山重水復(fù)疑無(wú)路 柳暗花明又一村
——例談解題過(guò)程受阻的原因和對(duì)策

安徽 朱啟州

(作者單位：安徽省淮北市杜集區(qū)教育局教研室)

山重水復(fù)疑無(wú)路 柳暗花明又一村
——例談解題過(guò)程受阻的原因和對(duì)策

在數(shù)學(xué)解題中，我們常有解題解不下去的時(shí)候，有時(shí)是越解越?jīng)]信心做下去，有時(shí)是思維受阻無(wú)計(jì)可施，有時(shí)是因思維定式鉆進(jìn)了牛角尖，種種困境不一而足.遇到這種讓人心煩的情況怎么辦？現(xiàn)從原因與對(duì)策兩個(gè)方面談一談，供大家參考.

一、解題思路正確，因不當(dāng)變形，解不下去

下面是某學(xué)生解題歷程，讓我們看看是什么原因造成解不下去.

要判斷f′(x)的符號(hào)，關(guān)鍵是判斷分子的符號(hào)，由此來(lái)確定原函數(shù)在區(qū)間(0,1]上的單調(diào)性，進(jìn)一步求得最大值的表達(dá)式，于是可求出參數(shù)a的值.這種想法是沒(méi)問(wèn)題的，但這種情況下我們常需對(duì)上式中的分子因式分解，觀察發(fā)現(xiàn)對(duì)ax2-2ax-2分解不易，轉(zhuǎn)而對(duì)其中的參數(shù)a討論，于是陷入困境.

【點(diǎn)撥】我們注意到a>0這個(gè)條件，對(duì)f′(x)換一種變形方式如何？

【評(píng)析】知識(shí)沒(méi)問(wèn)題，思路也正確，為什么會(huì)越做越?jīng)]頭緒了呢？由于受思維定式的影響，我們習(xí)慣地將f′(x)化為(1)的形式，而ax2-2ax-2不易繼續(xù)變形，對(duì)參數(shù)a討論又過(guò)于繁雜，而f′(x)換一種變形方式就可順利求解.當(dāng)我們因不當(dāng)形變陷入困境時(shí)，不防換一種方法去思考.

二、運(yùn)用常規(guī)方法，解題陷入繁雜運(yùn)算，解不下去

【例2】討論關(guān)于x的方程lg(-x2+x+2)=lg(1-k-x)解的情況.

下面是某位學(xué)生的解題歷程，讓我們看看是什么原因造成解不下去.

所以x2-2x-1-k=0 (-1

所以Δ=4+4(1+k)≥0，通過(guò)求根公式或用韋達(dá)定理列不等關(guān)系，討論兩根x1,x2的分布，結(jié)果解題陷入復(fù)雜的運(yùn)算，解不下去.

【點(diǎn)撥】解至x2-2x-1-k=0 (-1

【解析】由x2-2x-1-k=0 (-1

得x2-2x=k+1，

可設(shè)y1=x2-2x，y2=k+1(-1

畫圖象，如圖，觀察圖象，知當(dāng)k+1≥3,或k+1<-1時(shí)，即k≥2,或k<-2時(shí)，方程無(wú)解；

當(dāng)k=-2,或-1≤k<2時(shí)，有唯一解；

當(dāng)-2≤k<-1時(shí)，有兩解.

【評(píng)析】數(shù)形結(jié)合與分類討論都是重要的數(shù)學(xué)思想方法，?？苫酁樯衿?

三、選用關(guān)系不當(dāng)，化簡(jiǎn)困難，解不下去

【例3】如圖，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)一點(diǎn)，A，B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，則矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程為_(kāi)_______.

某學(xué)生是這樣解的：

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),

由矩形APBQ的兩對(duì)角線交點(diǎn)R既是PQ中點(diǎn)，又是AB中點(diǎn)，得

x1+x2=x+4，①y1+y2=y，②

又A，B兩點(diǎn)在圓x2+y2=36上，

(x1-4)(x2-4)+y1y2=0，

即x1x2+y1y2-4(x1+x2)+16=0.⑤

聯(lián)立上述五個(gè)式子，消去x1,x2,y1,y2，找到x,y之間的關(guān)系，這一點(diǎn)做到真需要一點(diǎn)運(yùn)算技巧，一般同學(xué)恐怕沒(méi)有耐心做下去.

【解析】由∠APB=90°，得|AP|2+|BP|2=|PQ|2，

將①③④整體代入上式并整理，可得頂點(diǎn)Q的軌跡方程為x2+y2=56.

【評(píng)析】設(shè)參數(shù)過(guò)多或隱含條件挖掘不充分常造成上面這種困難局面.

四、因解題預(yù)設(shè)，思維受阻，解不下去

(1)求角C的大?。?/p>

【評(píng)析】解題中我們常根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)會(huì)對(duì)問(wèn)題解題思路有一個(gè)預(yù)設(shè)，關(guān)鍵是要隨著解題的深入要隨時(shí)矯正預(yù)設(shè)的解題方向和思路.

五、因找不到解題的著手點(diǎn)，解不下去

【例5】已知點(diǎn)O為△ABC的外接圓圓心，且|AC|=4，

【解析】作直徑AD，連接CD,BD，則∠ACD=∠ABD=90°，并設(shè)∠CAD=α，∠BAD=β.

【評(píng)析】解題找不到著手點(diǎn)，常因問(wèn)題隱含條件的挖掘不夠或題設(shè)條件沒(méi)充分利用.一般思考起點(diǎn)選擇從問(wèn)題條件、解題目標(biāo)、解題方法等方面著手，正確的圖形、特殊情形、類似問(wèn)題等常能啟發(fā)思考.

六、因思維變通性不夠，解不下去

【例6】若關(guān)于x的不等式x2+ax-2>0在區(qū)間[1，2]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.

這是某校高三期末試題，有同學(xué)用分類方法求解得出了正確結(jié)果，但做得很辛苦，不少同學(xué)半途而廢.

【點(diǎn)撥】問(wèn)題實(shí)質(zhì)就是“存在x0∈[1,2]，使x2+ax-2>0”，其否定是“對(duì)任意x∈[1,2]，都有x2+ax-2≤0”，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“不等式x2+ax-2≤0在區(qū)間[1,2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”，解這一問(wèn)題就容易多了.

所以fmin(x)=f(2)=-1，

所以不等式x2+ax-2≤0在區(qū)間[1,2]上恒成立，a≤-1，

即不等式x2+ax-2>0在區(qū)間[1，2]上有解實(shí)數(shù)a的范圍是(-1，+).

【評(píng)析】“窮則思變”,解題中要注意思維的變通性，要善于觀察、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化，根據(jù)問(wèn)題不同情況靈活制定解題方案.

(作者單位：安徽省淮北市杜集區(qū)教育局教研室)