quán)重的可靠性靈敏度。方法 在實際的可靠性問題分析當(dāng)中，靈敏度的準(zhǔn)確分析對參數(shù)的分布有著非常重要的影響；提出概率密度函數(shù)構(gòu)造權(quán)重的可靠性靈敏度分析法，是一種通過在變量空間下，以確定性低偏差均勻抽樣，然后與相應(yīng)的樣本點處聯(lián)合，進(jìn)而實現(xiàn)概率密度函數(shù)構(gòu)造權(quán)重的分析方法；與密度權(quán)重分析方法做對比，密度函數(shù)權(quán)重法可以有效提高對可靠性靈敏度的評估準(zhǔn)確率，具有較快的收斂速度。結(jié)果 概率密度函數(shù)構(gòu)造權(quán)重具有極強(qiáng)的可靠性靈敏度，在實際應(yīng)用中其使用優(yōu)勢主要表現(xiàn)在計算步驟簡單、分析結(jié)果準(zhǔn)確性高、各個變量之間的誤差較小、計算效率變得更高、計算結(jié)果的精度高等方面，并且收斂性和穩(wěn)健性都比較好?；诿芏群瘮?shù)權(quán)重可靠性靈敏度分析方法，避免了原有的分析方法存在的不足，通過自身的優(yōu)越性，有效提升了分析的準(zhǔn)確性和計算效率。結(jié)論 概率密度函數(shù)構(gòu)造權(quán)重的可靠性靈敏度分析方法在實際應(yīng)用中具有較強(qiáng)的適用性。

概率密度函數(shù);權(quán)重;可靠性靈敏度

1 分析方法概述

針對可靠性問題的分析，已經(jīng)應(yīng)用于可靠性靈敏度估計的方法中，較為基礎(chǔ)的是MCS法，這一方法可以較為精準(zhǔn)的計算出相應(yīng)的可靠性靈敏度，應(yīng)用的范圍較為廣泛[1-7]，可以對各種經(jīng)過不同解析方法計算得出的結(jié)果進(jìn)行準(zhǔn)確性的校核，或者是極限狀態(tài)方程中，使用復(fù)雜的解析方法不能完成的或者得出結(jié)果不夠準(zhǔn)確的情況下，進(jìn)行可靠性靈敏度的分析。雖然MSC法具有上述的多處優(yōu)點，但也存在一定的缺點，就是抽樣效率低、部分工作量無法被工程接受[1]。以MSC法為基礎(chǔ)，相繼出現(xiàn)了許多方法[2,3]，一是重要抽樣法，通過重要抽樣法密度函數(shù)，提高樣本落入失效域的概率，同時提高抽樣效率，還具有計算方差較小的優(yōu)點；重要抽樣法存在的不足在于一些構(gòu)造復(fù)雜、難度較大的工程建造放慢，難以設(shè)定出重要抽樣密度函數(shù)；二是子集模擬法，將中間失效事件引入進(jìn)來，用一系列較大的條件失效概率的面積來表達(dá)小失效概率，用MCMC模擬的條件樣本點來對較大的條件失效概率進(jìn)行估計，較為明顯的優(yōu)點是，表現(xiàn)出較高的高維小失效概率；但使用MCMC模擬參數(shù)分布，最終的選取效果會影響可靠性的分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，并且與條件樣本具有一定的相關(guān)性，降低了子集模擬的精確度；三是線抽樣法，比MCS法更具準(zhǔn)確性，在計算過程中可以很好的解決高維小失效概率的可靠性問題，但存在的缺點是線抽樣方法與最優(yōu)方向偏離較大，影響計算效率；四是方向抽樣法，通過降低變量空間的維度來提高可靠性分析效率。

雖然現(xiàn)在具備了多種可靠性的分析方法，通過上述的分析，可以了解到，每一種分析方法都存在不同程度的缺點，沒有一個較為全面且效率極高的分析方法，因此學(xué)者專家在長期的研究過程中不斷嘗試創(chuàng)新了多種方法后，提出了一種更為有效的可靠性靈敏度測試方法——基于密度權(quán)重的分析方法，通過對各變量區(qū)間的選取，再此基礎(chǔ)上進(jìn)行確定性偏差均勻抽樣，密度權(quán)重法經(jīng)過多次試驗、改良得來，所以比之前的多種分析方法都具有更高的準(zhǔn)確性和有效性，在分析的樣本生成過程中，隨機(jī)變量與其的關(guān)聯(lián)性并不大；經(jīng)過一定步驟的分析之后，可以得到相應(yīng)變量的可靠性靈敏度估計值[2]。

概率密度函數(shù)構(gòu)造權(quán)重的可靠性靈敏度分析方法，減少了隨機(jī)變量與樣本生成之間的關(guān)聯(lián)性，在小失效概率的問題上，相應(yīng)的計算結(jié)果準(zhǔn)確率有了很大提高，減少了分析過程中所需要使用的樣本，且分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和收斂性也有較為明顯的改善。

2 基于密度權(quán)重的可靠性分析

課題研究中，基于密度權(quán)重的可靠性分析，需要設(shè)定隨機(jī)變量的數(shù)值，設(shè)定x為變量，x=[x1,x2,…xn]T，還需要設(shè)定隨機(jī)變量的功能函數(shù)為g(x)，在已設(shè)定函數(shù)值的基礎(chǔ)上，可以求出具體的失效域為F=(x:g(x)≤0)。除了定義隨機(jī)變量函數(shù)和相應(yīng)的功能函數(shù)，還需要設(shè)定x的聯(lián)合概率密度函數(shù)為fX(x)，然后套用隨機(jī)變量的變量等式，第k個變量xk的邊緣概率密度函數(shù)為fXK(xK)(k=1,2,…,n)。以此為計算基礎(chǔ)，基本變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)在失效域中的積分等式：

(1)

(2)

在式(1)的計算過程中，可以選用不同的方法來分析，然而由于方法存在的優(yōu)劣勢不同，相應(yīng)的分析過程、計算工作量都會有所不同。采用MCS法，計算的工作量就是比較大的，因為MCS法在計算的過程中采用了偽隨機(jī)序列抽樣，因而出現(xiàn)了計算效率低下的現(xiàn)象，并且其計算的誤差階基本為O(N-1/2)，對計算的效率有較大的影響；而且當(dāng)計算要求精度有所提高時，比如增加一位數(shù)的計算精度，則相當(dāng)于MCS法的計算工作量增加了近百倍，非常不利于可靠性靈敏度的分析。

如果在計算時，改變原來使用偽隨機(jī)數(shù)列樣本的方式，而采用確定性低偏差樣本，相應(yīng)的計算誤差會有所減少，即O(N-1(lgN)n-1)，等式中的變量表示意義不變，n表示問題變量的維數(shù)，N為抽樣樣本點數(shù)。低偏差樣本點提升了隨機(jī)數(shù)的均勻性，使其原有的偶然性有了明顯的減少，相應(yīng)的抽樣點質(zhì)量也有了較大的提升，同時提高可靠性靈敏度的計算效率。

在可靠性的分析中，選擇合適區(qū)間后對其進(jìn)行低偏差抽樣抽取N組樣本，并根據(jù)相應(yīng)的等式進(jìn)行下一步的估算：

(3)

式(3)為式(2)的估算式，也就是說在式(2)基礎(chǔ)上延伸得出的式(3)，可以有效保證分析的結(jié)果收斂于準(zhǔn)確解；并且式(3)就是基于密度權(quán)重的可靠性分析方法，其中分母求和為抽樣樣本點的權(quán)重之和，當(dāng)相應(yīng)的樣本點較少的時候，可以很容易得出與準(zhǔn)確解接近的近似解。將先前文獻(xiàn)中曾使用的隨機(jī)均勻抽樣，加以改善，轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定性的低偏差均勻抽樣，提高計算效率。

3 基于密度權(quán)重的可靠性靈敏度分析

與失效概率的求解步驟比較接近，根據(jù)現(xiàn)有的條件、數(shù)據(jù)和公式，基于密度權(quán)重的可靠性靈敏度的計算公式推導(dǎo)過程如下：

首先對變量進(jìn)行相應(yīng)的賦值和定義，可靠性靈敏度定義為失效概率Pf對基本隨機(jī)變量的分布參數(shù)θxk的偏導(dǎo)數(shù)。在此基礎(chǔ)上，將失效概率的積分式對參數(shù)求導(dǎo)，相應(yīng)的可靠性靈敏度：

(4)

從上文公式(3)的推導(dǎo)印證了這樣一條規(guī)律：密度權(quán)重與失效概率和靈敏度的貢獻(xiàn)程度成正比例狀態(tài)。公式(4)也可以得到這樣一種轉(zhuǎn)化：

(5)

其中定義權(quán)重對分布參數(shù)的靈敏度：

(6)

上文公式(6)中:W為變量 x 的權(quán)重，當(dāng)隨機(jī)變量為相互獨(dú)立的正態(tài)變量時，

由于各個變量區(qū)間的情況不同，在生成N組低偏差均勻樣本后，利用式(7)來估算式(5)的可靠性靈敏度，式(7)：

(7)

在上述多個等式中，選用式(7)作為最終計算方法，主要是因為其可以避免如式(3)在計算過程中會出現(xiàn)較大的誤差，因而影響最終的可靠性靈敏度判斷，式(7)最大的優(yōu)勢在于減少誤差，使可靠性靈敏度的分析結(jié)果更為準(zhǔn)確。

由此可以得出，基于密度權(quán)重的可靠性靈敏度分析方法的計算步驟有3個，分別為選擇合適的變量區(qū)間；根據(jù)區(qū)間進(jìn)行確定向低偏差均勻抽取，得到一定數(shù)量的樣本；在抽取樣本的基礎(chǔ)上進(jìn)行可靠性靈敏度的估值分析和計算[3]。

第一步驟為選擇合適的變量區(qū)間，這一環(huán)節(jié)常用的方法有兩種：一是通過變量的邊緣密度函數(shù)等式來選取區(qū)間，主要使用的是數(shù)字模擬法進(jìn)行所需數(shù)量的樣本抽取，在此基礎(chǔ)上，分析找出所抽取樣本的2個極值，最大值和最小值，并將其設(shè)定為區(qū)間的上下界；二是根據(jù)變量的分布函數(shù)來求出區(qū)間。其次在進(jìn)行低偏差樣本抽取步驟中，不管變量是以哪一種規(guī)律分布的，都要進(jìn)行確定性的低偏差均勻抽取，得到N組樣本。最后在抽取所得樣本的基礎(chǔ)上，代入公式求出各變量的靈敏度值。

4 結(jié) 論

針對可靠性靈敏度的多種分析方法進(jìn)行分析和闡述，與密度權(quán)重分析方法做對比，基于密度函數(shù)權(quán)重可靠性靈敏度分析方法求解有多種優(yōu)點：計算步驟簡單、分析結(jié)果準(zhǔn)確性高、各個變量之間的誤差較小、計算效率變得更高、計算結(jié)果精度高，并且收斂性和穩(wěn)健性都比較好?；诿芏群瘮?shù)權(quán)重可靠性靈敏度分析方法，避免了原有分析方法存在的不足。通過自身的優(yōu)越性，有效提升了分析的準(zhǔn)確性和計算效率；通過多方面、深層次的分析與研究，認(rèn)為概率密度函數(shù)構(gòu)造權(quán)重的可靠性靈敏度分析方法在實際應(yīng)用中具有較強(qiáng)的適用性。

[1]呂召燕,呂震宙,李貴杰,等.基于密度權(quán)重的可靠性靈敏度分析方法[J].航空學(xué)報，2014,(01):179-186.

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[3]楊杰.結(jié)構(gòu)可靠度計算方法及靈敏度分析研究[D].大連：大連理工大學(xué),2012.

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[責(zé)任編輯：關(guān)金玉 英文編輯：劉彥哲]

Reliable Sensitivity Analysis on Structure Weight of Probability Density Function

CHEN Li-yan1,CHEN Xiu-qin2,LI Jun-tao3

(1.Anyang Preschool Education College,Anyang,Henan 456150,China; 2.College of Mathematics and Computer Science,Xinyang Vocational and Technical College,Xinyang,Henan 464000,China; 3.College of Mathematics and Information Science,Henan Normal University,Xinxiang,Henan 453007,China)

Objective To analyze the reliable sensitivity on the structure weight of probability density function.Methods Among the analysis of the actual problems,the accurate sensitivity analysis has important impact on the distribution of the parameters.After a long period of deep research,a method with good reliable sensitivity analysis of the weighted probability density function is put forward.The method is helpful to realize the probability structure weight of density function on the uniform sampling with deterministic low deviation and the corresponding sample points under variable space.It can improve the accuracy of reliable sensitivity evaluation effectively and have a much faster convergence speed than that of the existed methods.Results The structure weight of probability density function has strong reliable sensitivity.Its advantages in the practical application mainly lie in simple calculation procedure,high accuracy analysis results,less error among different variability,making higher computational efficiency and higher calculation accuracy.And it has more convergence and robustness.It avoids the deficiency existing in the original analysis method and improves the analysis accuracy and computational efficiency through its superiority.Conclusion The reliable sensitivity analysis on the structure weight of probability density function has strong applicability in reality.

probability density function;weight;reliable sensitivity

國家自然科學(xué)基金項目(61203293)；河南省重點科技攻關(guān)計劃項目(122102210131)

陳利艷(1980-),女,河南安陽人,碩士,講師,主要從事教學(xué)和概率論方面的研究。

O 415.5

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2017.01.002

來稿日期：2016.05.20