芻議平衡物體中極值問題的解法

李慶林

在研究物體的平衡時，經(jīng)常會遇到求某物理量的極值問題，這樣就會涉及到平衡物體的臨界問題，解決此類問題的基本思維方法是假設(shè)推理法，即先假設(shè)條件成立，從而把比較隱蔽的臨界條件或各種可能性“暴露”出來，然后再根據(jù)平衡條件及有關(guān)知識列方程求解.

求平衡物體的臨界和極值問題的一般方法，主要有以下幾種

一、解析法

在數(shù)學(xué)上有這樣一個重要不等式關(guān)系：對兩個非負(fù)數(shù)a和b，有a+b2≥ab，由此得出結(jié)論：

若a、b之和為一定值，僅當(dāng)a=b時兩者之積最大；若a、b之積為一定值，僅當(dāng)a=b時兩者之和最大.在高中物理習(xí)題中有很多的極值問題用此結(jié)論來解決非常便捷.圖1

例1 如圖1所示，將擺球質(zhì)量為m，擺長為L的單擺由水平狀態(tài)開始下擺，在到達豎直狀態(tài)的過程中，擺球所受重力的瞬時功率如何變化？何處取得最大值？

解析 擺球所受重力的瞬時功率用重力G和重力方向的速度υy的積表示，即P=Gυy ，擺球由水平狀態(tài)開始下擺時初速度為0，重力的瞬時功率固然為0，當(dāng)?shù)竭_豎直狀態(tài)時，速度最大，但方向沿水平方向，豎直方向上速度為0，故重力的瞬時功率為0，由此可見，擺球由水平狀態(tài)開始下擺，在到達豎直狀態(tài)的過程中，擺球所受重力的瞬時功率先從0增大再減小到0，在此過程中重力的瞬時功率必存在一最大值.那么在何處取得最大值呢？不妨設(shè)θ為擺線與水平方向的夾角，此時擺球速度為υ.

點評 本題討論了小球擺動過程中的瞬時功率問題，利用三角函數(shù)展開討論是一種重要的常規(guī)方法，在三角函數(shù)的處理過程中，巧妙地利用數(shù)學(xué)不等式原理能快速的求解其極值問題，并澄清了一種“想當(dāng)然”的誤區(qū)：以為在θ=45°對稱位置處出現(xiàn)極值.

二、三角函數(shù)法

點評 三角函數(shù)配角法求極值是數(shù)學(xué)中常用的技巧之一，該方法在物理問題解決中有著較為廣泛的應(yīng)用價值.根據(jù)物理問題用三角函數(shù)列出方程后，將三角函數(shù)中的自變量進行配角整理化成兩角和的正弦或余弦，便能得到函數(shù)的極值.當(dāng)?shù)贸龅氖阶硬皇堑湫偷暮瘮?shù)類型時，可通過等效變換進行轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)公式把所列的方程簡化，變成僅含有單個三角函數(shù)的式子，然后利用單個三角函數(shù)的性質(zhì)解決問題.三、圖解法

圖解法也叫圖形法，是一種利用幾何圖形解決物理問題的方法.解答共點力的平衡問題，動態(tài)平衡問題，常用圖解法.基本法則有平行四邊形定則，矢量三角形法則等.圖解法的優(yōu)點是簡捷，方便，直觀.可以化繁為簡，化難為易，提高解題的效率.

用力的矢量三角形定則分析力最小值的規(guī)律：

① 當(dāng)已知合力F的大小、方向及一個分力F1的方向時，另一個分力F2取最小值的條件是兩分力垂直.如圖3甲所示，F(xiàn)2的最小值為：F2min=Fsinθ.

②當(dāng)已知合力F的方向及一個分力F1的大小、方向時，另一個分力F2取最小值的條件是：所求分力F2與合力F垂直，如圖3乙所示，F(xiàn)2的最小值為：F2min=F1sinθ.

③當(dāng)已知合力F的大小及一個分力F1的大小時，另一個分力F2取最小值的條件是：已知大小的分力F1與合力F同方向，F(xiàn)2的最小值為|F-F1|.

例3 如圖4所示，半徑為R ，質(zhì)量為m的均勻球體緊貼豎直墻壁放置，在球體的左下方有一厚為h的木塊（h

解析 球體脫離地面的臨界條件是對地面的壓力恰好為零，此時所需要的力F最小，隔離球體受力分析如圖5甲所示，再以木塊和球體組成的系統(tǒng)為研究對象，易知：F = N2 .可見，求F的極小值實際上就是確定N2的極小值，將圖示中球體所受的三力平移組成一個矢量三角形，如圖5乙所示，由三角形相似原理，有：N2AB=GOB，即：N2R2-（R-h）2=GR-h.

∴ N2=h（2R-h）R-hmg，即：最小的推力F=h（2R-h）R-hmg.

點評 本題考查了力學(xué)中的臨界問題，為求解球體脫離地面時水平推力的最小值問題.解析采用了力學(xué)中的矢量三角形定則，把問題轉(zhuǎn)化為矢量三角形的構(gòu)成的臨界條件.矢量三角形解題是一個比較方便直觀和計算小的方法，而矢量運算始終貫穿整個高中物理學(xué)習(xí)過程，掌握好矢量三角形在解題中的應(yīng)用技巧，將使學(xué)生掌握一種解決矢量問題的重要方法和手段.

綜上，應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力是高考考查的能力之一，靈活地運用多種數(shù)學(xué)方法求解物理的極值問題，是中學(xué)物理問題中的一個重點，也是難點，因此在平時的訓(xùn)練中，數(shù)學(xué)思想的滲透是非常重要的.