Mathematica軟件在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

章麗娜

【摘要】 借助Mathematica軟件強(qiáng)大的符號運(yùn)算功能和作圖功能，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入該軟件進(jìn)行輔助教學(xué)，可解決學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算問題、函數(shù)的圖形繪制問題等，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力和解決綜合應(yīng)用問題的能力.

【關(guān)鍵詞】 Mathematica軟件；高等數(shù)學(xué)；繪圖；計(jì)算

【基金項(xiàng)目】 湖州師范學(xué)院教學(xué)改革一般項(xiàng)目（JGB026）；浙江省自然科學(xué)青年基金項(xiàng)目（LQ14A010009）.

近幾年，一些教師對借助數(shù)學(xué)軟件Mathematica輔助教學(xué)做了深入的研究[1-7].Mathematica是美國Wolfram研究公司開發(fā)的一個(gè)功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件[8].它可以進(jìn)行公式推導(dǎo)、方程求解、矩陣運(yùn)算、微積分計(jì)算以及數(shù)理統(tǒng)計(jì)等多種符號演算和數(shù)值計(jì)算工作.同時(shí)，它有強(qiáng)大的圖形處理功能，可以很方便地畫出一元和二元函數(shù)的圖形，也可直接生成動態(tài)可視化圖形.更重要的是，Mathematica軟件界面簡潔、操作簡單，易學(xué)易用.對于高等數(shù)學(xué)這樣一門內(nèi)容較抽象的課程，如何突破教學(xué)難點(diǎn)，使高等數(shù)學(xué)由難變易，Mathematica軟件可以發(fā)揮重要作用.本文通過在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中使用Mathematica軟件輔助教學(xué)過程的幾個(gè)案例來加以說明.

一、Mathematica軟件的繪圖功能的應(yīng)用

例1 通過圖形及數(shù)值觀察理解兩個(gè)重要極限：

（1）lim x→0 sinx x =1.

（2）lim x→∞ 1+ 1 x x=e≈2.718 28.

（1）Mathematica語句：Plot[{sin[x]/x，sin[x]，x，{x，-4，4}，Plotstyle→{AbsoluteThickness[4]}，AspectRatio→1.2，PlotRange→{-2.5，2.5}]

得到結(jié)果如圖1所示.從圖1可看出，當(dāng)|x|很小時(shí)，sinx≈x.函數(shù)y=sinx和函數(shù)y=x在x=0處相切，從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)，可知sinx與x在x=0處具有相同的變化率，從而直觀猜測這兩個(gè)函數(shù)之比 sinx x 當(dāng)x→0時(shí)的極限為1.借助這些形象的展示也可以為后面要學(xué)的洛必達(dá)法則的理解帶來一定幫助.

（a）n→∞時(shí)數(shù)列 1+ 1 n n的變化趨勢.（b）x→∞時(shí)函數(shù) 1+ 1 x x的變化趨勢.（c）（a）與（b）在同一幅圖中的顯示.

圖2通過描繪數(shù)列 1+ 1 n n和函數(shù) 1+ 1 x x在其定義域上的圖像，讓學(xué)生對該函數(shù)有一個(gè)直觀的了解，進(jìn)一步對該函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)的極限能夠自然地接受.

由例3可以看出，用圖形法判定和討論函數(shù)極限，直觀而真實(shí)，能透過現(xiàn)象直達(dá)本質(zhì)，具有純理論的抽象研究無法媲美的優(yōu)點(diǎn).學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中，普遍體現(xiàn)出空間想象能力的薄弱.很多學(xué)生不能畫出許多立體曲面、曲線等復(fù)雜圖形，從而挫傷他們的學(xué)習(xí)積極性.在進(jìn)行多元函數(shù)積分學(xué)的教學(xué)中，可以借助Mathematica軟件在圖形演示功能方面的優(yōu)勢，讓學(xué)生更加直觀地看到所求問題的演示，從而幫助學(xué)生加深理解.

二、Mathematica軟件的符號和數(shù)值計(jì)算功能的應(yīng)用

例4 計(jì)算不定積分∫sinax·sinbx·sincx dx.

要計(jì)算這個(gè)不定積分，需要用到多次積化和差.計(jì)算枯燥、煩瑣、易錯(cuò).但是，利用Mathematica符號計(jì)算就很簡單.

輸入：Integrage[sin[a*x]sin[b*x]sin[c*x]，x]

輸出： 1 4 （ cos[（a-b-c）x] a-b-c - cos[（a+b-c）x] a+b-c - cos[（a-b+c）x] a-b+c + cos[（a+b+c）x] a+b+c ）

例5 計(jì)算不定積分∫ x2+1 （x+1）2（x-1） dx.

有理函數(shù)的積分，往往要對被積函數(shù)進(jìn)行拆項(xiàng).這個(gè)拆項(xiàng)的過程煩瑣、單調(diào)乏味，十分影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.筆者認(rèn)為，在不影響學(xué)生手工計(jì)算能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)上，適當(dāng)利用Mathematica軟件來輔助計(jì)算未嘗不可.這樣不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，還可以讓學(xué)生有更多的時(shí)間和精力投入真正的數(shù)學(xué)問題的解決上.

Mathematica能求常微分方程（組）的精確解，能求解的類型基本覆蓋了人工求解的范圍.當(dāng)然Mathematica求常微分方程的數(shù)值解也很方便，且能作出解的圖形.

【參考文獻(xiàn)】

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[8]Heikki Ruskeepaa.Mathematic navigator：mathematics，statistics，and graphics[M].3rd ed，London：Elseiver，2009.