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2017-03-28 05:54:41山東董敬紅
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2017年1期
山東 董敬紅
(作者單位：山東省泰安英雄山中學(xué))
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圓錐曲線中涉及焦點(diǎn)的有關(guān)問題一直是高考數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn)問題之一，因此也成了我們關(guān)注的“焦點(diǎn)”，其中有許多問題涉及圓錐曲線中最特殊的焦點(diǎn)弦——“通徑”.
“通徑”是圓錐曲線中最基本的一條線段，是過焦點(diǎn)的弦(焦點(diǎn)弦)中最特殊的一條.雖然現(xiàn)行教材中沒有提及這一概念，而且在高考中是一個(gè)“小小”的考點(diǎn)，但也阻擋不了高考命題者對(duì)它的青睞，在歷年高考中“出鏡率”頗高，且常考常新.單就2016年高考來看，在九套試卷中，竟有三分之一(全國(guó)Ⅱ卷、Ⅲ卷和山東卷)對(duì)“通徑”作了考查，由此可見一斑.“不以‘點(diǎn)小’而不為”，在我們的復(fù)習(xí)備考中應(yīng)特別重視研究和發(fā)掘通徑潛在的應(yīng)用功能.
一、通徑的定義
過圓錐曲線的焦點(diǎn)，作垂直于圓錐曲線對(duì)稱軸的直線，則直線被圓錐曲線所截得的線段叫圓錐曲線的“通徑”.
二、通徑的性質(zhì)
3.通徑是圓錐曲線的最短的焦點(diǎn)弦.
【證明】如圖，設(shè)直線l過橢圓的焦點(diǎn)F2交橢圓于A(xA,yA),B(xB,yB)兩點(diǎn).
(2)當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為
得(b2+a2k2)x2-2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0.
所以通徑是橢圓最短的焦點(diǎn)弦.
4.過圓錐曲線E的焦點(diǎn)F，作直線l交曲線E于P,Q兩點(diǎn)，則半通徑長(zhǎng)的倒數(shù)是|PF|的倒數(shù)與|QF|的倒數(shù)的等差中項(xiàng).
【證明】設(shè)圓錐曲線的焦點(diǎn)F到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為p，離心率為e,直線l的傾斜角為α，則過F的通徑長(zhǎng)為2ep,設(shè)P,Q到準(zhǔn)線的距離分別為d1,d2，則d1=p+|PF|cosα,d2=p-|QF|cosα.
三、通徑的應(yīng)用
1.求曲線方程
【分析】過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)即為通徑長(zhǎng)，于是建立關(guān)系利用待定系數(shù)法求解.
【點(diǎn)評(píng)】用待定系數(shù)法求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，從“定位”和“定量”兩個(gè)方面去考慮.首先要“定位”，即確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，這一點(diǎn)尤為重要；其次是“定量”，即利用條件確定方程中a,b的值，常通過待定系數(shù)法去求.本題中的通徑長(zhǎng)便是求解的關(guān)鍵.
2.求值
( )
【解】選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題雖然沒有直接以通徑的形式給出，但可以通過對(duì)條件的分析，轉(zhuǎn)化為通徑求解的.
【變式2】已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(-1,1)，過拋物線的焦點(diǎn)F作x軸的垂線交拋物線于M，N兩點(diǎn). 若在x軸上存在點(diǎn)P，使得△PMN是等邊三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.
【變式3】已知拋物線y2=2px(p>0)，直線l經(jīng)過其焦點(diǎn)且與x軸垂直，并交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=10，P為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為
( )
A.20 B.25
C.30 D.50
3.確定關(guān)系
( )
A.7倍 B.6倍
C.4倍 D.2倍
【分析】由線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)O是F1F2的中點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性和三角形中位線定理可知PF2與x軸垂直，所以點(diǎn)P是通徑的一個(gè)端點(diǎn)，|PF2|是通徑長(zhǎng)的一半.再結(jié)合橢圓定義便可確定出|PF1|與|PF2|的關(guān)系.
【點(diǎn)評(píng)】本題將“通徑”暗含在題目的條件中，分析并挖掘出“通徑”是解題的關(guān)鍵.
【變式4】過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦為AB，O為拋物線頂點(diǎn)，則∠AOB
( )
A.小于90° B.等于90°
C.大于90° D.不能確定與90°的關(guān)系
4.求離心率
( )
【點(diǎn)評(píng)】離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì)，是描述圓錐曲線形狀的重要參數(shù).圓錐曲線的離心率的求法和應(yīng)用是一類常見題型，也是歷年高考考查的熱點(diǎn).求解圓錐曲線的離心率的值或取值范圍，其關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)牡攘炕虿坏攘筷P(guān)系，以過渡到含有離心率e的等式或不等式使問題獲解.
( )
變式練習(xí)答案
(作者單位：山東省泰安英雄山中學(xué))
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“通徑”是圓錐曲線中最基本的一條線段，是過焦點(diǎn)的弦(焦點(diǎn)弦)中最特殊的一條.雖然現(xiàn)行教材中沒有提及這一概念，而且在高考中是一個(gè)“小小”的考點(diǎn)，但也阻擋不了高考命題者對(duì)它的青睞，在歷年高考中“出鏡率”頗高，且常考常新.單就2016年高考來看，在九套試卷中，竟有三分之一(全國(guó)Ⅱ卷、Ⅲ卷和山東卷)對(duì)“通徑”作了考查，由此可見一斑.“不以‘點(diǎn)小’而不為”，在我們的復(fù)習(xí)備考中應(yīng)特別重視研究和發(fā)掘通徑潛在的應(yīng)用功能.
一、通徑的定義
過圓錐曲線的焦點(diǎn)，作垂直于圓錐曲線對(duì)稱軸的直線，則直線被圓錐曲線所截得的線段叫圓錐曲線的“通徑”.
二、通徑的性質(zhì)
3.通徑是圓錐曲線的最短的焦點(diǎn)弦.
【證明】如圖，設(shè)直線l過橢圓的焦點(diǎn)F2交橢圓于A(xA,yA),B(xB,yB)兩點(diǎn).
(2)當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為
得(b2+a2k2)x2-2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0.
所以通徑是橢圓最短的焦點(diǎn)弦.
4.過圓錐曲線E的焦點(diǎn)F，作直線l交曲線E于P,Q兩點(diǎn)，則半通徑長(zhǎng)的倒數(shù)是|PF|的倒數(shù)與|QF|的倒數(shù)的等差中項(xiàng).
【證明】設(shè)圓錐曲線的焦點(diǎn)F到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為p，離心率為e,直線l的傾斜角為α，則過F的通徑長(zhǎng)為2ep,設(shè)P,Q到準(zhǔn)線的距離分別為d1,d2，則d1=p+|PF|cosα,d2=p-|QF|cosα.
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2.求值
( )
【解】選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題雖然沒有直接以通徑的形式給出，但可以通過對(duì)條件的分析，轉(zhuǎn)化為通徑求解的.
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( )
A.20 B.25
C.30 D.50
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( )
A.7倍 B.6倍
C.4倍 D.2倍
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【點(diǎn)評(píng)】本題將“通徑”暗含在題目的條件中，分析并挖掘出“通徑”是解題的關(guān)鍵.
【變式4】過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦為AB，O為拋物線頂點(diǎn)，則∠AOB
( )
A.小于90° B.等于90°
C.大于90° D.不能確定與90°的關(guān)系
4.求離心率
( )
【點(diǎn)評(píng)】離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì)，是描述圓錐曲線形狀的重要參數(shù).圓錐曲線的離心率的求法和應(yīng)用是一類常見題型，也是歷年高考考查的熱點(diǎn).求解圓錐曲線的離心率的值或取值范圍，其關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)牡攘炕虿坏攘筷P(guān)系，以過渡到含有離心率e的等式或不等式使問題獲解.
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