如何通過解題幫助學生形成數(shù)學思維能力

曾志堅

【摘 要】思維能力的形成有利于學生在數(shù)學學習過程中積極地觀察、思考、練習和動腦。教師要善于通過解題來引導和點撥學生，使學生可以得到智力的發(fā)展和思維能力的提升。本文主要探究了教師如何通過數(shù)學解題來幫助學生形成思維能力，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提高。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學；解題；思維能力

《高中數(shù)學課程標準》指出教師要注重提高學生的數(shù)學思維能力。這就要求學生在思考和解決數(shù)學問題過程中需要觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括，不斷地經(jīng)歷直觀感知、反思來構(gòu)建思維過程。學生思維能力的提高需要學生參與到問題解決過程中，活躍思維，主動判斷，在思考中從感性認識逐步地上升為理性認識，理解數(shù)學試題中所蘊含的數(shù)學模式和思想，逐步地提高思維能力。

一、透析試題要求，形成全面思維能力

教師在帶領(lǐng)學生解題過程中要引導學生全面地分析問題，使學生可以把和題目相關(guān)的各個問題和知識點都考慮在內(nèi)，形成全面地理解和系統(tǒng)的認識。學生解決問題不能單一地考慮一道題，而是要把和題目相關(guān)的一類試題的解法都要考慮在內(nèi)，了解解決問題的通性通法，提高自己的全面思維能力。學生閱讀得越仔細、認真就越能夠全面地了解試題的要求，進而分析出試題考查的內(nèi)容和要點信息，在思考中拓展自己的思維，形成全面的思維模式，養(yǎng)成良好的全面思維習慣。例如試題：已知tanα=7，求的值。學生在思考中要想到可以將分子和分母同時除以cosα，則分子和分母中都只含有tanα，再代入tanα=7就可以解決問題了。思考中，學生要全面地考慮問題，能夠做到由此及彼、舉一反三。同時，學生要進一步思考，已知tanα=m，求關(guān)于sinα，cosα的齊次式的值的問題時，首先需要注意一定是關(guān)于sinα，cosα的齊次式的三角函數(shù)式；其次，解決此類問題的策略是先簡化再求值；因為cosα≠0，所以可用cosnα（n∈N）去除原式分子、分母的各項，這樣可以將原式化為關(guān)于tanα的表達式，再將tanα的值代入，從而求值。學生全面地考慮問題后，思維活躍，思路清晰，再次面對這類試題后就可以輕松應對，展現(xiàn)出超凡的思維能力。教師要鼓勵學生多思考，多角度全方位地探究問題，使學生的思維可以發(fā)散，進而養(yǎng)成全面思維的好習慣。

二、想出不同方法，形成創(chuàng)新思維能力

“創(chuàng)新是一個民族不斷進步和前進的動力”，在高中數(shù)學解題過程中，學生也要不斷地創(chuàng)新，采用新的方法和新的策略來分析問題，達到創(chuàng)新性地解決問題。學生創(chuàng)新的過程就是思維異常活躍的過程，探究過程中，學生處于一種積極主動狀態(tài)，每一個思維細胞和神經(jīng)都會處于高度緊張狀態(tài)，有利于學生想出新的方法和策略來解決問題，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力。學生的創(chuàng)新是能力的體現(xiàn)，學生對于數(shù)學知識都掌握了，對于數(shù)學理論可以靈活地應用了才能夠擺脫原有的思維模式的束縛和限制，大膽地進行創(chuàng)新思維，按照自己的想法和思路進行探究和分析，實現(xiàn)解題方法的創(chuàng)新和能力的提高。例如學生在解決試題：直線y=x-1被拋物線y2=4x截得的線段中點的坐標是多少？這時，教師就可以鼓勵學生采用創(chuàng)新性思維去思考和探究。解決問題時，學生可以設直線y=x-1與拋物線y2=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2），其中點P（x0，y0），通過聯(lián)立方程組y=x-1

y2=4x得（x-1）2=4x，即x2-6x+1=0，x0==3，y0=x0-1=2，所以中點坐標為P（3，2）。這是一種解決問題的方法，教師可以鼓勵學生進行創(chuàng)新思維，采用多種方式來解決問題，形成新的思路和新的方法。通過一題多解或者是一題多問的方式，學生的思維會變得多樣，具有一定的創(chuàng)新性，可以從多角度和多視角來分析和解決問題。在本題的思考過程中，學生還可以采用其他方法來解決，如：y22=4x2，y12=4x1，所以y22-y12=4x2-4x1，所以=4，得到y(tǒng)1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3，故所求中點為P（3，2）。不同的解題方式使學生有了創(chuàng)新的意識和思維，有利于學生思維的創(chuàng)新。不同的解題方法，達到了相同的目的，都順利地實現(xiàn)了解題，但是學生的思維卻變得更加開闊，在解題過程中表現(xiàn)出了積極活躍和主動參與，豐富了學生的知識儲備，提高了學生的能力，有利于學生創(chuàng)新思維的形成。

三、根據(jù)線索推理，形成邏輯思維能力

在解題過程中，教師要引導學生進行邏輯思維和推理判斷。學生學會了邏輯思考就可以按照解題步驟一步步地進行思考和分析，達到順利地解決問題。學生的邏輯思考會使學生認真、細致地分析問題，逐步地培養(yǎng)他們思維的嚴密性和縝密性，面對任何問題都可以按照一定的順序和思路來探究，進而達到解決問題，實現(xiàn)邏輯思維能力的提高。為了提高學生的邏輯思維能力，教師要注重引導，使學生可以學會推理，進行辯證性思維，找到解決問題的方法和途徑。例如教師給出試題：已知兩個等差數(shù)列{an}，{bn}，它們的前n項和分別記為Sn，Tn，若=，求。在思考中學生很容易寫成===，這種思路錯誤的原因就是學生錯誤地理解為=，而實際上并不是這樣的。學生需要積極地進行邏輯思考，在思考中做出推理判斷和合理分析。邏輯推理中學生會認識到兩個等差數(shù)列第n項的比等于它們前2n-1項和的比，不等于它們前n項和的比。所以，在本題中=。學生通過認真地思考和分析后會形成正確的思路，進而找到解決問題的線索和方向，在思路的引導下積極推理和判斷，提高邏輯思維能力。

四、結(jié)合類似試題，形成發(fā)散思維能力

學生的思維有時會受到某一種思路或者是某一種方法的限制，面對其他問題的時候就不知所措。教師要引導學生進行發(fā)散思維，當面對數(shù)學問題時可以向著知識的深度和廣度來進行拓展，把思維向著縱深的方向來拓展，打開思路，擴大自己的思維空間和想象空間，從而從多角度來解決問題。例如教師提供試題試題：函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化得函數(shù)y=sin（2x-）的圖象？在解決問題時，學生首先要運用自己的思維，去想一想由函數(shù)y=sinx的圖象變換成y=Asin（ωx+φ）（ω>0）的圖象的通用方法。在思考中學生的思維不要局限在某一種方法上，而是要進行發(fā)散思維，向著更廣闊的空間進行蔓延和拓展，做到開闊視野，全面化自己的認識。學生在發(fā)散思維中會想到可以通過先平移后伸縮的方式來變化。先將y=sinx的圖象向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|個單位長度，再將得到的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得y=Asin（ωx+φ）的圖象。除了這種方法外，學生還可以向伸縮，后平移。也就是先將y=sinx的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，再將得到的圖象向左（φ>0）或向右（φ<0）平移個單位長度，便得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖象。通過這樣的發(fā)散思維過程，學生就找到了解決問題的方法，促進了學生思維能力的提高。教師在教學中要善于把具有相似性特點的試題拿過來指導學生去分析比較，引導學生通過比較分析的方式來完善自己的認識，清楚這些試題的相同處和不同處，進而形成清楚地認識和深刻的理解。在對比中學生的思維是發(fā)散的，他們不會局限在某一道試題或者是某一個知識點上，有利于學生進行想象和聯(lián)想，進而提高自己的發(fā)散思維能力。

五、總結(jié)解題規(guī)律，形成歸納思維能力

學生在解題過程中，教師更要注重方法的講解和技巧的引導，對學生進行“授之以漁”的教學，使學生可以由此及彼，通過一道題掌握一類題的解法和分析思路，從而促進學生積極地進行邏輯思考和推理判斷，做到舉一反三。任何數(shù)學試題的解答都是有一定規(guī)律的，例如求橢圓方程時，常用待定系數(shù)法，但首先要判斷是否為標準方程，判斷的依據(jù)是：中心是否在原點；對稱軸是否為坐標軸。還要注意橢圓上點的坐標范圍，特別是把橢圓上某一個坐標視為某一函數(shù)問題求解時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值時有重要意義。當學生掌握了這些規(guī)律，在解題過程中就可以積極地進行邏輯分析和推理判斷，從而在解題的時候就會得心應手、游刃有余了。學生在解題過程中通過不斷地總結(jié)解題規(guī)律會養(yǎng)成良好的總結(jié)歸納習慣，進而培養(yǎng)學生的歸納思維能力，促進學生良好思維習慣的形成。

總之，學生在解決數(shù)學問題時要有一定的思維能力去猜測、想象和假設，通過已知的條件解決數(shù)學問題，學會推理判斷和演繹遷移。學生要運用自己多方面的思維在思考中總結(jié)歸納，形成自己的解決問題的方法。當學生的思維可以全面地思考，創(chuàng)新性地解決問題，進行邏輯思考和發(fā)散，學生的思維能力會大大提高。

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