論數(shù)學(xué)思想之?dāng)?shù)學(xué)模型思想

趙澤福，黃永

（云南昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南昭通657000）

論數(shù)學(xué)思想之?dāng)?shù)學(xué)模型思想

趙澤福，黃永

（云南昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南昭通657000）

數(shù)學(xué)思想方法是發(fā)展人腦思維能力的拱心石，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵和主導(dǎo)因素，同時(shí)在我們學(xué)習(xí)工作中發(fā)揮著重要作用，并終生受益.模型思想在數(shù)學(xué)思想方法中是不可缺少的，畢竟數(shù)學(xué)創(chuàng)新和數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程其實(shí)就是數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變的過(guò)程，也是數(shù)學(xué)原型與數(shù)學(xué)模型之間的相互轉(zhuǎn)變過(guò)程.因此模型思想應(yīng)該成為教與學(xué)的根本思路，同時(shí)也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)解題的常用思想方法.

數(shù)學(xué)思想；模型思想；數(shù)學(xué)原型；數(shù)學(xué)模型

1 問(wèn)題的提出

數(shù)學(xué)的發(fā)展史包含著數(shù)學(xué)思想和方法的積淀,當(dāng)然數(shù)學(xué)本質(zhì)的飛躍要算數(shù)學(xué)思想方法的重大突破.所以[蘇]弗里德曼認(rèn)為：“數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)的一個(gè)特殊、重要的要素就是數(shù)學(xué)思想，整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科就是建立在這些思想的基礎(chǔ)上，并按照這些思想發(fā)展起來(lái).”

數(shù)學(xué)思想是發(fā)展數(shù)學(xué)能力的拱心石，正如日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏所說(shuō)：“我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，如果沒(méi)有機(jī)會(huì)應(yīng)用，時(shí)間一長(zhǎng)，就會(huì)被忘掉，然而銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長(zhǎng)期在生活和工作中發(fā)揮重要的作用，受益終生.”因此，開(kāi)發(fā)學(xué)校數(shù)學(xué)課程，必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想與方法的滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法，特別是數(shù)學(xué)模型思想方法的培養(yǎng)和訓(xùn)練，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

2 數(shù)學(xué)思想概述

當(dāng)今數(shù)學(xué)教育中，“數(shù)學(xué)思想”是個(gè)核心概念，然而，什么是數(shù)學(xué)思想？學(xué)術(shù)界卻沒(méi)有統(tǒng)一的答案.但是從多角度去解釋數(shù)學(xué)思想，應(yīng)該會(huì)更好.

張奠宙先生認(rèn)為：數(shù)學(xué)思想尚不成為一種專(zhuān)有名詞，人們常用它來(lái)泛指某些有重大意義的、內(nèi)容比較豐富、體系相當(dāng)完整的數(shù)學(xué)成就.當(dāng)然，同一數(shù)學(xué)成就，當(dāng)用它去解決別的問(wèn)題時(shí)，稱(chēng)之為方法，當(dāng)論及它在數(shù)學(xué)體系中的價(jià)值和意義時(shí)，就稱(chēng)之為數(shù)學(xué)思想.比如：M.克萊因的巨著《古今數(shù)學(xué)思想》，說(shuō)的都是古今數(shù)學(xué)方法.但是從數(shù)學(xué)史角度看，人們?cè)诒揪拗校幼⒅氐氖悄切?shù)學(xué)大師們的思想貢獻(xiàn)，文化價(jià)值，因而稱(chēng)此巨著為《古今數(shù)學(xué)思想》.

丁石孫先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想就是人們對(duì)于數(shù)學(xué)的看法.但是，從數(shù)學(xué)教育的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)思想就是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容、方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，也是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí).因此，數(shù)學(xué)思想貫穿于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中的思維方法的普遍策略和規(guī)律.所以學(xué)生是能否有意識(shí)、主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，是衡量其數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)高低的重要標(biāo)志.

3 數(shù)學(xué)思想之?dāng)?shù)學(xué)模型思想

建立模型思想是數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法之一.

“數(shù)學(xué)模型方法”就是把研究的對(duì)象或問(wèn)題轉(zhuǎn)化為本質(zhì)同一的另一對(duì)象或問(wèn)題，并加以解決的思想方法.它既是處理數(shù)學(xué)理論問(wèn)題的思想，也是解決各種實(shí)際問(wèn)題的方法.

在論述模型思想時(shí)要涉及“模型”與“原型”兩個(gè)基本概念.“模型”是相對(duì)“原型”而言的.原型是指在現(xiàn)實(shí)世界中的客觀事物，也通常指被研究的對(duì)象或問(wèn)題.而“模型”則是對(duì)客觀事物本質(zhì)屬性的模擬，從而轉(zhuǎn)化成相對(duì)定型的、模擬化、結(jié)構(gòu)化的對(duì)象或問(wèn)題.所謂數(shù)學(xué)模型——是指使用數(shù)學(xué)符號(hào)、式子、數(shù)學(xué)關(guān)系描述特定問(wèn)題或具體實(shí)際事物關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型是對(duì)原型作出的一種簡(jiǎn)化而本質(zhì)的描摹.

在教學(xué)中，數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為原型，我們應(yīng)盡量選取學(xué)生所熟悉的生活實(shí)例來(lái)還原現(xiàn)實(shí)情景背后的數(shù)學(xué)，最終使學(xué)生感受到這些數(shù)學(xué)概念不是人為硬性規(guī)定的，而是與實(shí)際生活密切聯(lián)系的.所以從普遍意義上說(shuō)，實(shí)際問(wèn)題比模型化的純數(shù)學(xué)問(wèn)題更符合問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，同時(shí)更能揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，更易被學(xué)生接受.

反過(guò)來(lái)，把原型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.通過(guò)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決熟知的、貼近生活的實(shí)例，使學(xué)生體會(huì)到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的愉悅感，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.這實(shí)際上也增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)不再是高深的理論、枯燥乏味的東西.至于原型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的一個(gè)最典型的例子，要數(shù)歐拉把哥尼斯堡“七橋問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為歐拉回路一筆畫(huà)問(wèn)題.

因此，數(shù)學(xué)模型與原型間的相互轉(zhuǎn)化，應(yīng)該是教與學(xué)的根本思路.但是，所建立的模型必須真實(shí)反映原型的結(jié)構(gòu)、關(guān)系等數(shù)學(xué)本質(zhì)特征和變化規(guī)律.

當(dāng)然，我們所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則、原理等，以及各類(lèi)問(wèn)題及其解答規(guī)律，都以不同程度地保留在我們的記憶之中，我們也稱(chēng)之為數(shù)學(xué)模型.波利亞巨著《怎樣解題》中說(shuō)到:“你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的或形式稍有不同的問(wèn)題？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題等？這樣在我們正要解答某數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，把待解答的問(wèn)題與已掌握的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行比較，解法也就自然有了.”這也表明波利亞在強(qiáng)調(diào)模型思想的重要性.

所以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)》明確提出，數(shù)學(xué)課程要求把數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模思想等，以不同的形式滲透在各模塊或?qū)ｎ}內(nèi)容之中.因此，為了數(shù)學(xué)教育能夠適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)對(duì)人才的需求，需將數(shù)學(xué)“雙基”發(fā)展成“四基”，即基本知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).所以形成數(shù)學(xué)思想，能用數(shù)學(xué)模型的思維來(lái)解決問(wèn)題，歷來(lái)都是中學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)目標(biāo)之一.

4 數(shù)學(xué)模型思想應(yīng)用舉例

為更好強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模思想在數(shù)學(xué)教與學(xué)中的重要價(jià)值，現(xiàn)列舉幾個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)例：

實(shí)例1上面所提的哥尼斯堡“七橋問(wèn)題”，數(shù)學(xué)家歐拉顯示出大數(shù)學(xué)家的智慧，把原型問(wèn)題簡(jiǎn)化，去掉不必要因素，比如橋的長(zhǎng)度，從而把被河流隔開(kāi)的四塊區(qū)域縮成4個(gè)點(diǎn)，七座橋就被看成連接4個(gè)頂點(diǎn)的七條邊.這就得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型，即為4個(gè)頂點(diǎn)、7條邊的圖，原問(wèn)題即被抽象成：能否找到一條起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，并且經(jīng)過(guò)每條邊一次且僅一次的一條回路.從而這就極大方便了此問(wèn)題解決.這就是1736年歐拉所貢獻(xiàn)的圖論中最基本的歐拉回路問(wèn)題，體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)模型思想在數(shù)學(xué)創(chuàng)新中的巨大作用.

實(shí)例2近幾年高考題目更加突顯出其應(yīng)用性和問(wèn)題設(shè)計(jì)的新穎性和創(chuàng)造性，方興未艾的新課改在時(shí)時(shí)刻刻提醒著我們“思路決定出路”.2011年廣東高考數(shù)學(xué)試題(理科)第13題：某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，則該老師用線(xiàn)性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高為_(kāi)____cm.這個(gè)普通的生活問(wèn)題其實(shí)就是一道一元線(xiàn)性回歸分析問(wèn)題，我們的解答思路是將這生活原型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.

面對(duì)上面這一實(shí)際問(wèn)題，我的思路是：在一組具有相關(guān)關(guān)系的變量數(shù)據(jù)（X與Y）間，我們通過(guò)相關(guān)圖可觀察出所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都分布在某條直線(xiàn)的附近，這樣的直線(xiàn)可以畫(huà)出許多條，而我們希望其中的一條最好反映出X與Y之間的關(guān)系，即我們所要找出的那條直線(xiàn)“最貼近”已知的數(shù)據(jù)點(diǎn).這直線(xiàn)就是回歸模型直線(xiàn)，因?yàn)槟Ｐ椭杏袣埐睿⑶覛埐顭o(wú)法消除，所以就不能用二點(diǎn)確定一條直線(xiàn)的方法來(lái)得到直線(xiàn)方程.但是要保證盡量多的實(shí)測(cè)點(diǎn)都聚集在所要的回歸直線(xiàn)l上，這就需要數(shù)據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離的平方和最小.所以，只要有了這樣思想，所要的最好的擬合直線(xiàn)l就不難找到吧.

實(shí)例3經(jīng)假設(shè)、簡(jiǎn)化、抽象、計(jì)算等手段,對(duì)變速運(yùn)動(dòng)與曲邊梯形面積（原型）的研究，創(chuàng)立了微積分這個(gè)數(shù)學(xué)模型,并用此模型,解決了諸如變速運(yùn)動(dòng)的速度、曲線(xiàn)的切線(xiàn)和弧長(zhǎng)、曲邊平面圓形的面積以及不規(guī)則幾何體的體積等一系列的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.可以說(shuō)，微積分這個(gè)數(shù)學(xué)模型,開(kāi)創(chuàng)了研究變量數(shù)學(xué)的新紀(jì)元,微積分的發(fā)明本身也是數(shù)學(xué)建模思想成功的一個(gè)光輝典范.

當(dāng)然，中小學(xué)的列方程解應(yīng)用題；構(gòu)成函數(shù)模型來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題；《線(xiàn)性規(guī)劃》中由實(shí)際問(wèn)題列出約束條件得線(xiàn)性方程組，由此再討論由問(wèn)題得到的目標(biāo)函數(shù)的最值，從而達(dá)到原問(wèn)題所要的最優(yōu)化設(shè)計(jì)；等等這些均是現(xiàn)實(shí)原型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的思想的具體表現(xiàn).

實(shí)例4聚會(huì)總?cè)藬?shù)超過(guò)或等于6人，證明：其中至少有3人互相認(rèn)識(shí)，或者互相不認(rèn)識(shí).（1947年匈牙利數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）

有數(shù)學(xué)思想的人與沒(méi)有數(shù)學(xué)思想的人之間有截然不同之處，前者能把一個(gè)說(shuō)起來(lái)模模糊糊的問(wèn)題變成一個(gè)非常清楚、確切的問(wèn)題.現(xiàn)就把原問(wèn)題（原型）抽象化：6個(gè)人用6個(gè)點(diǎn)表示，每?jī)蓚€(gè)人之間的關(guān)系用連接點(diǎn)的不同顏色的線(xiàn)表示，不妨設(shè)紅線(xiàn)h表示認(rèn)識(shí)，藍(lán)線(xiàn)l表示不認(rèn)識(shí).這樣就得到了由這6個(gè)頂點(diǎn)，且每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)之間用h或者l連接的共15條線(xiàn)構(gòu)成的圖.從而原問(wèn)題自然就變成：證明這個(gè)圖中至少存在一個(gè)三邊同色的三角形.通過(guò)這個(gè)圖就把原問(wèn)題變成每個(gè)人都能聽(tīng)清楚的確切的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

實(shí)例5德摩根定理是集合論中一個(gè)非常重要的定理，在隨機(jī)事件的概率計(jì)算中，有著十分重要的作用，但學(xué)生對(duì)定理的理解、記憶都不是很輕松，若構(gòu)造直流電路圖輔助說(shuō)明，把數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換為原型，既直觀又淺顯，方便學(xué)生記憶理解.

總之，數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的心智，它總是指向問(wèn)題的變換，最終達(dá)到掌握問(wèn)題對(duì)象的數(shù)學(xué)特征、關(guān)系結(jié)構(gòu)等目的.因此數(shù)學(xué)創(chuàng)新、解題的思維過(guò)程其實(shí)是數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變的過(guò)程，也是數(shù)學(xué)原型與數(shù)學(xué)模型之間的相互轉(zhuǎn)變過(guò)程.

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G642

：A

：1673-260X（2017）03-0011-02

2016-11-27

云南省教育廳科學(xué)研究基金項(xiàng)目資助（2014Y499）