淺談對(duì)高中數(shù)學(xué)模型建構(gòu)教學(xué)的思考

江琦

【摘要】模型建構(gòu)的過程是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體，建構(gòu)物理模型更是高中數(shù)學(xué)一種有效的教學(xué)手段.本文從兩則公開課的教學(xué)設(shè)計(jì)案例出發(fā)，分析高中數(shù)學(xué)模型建構(gòu)教學(xué)的特點(diǎn)，并對(duì)建構(gòu)方式提出了四點(diǎn)思考，指出模型建構(gòu)教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；模型建構(gòu)；物理模型；數(shù)學(xué)情境

王尚志教授在“關(guān)于普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂”的專題報(bào)告中提出中國學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)好六大核心素養(yǎng).而模型建構(gòu)的過程是實(shí)踐這六大核心素養(yǎng)的一個(gè)良好載體.在高中新人教版數(shù)學(xué)教材中，不乏具備物理背景的內(nèi)容.下面筆者結(jié)合自身參加青年教師公開課比賽時(shí)的兩則教學(xué)案例，以“物理模型”建構(gòu)為例，談?wù)剬?duì)高中數(shù)學(xué)模型建構(gòu)教學(xué)的思考.

1案例兩則

案例1《平面向量基本定理》的教學(xué)設(shè)計(jì)

通過之前的課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生形成初步猜想：如果e1、e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)的任意向量a，存在實(shí)數(shù)λ1、λ2 ，使得a=λ1e1+λ2e2.這時(shí)，筆者拋出第一個(gè)問題：將一個(gè)向量分解成兩個(gè)向量，是否有似曾相識(shí)的感覺？學(xué)生迅速想到了物理中的斜面模型：

斜面上靜止的木塊所受到的重力G可以分解成沿斜面向下的下滑力F1和垂直于斜面向下的壓力F2.

用物理背景印證了學(xué)生的猜想之后，筆者拋出第二個(gè)問題：當(dāng)G用圖中選定的分力F1、F2表示時(shí)，這種表示是否是唯一的？學(xué)生根據(jù)已有的物理知識(shí)，很快得出結(jié)論：唯一.繼續(xù)追問：空間的任意一個(gè)向量a用給定的一組基底表示：a=λ1e1+λ2e2，系數(shù)λ1、λ2是否唯一？由物理現(xiàn)象引出數(shù)學(xué)結(jié)論.

緊接著，筆者拋出第三個(gè)問題：G是否只能用圖中的這組分力F1、F2表示？ 學(xué)生討論之后表示否定：如果θ角度數(shù)變一下，F(xiàn)1、F2也會(huì)改變.繼續(xù)追問：平面中不共線的基底e1、e2是否唯一？結(jié)論也呼之欲出了.

有了這三個(gè)問題作為思考的基礎(chǔ)，從物理背景出發(fā)，得出平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得：a=λ1e1+λ2e2.其中，不共線的向量e1、e2叫做表示平面內(nèi)所有向量的一組基底.在斜面模型的幫助下，得出定理中最難理解的“系數(shù)唯一性”和“基底不唯一性”就變得水到渠成.

案例2《兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理》的教學(xué)設(shè)計(jì)

鑒于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過了串聯(lián)與并聯(lián)電路圖，筆者用物理中的“電路模型”來進(jìn)行加法計(jì)數(shù)原理和乘法計(jì)數(shù)原理的教學(xué).

師：請(qǐng)大家?guī)屠蠋焷矸治鲆幌逻@個(gè)電路：

生：這個(gè)并聯(lián)電路共有n組開關(guān)，每組又分別有i（i=m1，m2，m3…）個(gè)開關(guān)并聯(lián).

師：閉合其中任意一個(gè)開關(guān)，燈泡會(huì)不會(huì)亮？

生：會(huì)亮.

師：如果約定，燈泡亮為事件A完成，那么閉合其中任意一個(gè)開關(guān)就是完成事件A的一種辦法，請(qǐng)問：完成事件A總共有多少種不同的辦法呢？

生：N=m1+m2+m3+…+mn.

隨即得出加法計(jì)數(shù)原理的定義：完成一件事A，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，以此類推，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成事件A共有：N=m1+m2+m3+…+mn種不同的方法.

師：再看下面這個(gè)電路：說說電路的特點(diǎn).

生：有n組開關(guān)串聯(lián)，每一組又分別有i（i=m1，m2，m3…）個(gè)開關(guān)并聯(lián).必須每組都有一個(gè)開關(guān)閉合，燈泡才會(huì)亮.

師：一共有多少種開關(guān)閉合的方式能讓燈泡亮起來？

生：N=m1·m2·m3·…·mn.

師：我們還是約定燈泡亮為事件A，那么完成事件A有n個(gè)步驟，每個(gè)步驟又有i（i=m1，m2，m3…）種不同的辦法，那么完成事件A總共有N=m1·m2·m3·…·mn種不同的辦法.這叫做乘法計(jì)數(shù)原理.

教材中是借用生活中的實(shí)例來引出加法計(jì)數(shù)原理及乘法計(jì)數(shù)原理的.雖然容易理解，但是從實(shí)例中具體的數(shù)字到概念中抽象的m，n，學(xué)生還是缺乏直觀認(rèn)識(shí).借助物理中的“電路模型”來進(jìn)行兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的教學(xué)，利用學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)來構(gòu)建新的概念，比課本上所用方法更易接受.

2模型建構(gòu)教學(xué)特點(diǎn)的思考

2.1充分重視尊重學(xué)生內(nèi)部心理和知識(shí)結(jié)構(gòu)的變化，使其同化新知識(shí)的過程變成一個(gè)愉快的過程.例如：在案例1中，學(xué)生的基本情況是可以熟練地對(duì)物理中矢量進(jìn)行合成與分解，且已經(jīng)明確向量的物理背景.故學(xué)生在處理向量問題時(shí)是有主動(dòng)地去尋求構(gòu)建物理模型的傾向的.順應(yīng)傾向引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建，將抽象的定理變?yōu)槭煜さ奈锢砟Ｐ?，讓學(xué)生更快更好地進(jìn)入學(xué)習(xí)情境，提升學(xué)習(xí)的信心，使得教學(xué)過程更加輕松愉快.再如：案例2中，加法和乘法計(jì)數(shù)原理的定義，通過構(gòu)建熟悉的“電路模型”，將抽象的定義擺在一個(gè)熟悉的場(chǎng)景中，更貼近學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，降低了思考的難度.從兩則案例的教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)來看，學(xué)生的參與程度高，情緒積極性高，思維活躍度高.

2.2模型構(gòu)建的過程有助于原有知識(shí)信息的提取，同時(shí)有利于新的知識(shí)信息的形成.例如：在案例1中，通過對(duì)斜面模型中，力的分解這一物理知識(shí)的回憶，印證了向量可以由平面中一組不共線的基底表示這一新知，同時(shí)也有助于學(xué)生理解對(duì)于確定基底“唯一表示”的含義；通過對(duì)物理中斜面傾斜角的變化討論，又引申出了平面向量基本定理中“基底不唯一”這一結(jié)論.而在案例2中，通過構(gòu)建“電路模型”喚起學(xué)生對(duì)串聯(lián)、并聯(lián)電路相關(guān)知識(shí)的回憶，從而類比提取出與加法計(jì)數(shù)原理和乘法計(jì)數(shù)原理有關(guān)聯(lián)的信息內(nèi)容，最終形成新的知識(shí)概念.學(xué)生通過自我選擇、整合、提煉得到信息，真正實(shí)現(xiàn)對(duì)新知識(shí)的理解.

3模型建構(gòu)教學(xué)方式的思考

3.1建構(gòu)要抽象適度

案例1中，從“平面內(nèi)任意一個(gè)向量可以用兩個(gè)不共線向量來表示”這一數(shù)學(xué)情境中抽象出“力的分解”這一物理模型，這個(gè)構(gòu)建是符合學(xué)生認(rèn)知能力和思維發(fā)展階段的，是一種抽象適度的模型建構(gòu).隨后，在討論“系數(shù)唯一性”以及“基底不唯一性”時(shí)，學(xué)生很自然主動(dòng)地再次構(gòu)建出了“斜面”模型.假如沒有一開始的構(gòu)建鋪墊，在后面討論“系數(shù)唯一性”以及“基底不唯一性”時(shí)學(xué)生是很難想到去主動(dòng)建構(gòu)斜面模型，類比考察重力分解情況的.案例2中，筆者本來的設(shè)計(jì)是通過計(jì)數(shù)原理的定義特征，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建出“電路模型”，以加深對(duì)定義的理解.但在試講過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生根本找不到可建構(gòu)的物理模型，過度抽象了.

3.2注重雙向建構(gòu)

“模型背景”和“數(shù)學(xué)情境”之間的建構(gòu)可以是雙向的，一方面可以從“數(shù)學(xué)情境”中抽象出具體的“模型背景”；另一方面也可以從具體的“模型背景”中抽象歸納出“數(shù)學(xué)情境”.教師可以根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況來靈活設(shè)計(jì).案例1中，由學(xué)生的初步猜想建構(gòu)出斜面模型是“數(shù)學(xué)情境”到“物理模型”的建構(gòu)；隨后由重力分解情況的探討抽象歸納出平面向量基本定理的具體定義，這又是“物理模型”到“數(shù)學(xué)情境”的構(gòu)建.兩者結(jié)合設(shè)計(jì)，很好地實(shí)現(xiàn)了雙向建構(gòu)，讓學(xué)生真切體會(huì)到學(xué)科之間這種相互融合的密切關(guān)聯(lián).

3.3展現(xiàn)建構(gòu)過程

建構(gòu)絕非是一步到位的，往往需要在給定數(shù)學(xué)情境的基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)?shù)姆治觯徊揭徊降剡M(jìn)行類比轉(zhuǎn)化，最終建構(gòu)出來的.教師應(yīng)當(dāng)充分尊重學(xué)生在建構(gòu)過程中的體驗(yàn)，展現(xiàn)建構(gòu)過程.案例1中，由猜想a=λ1e1+λ2e2建構(gòu)出“斜面模型”在試講時(shí)進(jìn)行的并不是十分順利，后來筆者有意將這種向量線性運(yùn)算的形式，說成“將a分解成兩個(gè)不共線的向量e1、e2”，從而引導(dǎo)學(xué)生向著“向量分解”這個(gè)方向思考下去，就很順利地構(gòu)建出重力分解的“斜面模型”；反思案例2中，學(xué)生構(gòu)建“電路模型”失敗，其中一個(gè)重要的原因就是筆者沒能將引導(dǎo)建構(gòu)的過程很好地展現(xiàn)出來，增加了建構(gòu)的難度.

3.4建構(gòu)動(dòng)態(tài)模型

動(dòng)態(tài)模型更能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)元素改變時(shí)引發(fā)的變化過程，比起靜態(tài)模型更加完整，更具有視覺感染力.反思案例1中，在講到“基底不唯一”問題時(shí)，如果能利用幾何畫板，展現(xiàn)出當(dāng)斜面傾斜角θ改變時(shí)重力G分解情況的動(dòng)態(tài)變化情景，學(xué)生的理解會(huì)更加深刻.

4模型建構(gòu)教學(xué)滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

此次普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的一個(gè)重要方面就是提出了培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，分別是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.而在上面案例的模型建構(gòu)過程中，也體現(xiàn)了幾個(gè)方面的核心素養(yǎng)，例如：（1）數(shù)學(xué)抽象——從電路閉合問題抽象出加法計(jì)數(shù)原理和乘法計(jì)數(shù)原理的定義；（2）直觀想象——從“斜面模型”幾何的直觀感受，想象出傾斜角發(fā)生變化時(shí)兩個(gè)分力的變化情況；（3）邏輯推理——從斜面傾斜角變化后，兩個(gè)分力的改變，推理出平面中不共線的基底是不唯一的.對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析這幾個(gè)核心素養(yǎng)在一般的模型建構(gòu)中也有很廣泛的體現(xiàn).可以說六大核心素養(yǎng)是蘊(yùn)含在模型建構(gòu)教學(xué)的整個(gè)過程中的，因此模型建構(gòu)教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.