例析四面體中關(guān)于“棱”的問題

李匯宇

中學(xué)立體幾何主要任務(wù)是研究空間點(diǎn)、線、面、體的位置關(guān)系和度量.“棱”是屬于線的范疇，又是多面體的重要構(gòu)成元素，在一些試題中，命題教師比較看重“棱”的功能，在四面體中不惜重墨宣染，將有關(guān)棱的問題演繹得淋漓盡致，使這些試題富于探究性、挑戰(zhàn)性，能考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識解決問題的能力，所以在高考、自主招生和數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，筆者在老師指導(dǎo)下，收集高考復(fù)習(xí)時(shí)資料中出現(xiàn)的題目，剖析如下，與同伴們分享.

一、由棱長求四面體個(gè)數(shù)問題

例1 （2007年浙江省數(shù)學(xué)競賽題）以1，1，1，2，2，2為六條棱長的四面體個(gè)數(shù)為（ ）

A.2 B.3 C.4 D.6

解析 以這些邊為三角形僅有四種：（1，1，1），（1，1，2），（1，2，2），（2，2，2）.

固定四面體的一面作為底面：當(dāng)?shù)酌娴娜厼椋?，1，1）時(shí)，另外三邊的取法只有一種情況，即（2，2，2）；當(dāng)?shù)酌娴娜厼椋?，1，2）時(shí)，另外三邊的取法有兩種情形，即（1，2，2），（2，1，2）.其余情形得到的四面體均在上述情形中.由此可知，四面體個(gè)數(shù)有3個(gè)，應(yīng)選B.

二、關(guān)于棱所成的角

例2 （2008年吉林省數(shù)學(xué)競賽題）有六根細(xì)木棒，其中較長的兩根木棒長分別為3a，2a，其余四根均為a，請你用它們搭成三棱錐，則其中的兩條較長的棱所在的直線所成角的余弦值為（ ）.

A.63 B.0

C. 0或63

D.以上答案皆不對

解析 由于6根木棒中有兩根與眾不同，對它們所在位置要合理分類討論，做到不重不漏：（1）當(dāng)長分別為3a，2a的兩根木棒在同一個(gè)面內(nèi)時(shí)，如圖1，不妨設(shè)AB=AC=AD=BC=a，CD=2a，BD=3a，可得BD、CD所成角的余弦值為63；（2）當(dāng)長分別為3a，2a的兩根木棒為四面體對棱時(shí)，如圖2，不妨設(shè)AB=AD=BC=CD=a，AC=2a，BD=3a，取AC的中點(diǎn)E，連BE，DE，則AC⊥BE，AC⊥DE，所以AC⊥面BDE，進(jìn)而AC⊥BD，從而它們所成角的余弦值為0，但由于此時(shí)BE+DE

三、關(guān)于棱長的取值范圍

例3 （2012年重慶理9）設(shè)四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，2和a，且長為a的棱與長為2的棱異面，則a的取值范圍是（ ）.

A.（0，2） B.（0，3）

C.（1，2） D.（1，3）

圖3

解析 如圖3，將長為a的棱看作橡皮筋一樣可以伸縮，也即兩個(gè)三角形△BCD、△ACD可繞CD邊轉(zhuǎn)動，從兩個(gè)極端看，當(dāng)A、B快重合時(shí)，a接近0，當(dāng)兩三角形平面成以CD為棱的1800平面角時(shí)，a就是邊長為1的正方形對角線長，此時(shí)a為2，故選A.

例4 （2010遼寧理數(shù)12）有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是（ ）.

A.（0，6+2） B.（1，22）

C. （6-2，6+2）D. （0，22）

解析 根據(jù)條件，四根長為2的直鐵條與兩根長為a的直鐵條要組成三棱錐的鐵架，有以下兩種情況：（1）底面是邊長為2的正三角形，三條側(cè)棱長為2，a，a，如圖4，取BC中點(diǎn)D，連結(jié)SD、AD可知AD=3，SD=a2-1，在△SAD中，則有2-3

所以（6-2）2=8-43

即有6-2

（2）構(gòu)成三棱錐的兩條對棱長為a，其他各棱長為2，如圖5，取AB中點(diǎn)D，此時(shí)CD=SD=4-a24，在△SDC中，由三角形三邊關(guān)系知，24-a24>a，得0

在實(shí)際考試中，學(xué)生往往看到四個(gè)表面三角形，只能粗略求得0

很難深入內(nèi)部構(gòu)建三角形，再利用三邊關(guān)系建立不等式組，若用極端原理，就很容易知道：

由圖4變成如圖6，當(dāng)AS、AD成平角時(shí)，此時(shí)a=SB=SC=SD2+BD2=1+（2+3）2=8+43=6+2.

由圖4變成如圖7，當(dāng)AS、AD成零角時(shí)，

此時(shí)a=SB=SC=SD2+BD2=1+（2-3）2=8-43=6-2，

所以6-2

對圖5，當(dāng)S、C，A、B接近重合時(shí)，a趨近0；當(dāng)二面角S-AB-C為180°

時(shí)，由SC=AB=a，SA=AC=CB=SB，可知四邊形SACB為正方形，此時(shí)a=22 ，所以0

四、由棱長求體積或其最值

例5 （1999年上海高考理科試題第12題）若四面體各棱的長是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是（寫出所有可能的值）.圖8

解析 要構(gòu)造出滿足條件的四面體，關(guān)鍵是根據(jù)三角形知識確定每個(gè)面上的3條棱，排除（1，1，2），可得（1，1，1）、（1，2，2）、（2，2，2），用這3類面（三角形）在空間中構(gòu)造出滿足條件的一個(gè)四面體，這就要進(jìn)行分類討論了.另外一個(gè)難度體現(xiàn)求三棱錐的高，這要利用圖形對稱性及三角形中的面積關(guān)系，如圖8.

其體積可能值是：1112，1412，116 .

例6 三棱錐S-ABC中，一條棱長為a，其余棱長均為1，求a為何值時(shí)，三棱錐S-ABC體積最大，并求最大值.圖9

解析 如圖9，由于圖形的對稱性，容易求出高，所以很多學(xué)生會將體積表示為a 的函數(shù)，也能求出答案；但還有更妙的方法：這個(gè)三棱錐可以理解成兩個(gè)邊長為1的正三角形以棱BC為軸可以互相“開合”，兩個(gè)頂點(diǎn)A、S之間的連線就是a（想像成橡皮筋），要使體積最大，當(dāng)?shù)酌鍭BC一定時(shí)，只要棱錐的高最大即可，所以平面SBC垂直于底面ABC時(shí)，高最大，即為△SBC的高h(yuǎn)=32，所以Vmax=13×34×32=18 ，此時(shí)，a=32×2=62.

例7 （2010武漢大學(xué)自主招生題）有4條長為2的線段和2條長為a的線段，用這6條線段作為棱，構(gòu)成一個(gè)三棱錐.問a為何值時(shí)，可構(gòu)成一個(gè)體積最大的三棱錐，最大值為多少？圖10 圖11

解析 和例6有相似之處，只是變化的線段多一條，若方法不當(dāng)，覺得無從下手且復(fù)雜，方法選好照樣簡單.由例2知構(gòu)成三棱錐有兩種擺放方式：

（1）當(dāng)2條長為a的線段放在同一三角形中，如圖10，不妨設(shè)底面BCD是一個(gè)邊長為2的正三角形，要使體積達(dá)到最大，必有BA⊥底面BCD，此時(shí)由BA=2求得AC=AD=a=22，所以

Vmax=13×34×22×2=233；

（2）當(dāng)2條長為a的線段不在同一三角形中，那只能是對棱的位置，如圖11，不妨設(shè)AD=BC=a，BD=CD=AB=AC=2.取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE、DE，則AE⊥BC，DE⊥BC，從而BC⊥面AED.

所以V=13S△AED·BC.在△AED中，AE=DE=4-a24，AD=a，

S△AED=12a4-a24-a24=12a4-a22 ，所以

V=16a24-a22=1614a2·a2·（16-2a2），由三元均值不等式a2·a2（16-2a2）≤（163）3.

當(dāng)且僅當(dāng)a2=163時(shí)等號成立，即a=433時(shí)，Vmax=16273<18273=233.

綜上，當(dāng)a=22時(shí)，可構(gòu)成一個(gè)最大體積的三棱錐，最大值為233.五、棱長和向量的完美結(jié)合圖12

如圖12，在四面體ABCD中，不妨設(shè)AD=a，BC=b，CD=c，AB=d，則有如下一個(gè)優(yōu)美結(jié)論：

2BD·AC=（a2+b2）-（c2+d2）

證明：因?yàn)锽C=BD+DA+AC，

所以BC2=（BD+DA+AC）2=BD2+a2+AC2+2BD·DA+2BD·AC+2DA·AC，

b2=（BD2-2BD·ADcos∠ADB）+（AC2-2AD·ACcos∠DAC）+a2+2BD·AC，

又由余弦定理，得d2=a2+BD2-2BD·ADcos∠ADB，c2=a2+AC2-2AD·ACcos∠DAC，

從而b2=（c2-a2）+（d2-a2）+a2+2BD·AC，

即2BD·AC=（a2+b2）-（c2+d2）.

由上述結(jié)論可得：①已知四面體任意兩組對棱的長，可求第三組對棱的數(shù)量積，但要注意兩向量的方向，從圖12中看出，兩向量方向相當(dāng)于平面直角坐標(biāo)系中x軸和y軸的正方向；②如果將結(jié)論左邊BD·AC看作一個(gè)量，可以“知四求一”；③若再知道BD和AC的長，則能求得異面直線AC和BD所成角的余弦值.設(shè)異面直線AC和BD所成角為θ，BD=e，AC=f，則2efcosθ=（a2+b2）-（c2+d2），謂之推論，也即知道四面體的所有棱長，能分別求得三組對棱所成角的余弦值.

例8 （2016屆名校新高考研究聯(lián)盟理科15題）空間四點(diǎn)A、B、C、D滿足|AB|=2，|BC|=3，

|CD|=4，|DA|=7，則

AC·BD=.

解析 由結(jié)論知：

2AC·BD=-[（AB2+CD2）-（BC2+AD2）]=38，

所以AC·BD=19.

例9 （金麗衢十二校一模理科15題）如圖13，在三棱錐D-ABC中，已知AB=2， AC·BD=-3，設(shè)AD=a，BC=b，CD=c，則c2ab+1的最小值為.

解析 由2BD·AC=（a2+b2）-（c2+d2），

得-6=（a2+b2）-（c2+4），即c2=a2+b2+2，

所以c2ab+1=a2+b2+2ab+1≥2ab+2ab+1=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立，此時(shí)c2ab+1的最小值為2.

例10 如圖14，將一副三角板拼接后，再使三角板BCD沿BC豎起來，使兩塊三角板所在的平面互相垂直，求異面直線AD和BC所成角的余弦值.

解析 不妨假設(shè)△BCD是一個(gè)角為300，另一個(gè)角為600的直角三角形.令CD=a，則BC=3a，BD=2a，AB=AC=62a，

因?yàn)槊鍮CD⊥面ABC，CD⊥BC，所以CD⊥面ABC，從而CD⊥AC，求得AD=102a.

由推論知，2AD·BCcosθ=|（BD2+AC2）-（AB2+CD2）|，所以30a2cosθ=3a2，

cosθ=3010，即異面直線AD和BC所成角的余弦值為3010.

綜觀上述例題，組成四面體的6條棱長短不一，就存在答案多重性，要抓準(zhǔn)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏；極端原理巧妙運(yùn)用能減少運(yùn)算量，做到小題巧做.還有必須清楚線線、線面位置關(guān)系，且找到合理的算法、最佳求線段長的途徑.特別是和向量巧妙地揉合在一起，讓人耳目一新，很能反映一個(gè)學(xué)生的解題能力.